用超级画板探究三角形对称点面积比问题

1989年加拿大数学竞赛试题:△ABC是面积为1的直角三角形,D、E、F分别是A、B、C关于各自对边的对称点,求△DEF的面积.……     

直角三角形的最小内接定形直角三角形

本文的起源是《数学通报》问题栏问题1526.问题1526△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,D、E、F分别是AB、AC、BC上的点,若△DEF为等腰直角三角形,且∠EDF=90°,求△DEF面积的最小值.《数学通报》2005年第1期刊出了问题提供者利用三角法给出的解答,但该解答未给出△DEF面积最小时     

例谈转化思想在二次函数面积问题中的应用

<正>在初中数学学习中,转化思想是解决数学习题的有效途径,可以很快地解决问题,同时也能够锻炼学生将问题简单化处理的能力.在二次函数图形面积问题中,主要通过分割、重叠、等积替换等把图形面积转化为某几个图形面积的和差.本文将对转化思想在图形面积问题的解题策略进行说明.     

一道奥林匹克题的另证

题目如图1,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,过点P的割线与⊙O交于C、D两点,过点C作PA的平行线,分别交弦AB、AD于点E、F.求证:CE=EF.此为第六届北方数学奥林匹克邀请赛的一道平面几何问题,贵刊初中版2011年第9期袁安全老师的"面积法证题一例"巧妙地用面积法给出了一个十分简洁的证明,令人耳目一新.笔者以为其证     

面积法证题一例

在某些平面几何问题的证明中,巧妙地运用面积法,能使证明过程更简洁.例(第六届北方数学奥林匹克邀请赛)如图1,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,过点P的割线与⊙O交于C、D两点,过点C作PA的平行线,分别交弦AB、AD于点E、F.     

刍议高考中有关面积问题的创新试题

数学中的面积问题,在从小学到高中乃至高校的学习与考试中一直都在出现,是数学中最基础、最基本的问题之一.它不但在三角形中直接考查,还和函数、数列极限等知识综合,在立体几何与解析几何中也大量出现.面积问题也是为近年高考的重点、热点题型之一.……     

“共角比例定理”在数学竞赛中的应用

有关多边形的面积问题,是初中数学竞赛一个永恒的话题,常用到三角形的面积计算公式:S△ABC=1/2AHA=1/2ABSINC,其中HA表示A边上的高,C表示A、B两边的夹角．     

一道华杯赛试题的延伸

<正>在初中数学及数学竞赛中,面积法是解决平面几何问题的利器.正是因为面积法的广泛使用,产生了一些面积模型,例如等高模型,一半模型,燕尾模型,鸟头模型,蝴蝶模型,梯形模型和相似模型等.本文应用蝴蝶模型和鸟头模型研究一道华杯赛试题,帮助同学们体会掌握几何模型对于提升面积法解题能力的优势,     

一道2020年高考三角形面积最值试题的探究与变式

1.试题(2020年高考江苏卷,14)在平面直角坐标系xOy中,已知P(√3/2,0),A,B是圆C:x²+(y-1/2)²=36上的两个动点,满足|PA|=|PB|,则△PAB面积的最大值是_.试题考查了圆的标准方程、圆中的最值问题,考查了数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养,检验了学生分析问题与解决问题的能力.     

一句话引发的“颠覆”

1 缘由近日,八年级校本课程的一节数学综合实践活动课中,笔者精心选择了一个教学素材《等周长图形的面积》,主要的思路是:让学生经历一系列的纸片的等积变换(如图1所示)的拼图过程,通过操作、观察、交流、归纳等教学活动,试图得出基于数学活动的三个认识:(1)等周长的四边形,当四边形为平行四边形时,其面积最大;(2)等周长的平行四边形,当平行四边形为矩形时,其面积最大;(3)等周长的矩形,当矩形为正方形时,其面积最大.综合“三个认识”,推导出结论:等周长的四边形中,以正方形的面积为最大.     

从初中数学教材的一幅画中品味数学一浅说埃舍尔的"数学"艺术

"数学"艺术家 M.C.埃舍尔(M.C.Escher)是荷兰的一位版画大师,他的作品以具有浓厚的数学韵味而闻名于世,其中的部分作品更是以其美的外表、丰富的内涵频频出现在一些数学及自然科学的著作中.     

活用面积法解非平面几何问题

运用平面图形的面积求解非平面几何的问题,是数形结合思想的体现,是解题技巧的反映,也是数学素养的表现.事实上,数学问题涉及的各个领域,都能够运用面积法求解.限于篇幅,只能"点到为止".一、三角函数问题     

解线段最值问题的策略

线段最值问题是初中最值较为复杂的问题之一 ,它常集几何、代数知识于一体 ,构思新颖 ,是竞赛题坛中的一颗“新星” .这类问题不少学生感到棘手 .其实 ,我们在解题时 ,只要认真审题 ,运用合适的解题策略 ,山穷水尽的局面会变得柳暗花明 .　　一、利用面积来解面积法解题是初中数学常用方法 ,许多问题利用它会迎刃而解 .众所周知 ,两正数之积为定值 ,若其中一个数最大 ,则另一个必最小 ,反之亦然 .例 1如图 ,正方形ABCD边长为 1,P为BC边上任意一点 ,分别过点B、C、D作射线AP的垂线 ,垂足分别为B′、C′、D′.求BB′ +CC′ +DD′的最…     

类比联想 探索新题

<正>黄金分割自古以来就被人们视为最美的几何学比率(0.6180339887…=(5^(1/2)-1)/2).它不2仅在艺术和建筑设计中,而且在日常生活中也处处可见,尤其在数学中扮演着有趣的魔幻角色.所以这是值得人们重视和研讨的比率.如图1,点C将线段AB分成两段,若AC/AB=CB/AC,则称点C为线段AB的黄金分割点.在此,我们类比地定义黄金分割线:线段l将一个面积为S的图形分成面积     

例说“拼图法”在初中数学解题中的应用

“拼图法”主要是指依据数学问题的具体解决需要,有意识地把几个图形都拼合到一起,并参照拼图之前与拼图之后的图形面积、周长与角度等,对相关数学问题进行解决.鉴于此,本文主要对“拼图法”在数学解题当中的巧妙运用进行探讨,找出解题的新思路,以实现数学问题的高效解决.     

多思妙解：一道高三一模联调解析几何题的探究

依托于问题的不同数学思维的展开与应用，是全面提升与开拓数学逻辑思维与能力的关键所在.基于一道高考解析几何模拟题中相关三角形面积的求解，借助平面解析几何与平面几何等不同数学思维视角进行“一题多解”,开拓解题思路，发散数学思维，有助于指导教师的教学与解题研究.     

一道中考面积问题的解答及拓展

<正>遵义市2015年中考数学第18题.如图1,在圆心角为90°的扇形OAB中,半径OA=2cm,C为的中点,D、E分别是OA、OB的中点,则图1中阴影部分的面积为_cm².怎样解决这个问题呢?一般地,解决不规则图形的面积问题,多采用割补法.一、原中考题的多种解答为使解答精炼,减少篇幅,我们先把各种解答中要用到数据,提前一起给出,后面解答     

一道中考面积问题的解法探究

<正>求平面图形的面积问题一直是中考数学的一个热点,我们一般将不规则图形的面积转化为若干个基本规则图形的组合,综合分析整体与部分的和、差关系,常用的基本方法有割补法、等积转化法、整体法等等,本文以2016年重庆市中考数学第18题为例,运用上述方法来探究解法的多样性.     

教材多次渗透的好方法——面积法

学习数学掌握解题方法很重要,解题方法对头则事半功倍,面积法就是一种常用的解题方法,教材中多次渗透,下面让我们走进教材去看一看.图1例1(人教版七年级数学下册第76页第7题)如图1,△ABC中,AB=2cm,BC=4cm.△ABC的高AD与CE的比是多少?(提示:利用三角形的面积公式.)分析根据提示S△ABC=12AD.BC=12CE.AB,又AB=2cm,BC=4cm.所以21AD×4=21CE×2,变形得AD∶CE=1∶2.提示的目的就是让我们使用面积法解题,也让学生初步接触面积法.例2(人教版八年级数学下册第78页第8题)在△ABC中∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm.(1)求△ABC的面积;(2)求斜边AB;(3)求高CD.分析(1)S△ABC=21AC.BC=21×2.1×2.8=2.94(cm2).(2)根据勾股定理易求得AB=3.5cm.(3)根据面积得S△ABC=12AB.CD=12×3.5×CD=2.94,解得CD=1.68(cm).这里虽然没有提示,然而通过问题在一步一步地引导着我们使用面积法求斜边上的高.而若不用面积法求CD,此题的难度就太大了.图2例3(人教版八年级数学下册...     

三用定积分

定积分是新课标的新增内容,它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液,还给学生提供了数学建模的新思路、用数学的新意识,通常利用定积分可以求平面图形的面积、变速直线运动的路程及变力作功等.另外,利用定积分也能证明不等式,下面举例说明.