一道排列、组合高考题的延伸

2005年湖南省高考数学试题（理10）：设P是ΔAPC内任意一点，S△ABC表示△ABC面积，λ1=S△PBC/S△ABC，λ2=S△PAB/S△ABC，定义f（P）=（λ1,λ2,λ3）,若G是△ABC的重心，f（Q）=（1/2,1/3,1/6）,则（ ）     

数学竞赛命题中的一个基本图形

如图所示，设面△ABC的三内角平分线分别交三边于A0、B0、C0，交其外接圆于D、E、F；又交△DEF的三边于A1、B1、C1．点M、N；P、Q；R、S分别是△ABC与△DEF三边的交点．记A．B、C为△ABC的三内角，其对边分别为a、b、c；D、E、F为△DEF的三内角，其对边分别为a’b’c’R（R’）、r（r’）、p（p’）、S（S’）分别为△ABC（△DEF）的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积，△ABC的内心为I．这一常见的构图，可以衍生出一系列数学竞赛题．题1AD⊥EF．（199且年第32届IMO加拿大训练题第6题）知类似可知故I为西DEF…     

三角形中线长度计算面积的公式

如果m，n，p分别是△ABC三边上的中线，那么S△ABC=√（m＋n＋p）（m＋n-p）（m＋p-n）（n＋p-m）/3。推导过程如下：如图1，设ALE，BF，CD是△ABC三边上的中线，O是重心，ALE=m，BF=以，CD=p．     

高二年级期末复习自测题

选择题： 1．已知集合S={a,b,c）中的三个元素可构成△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是（ ） （A）锐角三角形． （B）直角三角形． （C）钝角三角形． （D）等腰三角形．     

三角形面积公式的向量坐标表示及应用

定理 在△ABC中，若AB^→=（x1，y1），AC^→=（x2，y2），△ABC的面积为S，则     

三角形中线长度计算面积的公式的简证

文[1]给出了利用三角形中线长计算其面积的公式：如果m，n，p分别是△ABC三边上的中线。则S△ABC=√（m＋n＋p）（m＋n-p）（m＋p-n）（n＋p-m）/3（1）文[1]给出的证明较为复杂，本文给出一种简便的证法．     

对一道课本例题解答的探讨

义务教育三年制初中几何第二册（人教社1993年版）教科书P233，看《三角形相似的判定》（5．4）中的例5，原题抄录如下：例5如图1，已知△ABC，P是AB上的一点，连结CP（1）∠ACP满足什么条件时，△ACP∽△ABC；（2）AC：AP满足什么条件时，△ACP∽△ABC．课本运用三角形相似的判定定理分析并解答出此题：（1）当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC；（2）AC：AP＝AB：AC时，△ACP∽△ABC．由于这是一道探索性题，因此必须注意探索的彻底性我们注意到，教材分析这道例题的思路是直接套用三角形相似的判定定理1和判定定理2，却…     

正三角形的面积与费尔马问题解

1问题的提出1．1对于给定的等边△PQR，已知其内一点O到三顶点的距离OP=α、OQ=b、OR=c，求等边△PQR的面积S．1．2以a、b、c为边构造一个三角形△ABC在平面上求一点S，使SA＋SB＋SC的值最小．（即费尔马最短距离（l）问题）2问题的解决2．1如图1所示，设正△PQR的边长为x，由余弦定理可知：2．2以a、b、c为边构造三角形△ABC如图2所示，费尔马提出如下问题：在平面上求一点S，使l=SA＋SB＋SC达到最小，即费尔马最短距离l．下面应用力学模拟方法解决此问题，如图3，在A、B、C处各打一小孔，取三条线绳扎结于S，然后穿孔各…     

Shc22和Shc60的统一加强

设△ABC的三边BC、CA、AB分别为a、b、c，ha、hb、hc分别是相应边上的高，wa、wb、wc分别是/A、／B、／C的内角平分线，ra、rb、rc分别是相对于∠A、∠B、∠C的旁切圆半径，R、r、S、△分别是否△ABC的外接回半径、内团圆半径、半周长和面积，∑表示对a、b、c轮遍求和．刘健在艾［1」中提出如下两个清想问题：She22）：wiMMRr，（亚）She60＞：r。（w！十hZ）＜～～abc．（2）本文证明，不管式（1）和（2）可统一加强为如下不着五链：定理兰Rr‘＜r。wg＜S凸．（3）美中c是否ABC的汪意一边．于是，（3）的左半不等式成五．＿、…     

巧构造 求周长

题目已知△ABC中，A=π/3，BC=3，则△ABC的周长为（ ）．     

对一个中线不等式的再探讨

笔者曾在又［1」中给出了一个中线不等式，其结论较弱，在不文里，我们将进一步探讨文［1］中提出的问题．本文将统一采用以下记号：在△ABC中，三边长为BC=a，CA=b，AB=c，其对应中线分别为ma、mb、mc，R、r分别为△ABC的外接圆半径和内切圆半径，“∑”麦示循环和，“Π”表示循环积．定理在△ABC中，有当目仅当面ABC为正三角形时，（1）式取等号．为证定理，需用到以下几个引理．引理1在△ABC中，有当且仅当△ABC为正三角形时，（2）式取等号·引理1的证明可参见文［2］．引理2在△ABC中，有当且仅当△ABC为正三角形时，（3…     

巧解2008年江苏数学高考三角题

题目（江苏省2008年高考13题）若AB=2,AC=√2BC,则S△ABC的最大值__．     

射影为重心的一个充要条件

点P在△ABC所在平面外一点，点O是点P在面ABC内的射影（如图）． 众所周知： （1）点O为／△ABC外心的充要条件是：PA=PB=PC     

一道三角函数题的巧解

题目在△ABC中,若sin^2A＋sin^2B＋sin^2C〈2,则△ABC必定是 （ ） （A）直角三角形． （B）等腰三角形． （C）锐角三角形． （D）钝角三角形．     

关于三角形中线的一个不等式链

关于三角形三中线和与三边长关系，笔者最近又得到一个有趣的不等式，即以下定理设△ABC三边长为BC＝a，CA＝b，AB＝c，其对应边上的中线分别为m_a、m_b、m_c，则当且仅当△ABC为正三角形时，（1）、（2）两式取多号（以上Σ表示循环和，下同）．证明先证（1）式．根据三角形中线公式，很容易得到以下恒等式：（这里△表示△ABC的面积）．由此得到类似还有两式．于是有由此可知，要证（1）式，只需证因此④式成立，（）式获证，由证明中易知，当且仅当凸＊＊C为正三角形时（）式取等号．这时顺便指出，上述①式在证明三角形中线不等…     

三角形的一个共点性质及其空间拓广

共边定理 若直线AB和PQ相交于点M，则有S△PAB/S△QAB=PM/QM（证明明见文[1]） 共面定理 若平面ABC和PQ相交于点M，则有VP-ABC/VQ-ABC=PM/QM（证明可仿共边定理证明）     

正弦定理与余弦定理

设△ABC的三个角为A，B，C，它们对应的边分别为α，b，c，△ABC的外接圆半径为R，S△ABC=S，则：     

透视一道高观点的高考题

2006年高考福建卷（理）第16题为： 如图1，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1各边的中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是__．     

借助轨迹 妙求最值

一、题目展示 （2012年高中数学联赛第5题）在△ABC中,^→AB·^→AC=7,｜^→AB-^→AC｜=6,求S△ABC的最大值。     

一类内接三角形的面积的统一公式

设P是△ABC所在平面内任意一点，AP，BP，CP交直线BC，CA，AB分别于D，E，F，则称△DEF为点P关联△ABC的内接三角形．本文得到了此类内接△DEF与△ABC面积关系的统一公式．即定理设P是△ABC所在平面内的一点，△DEF是P关联△ABC的内接三角形，若有向线段的比，则有Ceva定理知2lA人一1．先证P在凸ABC内的情形．如图1，由于次证P在凸ABC外的情形．如图2，因凸ABC三边所在直线以及过凸ABC三顶点与三边的平行线，六条直线将凸ABC外面的部分划分为15个不同的区域U中一1．2，…，15）．这些区域可归结为四类：UI－U3为…