神奇的旋轮线

<正>旋轮线作为数学和物理中的一类重要曲线,有着许多神奇的性质和广泛的应用.基于此,旋轮线在几百年前就引起了许多大数学家的关注,并在数学史上留下了一段传奇.1圆的滚动形成旋轮线当动圆沿着定直线滚动时,动圆上一定点所画出的曲线就是旋轮线.旋轮线的这一形成过程,可以用几何画板、GeoGebra等数学软件制作动图演示.     

一个几何概率试题的题源探究

1 题目 (2009年福建文)点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度小于1的概率为___. 解,另一端点B只能在优弧上运动,故所求概率P=B1B2优弧长/圆周长=2/3. 2 题源 2.1 源于历史名题 初看这题以为是数学史上一个经典的悖论--贝特朗悖论,其实这是一个根据贝特朗悖论改编的题目.贝特朗悖论:"在半径为1的圆周上任取两点,连成一条弦,问弦长超过其内接正三角形的边长的概率是多少?"     

巧用极限思想解决小圆在大圆内侧运动问题

<正>在许多数学课外读物或者相关试题中,常见有一类关于小圆在大圆内侧做无滑动滚动问题,例如:已知大圆半径是小圆半径的4倍,小圆在大圆内侧做无滑动滚动,问:小圆从起点再回到出发点自转了几圈?相关答案已有人给出,但严格的证明却鲜有人涉及.要解决这个问题,我们不妨先思考下列问题.     

摆线趣谈

一、问题的提出很早以前 ,人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣 .有人误认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧 ,也有人误认为这个轨迹是一段段的抛物线 .实际上 ,当一个圆沿一条定直线作无滑动的滚动时 ,动圆圆周上一个定点的轨迹是一条摆线 ,也叫旋轮线 .二、摆线的方程和图像设圆的半径为ａ ,取圆滚动所沿的定直线为ｘ轴 ,圆周上定点Ｐ落在直线上的一个位置为原点 ,建立直角坐标系 (如图 1) .图 1设点Ｐ(ｘ ,ｙ)为轨迹上任意一点 ,圆心滚动到Ｂ点时 ,圆与直线相切于Ａ点 .取∠ＡＢＰ=θ为参数 ,作ＰＤ⊥Ｏｘ ,Ｐ…     

摆线─繁花规

摆线─繁花规王金才（江西德兴铜矿运输总公司学校３３４２００）问题一：桌上有半径相等的固定圆盘和活动圆盘各一个，将活动圆盘绕固定圆盘的边缘作无滑动的滚动（滚动时始终保持两圆盘的边缘作密切相接）．当活动圆盘绕着固定圆盘转动一周后，活动圆盘本身旋转了多少圈...     

用列举法求全“脑中数”

<正>《中学生数学》2012年9月(下)智慧窗"脑中数"是一道数学趣味题,题目和图如下:题目A脑里想着一个五位数,此数值是B脑中想的另一个五位数的五倍,A和B脑中想着的五位数的各个数字如图所示.如果A放弃用数字0,只用其余数字组成一个四位数,那么B的五位数变成这个四位数的两倍,你知道A和B原来想的五位数各是多少?分析与解观察图形,A脑中所想五位数     

由硬币自转几周引发的思考

一、实验明辨是非题目有两个大小相同的硬币,其中一个硬币固定不动,另一个硬币在其外侧相切滚动一周,且不发生滑动,则这个滚动的硬币自转几周? (江西省2003年中考样卷试题) 很多同学首次解答这道题时,都认为这个     

一道几何竞赛题的背景探究

<正>一个好的数学命题,往往大有来头.究其命题背景,要么取自于教材中的素材(包括定理、例题或习题等),要么取材于以往的典型考试(竞赛)题,还有一类就是取材于数学中的经典名题.因为数学中的经典名题是命题的不竭源泉,不断的深入探究可以编拟万千数学问题.本文从一个几何竞赛题的求解过程中衍生出的一些命题,试图揭示这些命题的一个共同背景,与读者分享.     

谈解决基本事件为质点和非质点几何概型的方法

在学习几何概型内容时有一题:把半径为1的硬币随意投到半径为10的圆盘上,且整个硬币落在圆盘内,求硬币遮住圆盘圆心的概率.不少学生做的结果为4/25,而正确答案为181.通过此题反映出:学生对解决基本事件为非质点几何概型问题的方法不正确,没有理解基本事件为质点与非质点几何概型的区别.1质点几何概型质点几何概型特征若一次试验中所有可能出现的基本事件有无限个,每个基本事件出现的可能性相等,且每个基本事件对应一个质点,全体结果可     

数学探究的鲜活资源——一道课本习题的数学探究案例

"数学探究"是新课程标准的重要理念.然而在践行这一理念的过程中,数学探究有被异化的倾向:(1)形式化.既便是很简洁的问题,也要来个分组讨论,名日"合作探究",虽"满堂尽响探究声",但探于形式,究于表象;(2)狭窄化.把数学探究等同于攻克难题,名日"自主探究".于是,在数学探究的旗帜下,难、偏、怪题又充斥课堂,学生又遨游于题海,力争通过苦磨傻练去攻克一道又一道难题,完成一个又一个"自主探究".     

(2x)~(1/2)与x~(1/2)是同类二次根式吗

数学是一门有趣的科目,它启示人们不断探索.正因此,历史上出现了诸多数学难题.今天我们来一起讨论一个小问题,即:"(2x)~(1/2)与x~(1/2)是否是同类二次根式",这个问题是初二学生几乎都见过的一道普通的关于同类二次根式的判断题,也许很多人会根据课本上给出的定义不假思索地回答"不是",有可能一些人会觉得这是一个很幼稚的问题,但我却不这样认为. 是的,当我们看到这道题时,就会联想到     

一道全国竞赛题的简单解法

<正>题目(2012年全国初中数学联赛第二试(B)试题)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.贵刊2013年第4期《一道竞赛题的另一解法》、第10期《一道联赛题的"通俗"解法》和《直角三角形的一个性质及应用》三篇文章分别用不同的方法介绍了对此题的求解过程,足见读者对这个问题的钟爱与兴趣,三篇文章的求解繁简不一,各有所长,令人耳目一新,认真     

"首一自然数"有多少

很多数学网站的趣味数学栏目(如人民教育出版社网站http://www.pep.com.cn/的"首页＞＞教材与教学＞＞初中＞＞初中数学＞＞课外园地＞＞趣味读物＞＞数学趣题＞＞"即http://www.pep.com.cn/200503/ca668240.htm)介绍了"首位数问题":即首一自然数(首位数是1的自然数)在全体自然数中约占全体自然数的30%,或者准确一点说,这个数值应该是1g 2.     

胜负难以预料

<正>一次偶然的机会,笔者发现4个小朋友在玩一个"猜拳转盘"的游戏,不禁驻足观看,觉得这个游戏有点意思.在此,笔者愿意把这个游戏介绍给读者,并从数学的角度做一点探讨.游戏用到一个直径大约1米的圆盘,把这个圆盘平均分为8份,在每一份上分别标有"-5,-3,-1,0,1,3,4,5"这8个数字,每一个数字代表相应的分数.圆盘外有一个固定的指针,指针指到哪个区域,选手就     

由一道中考题谈新定义问题的解答方法

<正>新定义问题可以说是近几年中考中的"宠儿",小到选择、填空,大到解答题、压轴题都有它的身影,这类问题能够很好的考查同学们的阅读能力、学习能力、数学素养等等,下面笔者以北京市2015年中考压轴题(最后一道29题)为例,谈谈这类题的解答方法.题在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P     

2010年高考数学北京卷第14题的背景研究

2010年高考数学北京卷文理科第(14)题,都是以沿轴滚动的正方形的一个顶点所形成的图形为着眼点,考查函数的性质以及平面图形的面积问题,视角独特,设计新颖,不失为一道优秀的试题:1试题的简解及分析题目(2010年北京卷理第14题)如图1放置     

一个作图题的讨论

(一)人民教育出版社出版的“初中几何课堂教学计划”(译本)一书中的七年级几何讲授计划第五十一课有下面这样一个作图题:用已知半径作一圆,使这个圆与一已知直线及一已知圆相切.     

感悟与建议

笔者从1980年开始订阅通报,受益最多的栏目首推数学问题解答栏.多年来,坚持解答通报中的数学问题成为我提高解题能力的重要途径,也是我的一个重要爱好.我每年都要向数学尖子生和爱好者大力推荐这个栏目,以至于每届都要培养出几名"铁杆题迷",解答通报中的问题成为他们的一大趣事.     

初中几何课本中的历史名题简介

了解数学史,以史引趣,对学习和掌握数学是很有意义的.下面将初中几何课本中的历史名题作一简要介绍. 一、射影定理(G2P246T2:即人教版初中几何第二册243页第二题,下同)已知,AB是Rt△ABC的斜边,CD是高,求证:(1)CD2=AD·BD,(2)BC2=AB·BD,(3)AC2=AB·AD. 若把AD、BD分别叫做AC、BC在斜边AB上的射影,则这个定理也称为射影定理.最早的证明见于欧几里得的《几何原     

跷跷板中的几何题

王娟和张丽正在玩跷跷板,她们玩得真高兴(图1).这时她们的数学老师刘老师走过来,观察一会儿说:"这个跷跷板中有一个几何问题昵."图1王娟和张丽数学成绩在班里都是名列前茅的,听说有几何题,急忙问:"什么题啊"?刘老师在他的备课本上一边画一边说出了下面的几何题.