构造分布列 巧解竞赛题

<正>Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差,由关系式Dξ=Eξ²-(Eξ)2-(Eξ)²及Dξ≥0,知Eξ2及Dξ≥0,知Eξ²≥(Eξ)2≥(Eξ)².构造离散型随机变量ξ的分布列P(ξ=x_i)=p_i(i=1,2,…,n),利用Eξ2.构造离散型随机变量ξ的分布列P(ξ=x_i)=p_i(i=1,2,…,n),利用Eξ²≥(Eξ)2≥(Eξ)²(当且仅当x_1=x_2=…=x_n=Eξ时取等号),可以别具一格地求解一类形式优美、内涵丰富的分式竞赛题.     

巧构分布列求最小值

Eξ,D车分别为随机变量ξ的数学期望与方差．由Dξ=E（ξ=Eξ）2=Eξ2-（Eξ）2≥0,知Eξ≥（Eξ）。（Eξ）2当且仅当拿可能取的值都相等时取等号．     

构造随机分布列巧证一类分式不等式

设ξ是一取有限个值x1,x2,x3,…,xn的离散型随机变量,其概率分布列为P(ξ=xi)=pi(i=1,2,...,n).则 E(ξ2)-E2(ξ)=D(ξ)=∑ni=1[xi-E(ξ)]2·pi≥0,故E(ξ2)≥E2(ξ),当且仅当x1=x2=...=xn=E(ξ)时,不等式中等号成立.     

“最值”的分布列求法

<正>大家熟知:当已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=x_k)=p_k(k=1,2,…)时,则有:Dξ=Eξ²-(-Eξ)2-(-Eξ)²=(x_1-Eξ)2=(x_1-Eξ)² p_1+(x_2-Eξ)2 p_1+(x_2-Eξ)² p_2+…+(x_n-Eξ)2 p_2+…+(x_n-Eξ)² p_n+…≥0,可得知(Eξ)2 p_n+…≥0,可得知(Eξ)²≤Eξ2≤Eξ²,当且仅当x_1=x_2=x_3=…=x_n=…=Eξ时,取等号.下面举例说明,利用构造随机变量ξ的分布列的方法,来解一些非常规随机变量ξ的分布列的最值问题,供读者们赏析参考.     

PERT时间分布律中熵极大分布

PERT时间分布律问题一般可有两种提法: 问题Ⅰ寻求随机变量ξ,使1°.ξ的取值范围为[a,b];2°.ξ具有单众数0,a相似文献   

具有随机足标的弱相依高斯序列最大值的极限分布

设ξ1,ξ2,…为标准化的平稳高斯序列.Mn=max.ξi,协方差Υn=Cov(ξ1,ξn+1)=E(ξ1ξn+1).{N(n)}为-列取正整数的随机变量,满足 0,n→∞.在条件Υnlogn→0,n→∞之下,给出了 MN(n)的极限分布.     

一道分式不等式的概率证明及推广

设 xi ∈ ( 0 ,1 ) ,i =1 ,… ,n,且∑ni=1xi =a,∑ni=1x2i =b,求证∑ni=1x3i1 - xi≥ a2 ab - nbn - a ,( 1 )文 [1 ]～ [3]给出了 ( 1 )式不同的初等证明 ,文 [4 ]利用柯西不等式将 ( 1 )式加强为　　　 ∑ni=1x3i1 - xi ≥ b2a - b ( 2 )本文利用概率方法对 ( 2 )式作指数推广 .为此 ,作为引理 ,给出概率的 Jensen不等式 .引理　设随机变量ξ取值于区间 ( a,b) ,-∞≤ a≤ b≤ ∞ ,g是 ( a,b)上连续的凸函数 ,则当 Eξ,Ε[g(ξ) ]存在时 ,有g( Eξ)≤ E[g(ξ) ].证明　任取 x0 ∈ ( a,b) ,设曲线 y =g( x)在点 x0 的切线斜率为 k( x…     

随机变量及其分布题组

填空题1　随机变量是一个用来表示的变量 ;若对随机变量可能取的一切值 ,我们都可以按一定次序一一列出 ,则这样的随机变量叫做 ;而连续型随机变量的取值可以是 .2　一个袋中装有 6个白球 ,4个红球 ,从中任取 4个 ,其中所含红球个数记为 ξ ,则 ξ =2所表示的随机试验结果是 .3　已知随机变量 ξ所有可能取的值为 1,2 ,… ,ｎ ,且取这些值的概率依次为ｋ2 ,2ｋ2 ,… ,ｎｋ2 ,则常数ｋ = .4　设随机变量 ξ只能取 6 ,7,8,… ,15这 10个值 .且取每个值的概率均相等 .则Ｐ (ξ >8) =;Ｐ(ξ≥ 10 ) =.5　设随机变量 ξ的分布列为Ｐ (ξ =ｘ) =Ｃ…     

σ-可积性及其应用

<正> 众所周知,一个随机变量ξ关于一个子σ-域(?)的条件期望——记作 E[ξ|(?)]——是一个(?)可测的随机变量,满足:任给 G∈(?)通常用ξ可积来保证 E[ξ|(?)]的存在性,这时 E[ξ|(?)]还是一个可积随机变量.如果ξ非负,只要容许 E[ξ|(?)]取∞值,它是完全有意义的,而且关系式     

整值型随机变量的分布列与数学期望的另类求法

所谓整值型随机变量是指只取非负整数值的随机变量,是概率统计中研究随机现象的一类重要变量,其所反映的概率特性、统计规律分别通过它的分布列P(ξ=n)与数学期望Eξ=∑∞k=1kpk等确定,事实上,只要确定了它的分布列,也就掌握了它取值的统计规律,因此核心是求整值型随机变量的分     

利用概率分布巧证不等式

文[1]巧妙地建立一维离散型随机变量X的概率分布,并利用其方差的非负性(D(X)=E(X2)-(E(X))2≥0,当且仅当X服从退化分布时等号成立)给出了柯西不等式的一种构造证法,笔者读后颇受启发,也尝试用该法证明了一些不等式,写在这里与读者分享.     

大数定律的推广

引理1.設α≥0,則 引理2.若 1) y_n+1>y_n(n=1,2,…,); 2) (?)y_n=+∞; 3) (?)(x_n+1-x-n)/(y-n+1-y_n)存在,則 这两个引理的証明可参看[1]及[2];引理2又称为施篤茲定理。下面我們用σ_n~2表示随机变量ξ_n的方差,用ρ_(ij)表示随机变量ξ_i与ξ_j的相关系数。定理.設{ξ_n}是一随机变量序列,如果存在0≤λ<1,使得 1) (σ_1~2+…+σ_n~2)>A,对任何n成立; 2) 当|i-j|→∞时,|i-j|~λρ_(ij)一致趋向于0,則这随机变量列滿足弱大数定理。     

数学期望在投资决策中的应用

随机变量的数学期望是随机变量的重要特征数之一 .由概率知识可知 ,随机变量的数学期望表示了随机变量在随机试验中取值的平均值 ,所以又常被称为随机变量的平均数、均值 .关于离散型随机变量有如下事实 :若随机变量ξ的概率分布列为ξ x1x2 … xn …p p1p2 …pn …则称Eξ =x1p1+x2 p2 +… +xnpn+…为 ξ的数学期望或平均数、均值 .同时若 η =aξ +b ,其中a ,b为常数 ,则 η也是随机变量 ,且Eη =aEξ+b .下面举例说明数学期望在投资决策中的应用 .1　商品流通问题例 1　春节期间 ,某鲜花店某种鲜花的进货价为每束 2 .5元 ,销售价为每束…     

关于离散型随机变量的期望与方差一节教学的三点看法

离散型随机变量的期望与方差是新教材的新增内容 ,极大多数高中数学教师除了在大学学习过以外 ,在中学教学实践中是初次碰到 .对这个内容如何教学大家深感陌生 ,甚至对有些内容自己也理解不深 ,对教学带来很大的不利 .本文旨在根据笔者讲授这个内容的感受 ,谈三点看法 ,供同行参考 .1　关于教材中一个内容的理解为了便于说明 ,我们将数学教材第三册(选修 ) P10推导公式 E(aξ +b) =a Eξ+b的整个过程摘录如下 :若η=aξ+b,其中 a,b为常数 ,则η也是随机变量 .因为 P(η=axi +b) =P(ξ=xi) ,i=1,2 ,3,… ,所以η的分布列为η ax1 +b ax2 +…     

二元柯西不等式的一个类似

二元柯西不等式已知a,b,c,d∈R,求证(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2(当且仅当ad=bc时取等号). 二元柯西不等式的类似已知a,b,c,d∈R,求证(a2-b2)(c2-d2)≤(ac-bd)2(当且仅当ad=bc时取等号).读者用分析法容易证得它们,下面给出后者的运用.     

构造分布列 妙解数学题

<正>本刊2016年3月(上)曾刊文"利用数学期望的性质解题",利用数学期望的性质:Eξ²≥(Eξ)2≥(Eξ)²解决了一类求最值和求三角函数值问题。事实上,在证明一些等式或不等式问题时,若能根据题目的结构特征,巧妙地构造离散型随机变量ξ的分布列,则亦可另辟蹊径.一、证明等式     

非平稳高斯序列的极值之渐近分布

设{ξ_n}是一非平稳高斯序列,Eξ_n=0、Eξ_n~2=1及γ_(ij)=Eξ_iξ_j.以M_n记max ξ_k,以记公共分布是F(x)=/(2π)~(1/2) integral from n=-∞ to x(e~(-u~2/2))du的 i.i.d序列之前n个变量的最大值.已有如下结果:对所述非平稳高斯序列{ξ_n}若     

独立同分布随机变量加权和的概率估计

设{ξ_i}_i=1ⁿ为独立同分布的随机变量,且P(ξ_i=1)=P(ξ_i=-1)=1/2.设a=(a₁,…,a_n)为与{ξⁱ}_i=1ⁿ独立的服从超球面S^n-1={(a₁,…,a_n)∈Rⁿ|∑_i-1ⁿ a_i²=1}上均匀分布的随机变量,该文用极坐标变换得到了P(|∑_i=1ⁿ a_iξ_i|≤1)的表达式.当n<7时,该文通过直接计算得到此概率值大于等于1/2;当n≥8时,该文通过R软件也得到了此概率值大于等于1/2.特别地,n=3,4时,借助于贝塔函数,该文直接证明了该概率值大于等于1/2.     

函数空间中功率和的极限定理

在电信工程或其它传输工程问题中,常需研究随机变量序列{ξ_k}的幂和的对数 P_n=10lg(10~(ξ_1/10) +10~(ξ_2/10)+…10~(ξ_n/10)) (1)的分布或渐近性质.特别地,当{ξ_k}是用分贝表示的功率电平时,即 ξ_k=10lg(W_k/W_0),k=1,2,…,此处W_0、W_k均代表功率,那么我们可写     

点共线的向量证法

所谓整值型随机变量是指只取非负整数值的随机变量，是概率统计中研究随机现象的一类重要变量，其所反映的概率特性、统计规律分别通过它的分布列P（ξ=n）与数学期望Eξ=∑∞k=1kpk等确定，事实上，只要确定了它的分布列，也就掌握了它取值的统计规律，因此核心是求整值型随机变量的分布列，