含三角函数的函数值域

孟建业(1945—),男,北京市人,河北省特级教师含有三角函数的复合函数值域,在各类试题中经常出现,这类题常涉及代数中函数与方程、几何中元素间的相关位置等内容.下面就若干常见题型加以归纳.1　直线型形如ｆ(ｘ)=ａｓｉｎｘ ｂ的函数,我们可以将它看作是定义在[-1,1]上的?..     

求三角函数值域的常用方法

三角函数的值域（或最值）问题是历年高考考查的内容,解答中应结合三角函数的特点,选取不同的方法．下面举例说明,以供参考．     

用周期性求抽象函数值的方法

用周期性求抽象函数值的关键是构造周期函数,即建立等式f(x+T)=f(x)(T≠0),根据条件构建等式常用到一些技巧,现举例说明.一、巧代换例1函数f(x)对任意实数x满足条件     

涉及到三角函数和双曲函数的不等式链(英文)

证明了涉及到三角函数和双曲函数的不等式链.     

求三角函数值域的常用方法

<正>三角函数的值域(或最值)问题是历年高考考查的内容,解答中应结合三角函数的特点,选取不同的方法.下面举例说明,以供参考.一、直接法例1求函数y=3-cos2x的值域.分析将2x看成一个整体,利用余弦函数的值域求得.     

一类含三角函数的初等函数取值范围问题的图象解法

一类求在给定条件下三角函数式的取值范围问题 ,已有多篇文章论及 (参见文〔1〕〔2〕〔3〕) ,但美中不足的是文中未给出如何揭示隐含条件以避免误解 .笔者发现这类问题通过构造合适的直线或圆锥曲线能充分揭示隐含条件 ,正确求解 .例 1　已知 sinα 2 cosβ=2 ,求 2 sinα cosβ的取值范围 .解　设 x=sinα,y=cosβ,t=2 sinα cosβ则有 x 2 y=2 ,2 x y=t( |x|≤ 1,|y|≤ 1) .t的取值范围即线段 x 2 y=2与平行线段 2 x y=t( 0≤ x≤ 1,12 ≤ y≤ 1)相交时 ,2 x y=t在 y轴上截距的取值范围 .由图 ( 1)易得 :当 2 x y=t通过点 B( 1,12 )时 ,t…     

关于函数周期性的一些讨论

设Q表示有理数集 ,R表示实数集 ,C表示复数集 .函数f(t) :R →C称为是T周期的 ,是指存在常数T>0 ,使f(t +T) =f(t) , t∈R .最小的周期T >0 ,称为f(t)的基本周期 .众所周知 ,Dirichlet函数 (它不连续 )和常函数是周期函数 ,但它们没有基本周期 .那么会问什么样的函数会有基本周期呢 ?我们有命题 1　如果f(t)是非常数的连续周期函数 ,则它有基本周期 .证明　用反证法 .若f(t)不存在最小的正周期 ,则存在单调减少的正序列 {kn},kn → 0 ,满足f(t+kn) =f(t) ,t∈R .于是f(t+mkn) =f(t) , t∈R和对任何整数m ,n .设t0 是任何实数 .对任何n…     

求三角函数的周期

“问题:确定下列函数的周期: 1) f_1(x)=cos 3x/2-sin x/3 2) f_2(x)=cos 2x-tgx。解:用P表示函数f_1(x)的周期,那末根据周期函数的定义有: cos 3x/2-sin x/3==cos 3/2(x+P)-sin 1/3(x+P)……(1)等式(1)对任何x值都成立。当x=0,就得到: 1-0=cos 3/2P-sin P/3……(2)可知当P=12π时,适合等式(2)。所以函数f_1(x)的周期为12π。类似地可求出f_2(x)的周期。”对于这样的解答,不能使我们满意。第一。“猜测”方程(2)的最小正数解和求出函数f_1(x)最小正周期是同样困难的(或容易的)。因此求出方程(2)来,不能使解答容易。     

基本性质巧综合,函数求值妙突破——一道函数试题的探究

函数的基本性质及其应用问题是高考中的一类常见题型,可以很好交汇融合函数部分的基础知识与基本技能.以一道模拟试题为例,尝试从多解思维、链接高考、归纳总结三方面,指导数学教学,帮助学生复习备考.     

三角函数的性质

本讲主要探讨三角函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性．     

关于双参数广义三角函数与双曲函数的不等式

利用经典的Bernoulli不等式,通过初等解析方法与不等式理论建立了带双参数广义三角函数与双曲函数的Gr¨unbaum型不等式;另外,还得到了推广超几何级数3F2的两个双边不等式.     

一类函数方程周期解周期的确定

研究了函数方程af(x+T_1+T_2)+bf(x)=af(x+T_1)+bf(x+T_2)在两种情形下解的周期,获得的结果推广了已有结论.     

三角函数“三个看”——《三角函数》全章学习方法述谈

全日制普通高级中学数学（必修）第一册（下）第四章《三角函数》共十一节．第一单元[第一节（角的概念的推广）至第五节（正弦、余弦的诱导公式）]及第十一节（已知三角函数值求角）围绕“角的终边”循序展开。因而以“看终边”为学法要点．第二单元[第六节（两角和与差的正弦、余弦、正切）及第七节（二倍角的正弦、余弦、正切）]以“变角更名”为特点。所以“看角与角的关系及三角函数名之间的关系”是学法的要点．第三单元[第八节（正弦函数、余弦函数的图象和性质）至第十节（正切函数的图象和性质）]主要是图象的三种变换。可归结为“看新、旧坐标间的关系及相应的基本三角函数”为学法要点．概括起来，探析三角函数问题应抓住“三个看”．     

反三角函数的一点补注

现行高中代数上册中的反三角函数 ,都只讲了一个反函数的最简单调区间的反函数 ,如反正弦函数 (课本 2 68页至 2 75页 ) ,只讲ｙ =ｓｉｎｘ(ｘ∈[-π2 ,π2 ])的反函数ｙ=ａｒｃｓｉｎｘ(ｘ∈ [-1 ,1 ]) .但在习题十九的第 2题中的第 (3 )、(4 )题中 (第2 84页 ) ,却出现了“用反正弦的形式把下列各式中的ｘ表示出来”的ｘ∈ [π2 ,3π2 ],这就引导学生思考标准单调区间 [-π2 ,π2 ]外的单调区间[2ｋ-12 π ,2ｋ+12 π](ｋ≠ 0 ,ｋ∈Ｚ)的反正弦函数怎样表达的问题 .为了供教师参考 ,人民教育出版社中学数学室编的《高中代数上册 (必修 )教…     

一致概周期矩阵函数的一些性质

利用纯量概周期函数性质讨论了一致概周期矩阵函数的一些性质.     

平方配凑法求三角函数的最值

本文给出求一类三角正弦或余弦函数的最值问题的方法——"平方配凑法".此法是先将原(非负)函数转化为其平方函数,再利用均值定理及配凑待定系数的手法求出平方函数的最值,从而最终求得原函数的最值.此法操作性较强,可供同学们参考.     

从几何学的角度求解三角函数的导函数

在微积分领域,三角函数的求导问题占据着很重要的位置,因此在中学教材里加入了这部分内容,但是一般都没有给出明确的求导过程和含义解释．这一方面是因为求导过程比较复杂,另一方面是由于学生数学基础知识还有局限性．本文试图从几何学的角度求解三角函数的导函数,并且得出了较为合理的几何含义解释．     

当心!有些三角函数公式两边的函数并不等价

许多三角函数公式,自被总结、发现以来,一直是以等式的面貌出现.在求解有关三角函数问题时,一般也是以运用三角函数公式的等量代换、进行推理和演算.但是,在多年的教学实践、反思和研究中,本人发现:有些三角函数公式,其实等式左右两边并不是完全等价,公式是在有条件限制的情况下成立,公式内隐藏着一些限制条件,公式两边相等、成立存在一些盲点.根据一些现有的三角函数公式每步进行代换求解,看起来每步解法有理有据,却很容易被部分三角函数公式成立的盲点忽悠,得出一些不正确的结果.