Kthe半单纯环的几个交换性定理

设 R 是一个 Kthe 半单纯环,C 是 R 的中心.本文证明,R 满足下列条件之一时为交换环:(1)对任意 x,y∈R,存在自然数 l=l(x,y),m=m(x,y)>1,n=n(x,y),且 l≤n,使得下列关系式之一恒成立:(i)xy~l-x~my~n∈C;(ii)xy~l-y~nx~m∈C;(iii)x~ly-x~ny~m∈C;(iv)x~ly-y~mx~n∈C.(2)R 不含非零的诣零单边理想,且对任意 x,y∈R,存在自然数 l=l(y,y)>1,n==n(x,y),n≥l,使得下列关系式之一恒成立:(i)xy~l-(xy)~n∈C;(ii)xy~l-(yx)~n∈C;(iii)x~ly-(xy)~n∈C;(iv)x~ey-(yx)~n∈C.     

环的交换性定理

本文证明了: 定理1 设R是有左单位元e的结合环的而N为其诣零元集合,如果R中恒有。(i) x~(n(x))-x∈N x∈R此处n(x)是大于1的依赖于x的整数;(ii) x≡y(mod N)就导致x~i=y~i x~j=y~j i=i(x,y) j=j(x,y) (i,j)=1是与x,y有关的大于2的整数或者x,y与N中每一元都可交换。则R为交换环. 定理2 若R是kothe半单环,a,b∈R,存在k≥m=m(a,b)≥1;l≥n=n(a,b)》1使得[(ab)~m(ba)~n]∈Z(R)且R之特征为p(素数),则R为交换环。     

关于强P除环上方阵的酉相似理论的一点注记

在文[1]中定义了强p除环Ω,即满足如下条件(1)—(4)的除环Ω: (1)存在Ω的对合反自同构σ(即σ为反自同构,且σ(σ(α))=α Aα∈Ω) (2)Aα_i∈Ω,i=1,…,n(n∈N) sum from i=1 to n(α_iσ(α_i)=0 α_i=0,i=1,2,…,n)。 (3)命R={α∈Ω|σ(α)=α},则R含在Ω的中心中。 (4)Aα_i∈Ω,i=1,2,…,n(n∈N)方程x~2-sum from i-1 to n(α_iσ(α_i))=0在Ω中有且只有两解。 事实上,除了平凡的情况外,强p除环Ω就是R上的四元数除环。确切地说,我们有 定理1 设Ω为强p除环,则Ω为(1)R,(2)R+R_i或(3)R上的四元数除环。这里     

关于Jacobson根的一些研究

主要证明了:(i)假设R是右广义半正则右ACS-环,若J(R)∩I=J(I)对于R的任意右理想I都成立,则J(R)=Z(RR);(ii)如果R是右AP-内射环且R的每个奇异单右R-模是GP-内射,则对于R的任意右理想I都有J(R)∩I=J(I).     

半质环的一个交换性条件

定理 设R是半质环,则R是交换环的充分必要条件是: 对任意x,y∈R,存在整数n=n(x)>1,s=s(x)>1及t=t(x)>1(或者n=n(y)>1,s=s(y)>1及t=t(y)>1)使得 (xy)ⁿ-x³y^t∈Z(R). 其中Z(R)是R的中心。     

某些环的结构

Jacobson的著名定理指出,若结合环R满足:对任意x∈R均有整数m(x)>1使x~[m(s)]=x,则R同构于一些域的亚直接和.Putcha与Yaqub推广了此结果.定义x_1,…,x_n的一个字w(x_1,…,x_n)为一个乘积,其每个因子都是某个x_i(i=1,…,n).于是,一个多项式f(x_1,…,x_n)则具形     

半质环的一个定理

本文给出了下面的结果:定理 设 R 是半质环,如果 a∈R 满足下面的条件之一1ax)~2-(xa)~2∈Z(R) (?)x∈R 2) (ax)~2 (xa)~2∈Z(R) (?)x∈R这个定理推广了郭元春[1]和[2]的两个定理。再讨论过程中也推广了文献[3]的一个定理。     

环上矩阵环的导子

文[1]讨论了除环上2阶全矩阵环的导子的一些性质,本文继此讨论一般结合环R上的R阶全矩阵环R_n的导子的性质.环R的加群自同态(?)称为R的导子,若对x、y∈R,有d(xy)=xd(y) d(x)y.如下总假定R有单位元,且用R_n表示R上的n阶全矩阵环,E_ij表示(i,j)位置元素为R的单位元1其余元素为零的R_n的矩阵单位,xE饰表示对角线上元素为x的数量阵.     

半质环的两个交换性结果

定理1 设R是半质环,m,n是固定正整数,且n>1.如果R满足条件(x^my)ⁿ-x^my∈Z(R),?x,y∈R,则R是交换环.定理2 设R是半质环,m,n,s,t是固定正整数,且(m+n)t=s+1,mt>1.如果R满足条件[x^m,yⁿ]^t-[x,y^s]∈Z(R),?x,y∈R,则R是交换环.     

一般环之因子幂零理想

本文称环Ω的左(右)理想A为因子幂零的,如果对于任意元素r∈Ω,均有正整数m=m(r),使得A^mr={0}.称Ω的一个左理想L为关于元素b∈Ω的左因子,如果Lb≠{0}.定理4 设R是环Ω的因子幂零右理想,那么R+ΩR是Ω的一个因子幂零理想.定理7 设Ω具有局部左因子极小条件,那么Ω的任意诣零左理想必是因子幂零左理想.本文指出因子幂零性是介于幂零性与诣零性之间的一种性质,更接近幂零性。     

半质环的若干交换性条件

设R表示结合环(可以没有单位元)，Z(R)为环R的中心，对任意x·y∈R，[x，y]=xy-yx，郭元春证明了满足(xy)^2-xy^2x∈Z(R)的半质环是交换环，魏宗宣用类似的方法证明了满足(xy)^2-yx^2y∈Z(R)的半质环是交换环，我们推广上述结果，证明了下面的定理。     

半素环的几个交换性条件

一个半素环 R是交换环当且仅当 R满足下列条件之一 :( ) (xmy) n+xmy∈ Z(R) ,对任意的 x ,y∈ R。( ) (xmy) n- yxm∈ Z(R) ,对任意的 x,y∈ R。( ) (xmy) n+yxm∈ Z(R) ,对任意的 x,y∈ R。其中 m,n是固定的正整数且 n >1     

关于高斯整数环的商环元素个数的注记

设 Z表示整数环 ,i表示虚数单位 ( i=- 1 ) .Z( i)为所有形如 a+ bi( a,b∈ Z)的复数组成的集合 ,称为高斯整数环 .高斯整数环中的元素称为高斯整数 .在文 [1 ]中 ,提出了两个猜测 ,其中之一是 :设 m和 n都是整数 ,则高斯整数环 Z( i)的商环 Z( i) /( m+ ni)的元素个数不超过 m2 + n2 .本文证明这一结论成立 ,且更明确的有 ,| Z( i) /( m+ ni) | =m2 + n2 .注意 ,对 m=0 (或 n=0 )以及 m任意但 n=1 (或 n任意但 m=1 )的情形 ,文 [1 ]已经证明此等式成立 .以下我们用 | A|表示集合 A的元素个数 ,也用 | α|表示复数 α的模 .下面给出的是…     

一类特殊的有限循环环

证明了一类n阶(n=P_1P_2…p_m,p_i(i=1,2,…,m)互异为素数)环是有限循环环,并讨论了他们的结构及相关性质,最后给出了这类n阶环有零因子或有子域的充要条件.主要结果:P_1P_2…P_m阶环共有2^m个,它们是(p_(1m个,它们是(p_(1^k_1) p_(2k_1) p_(2^k_2)…p_(mk_2)…p_(m^k_m)Z)/(p_(1k_m)Z)/(p_(1^k_1+1)p_(2k_1+1)p_(2^k_2+1)…p_(mk_2+1)…p_(m^k_m+1)Z),其中k_i=0或1,1≤i≤m;阶是n=P_1P_2…p_m的环R可唯一分解为m个素数阶理想的直和,即R=〈α〉=(?);含pi(1≤i≤m)阶子域的P_1P_2…P_m阶环共有2k_m+1)Z),其中k_i=0或1,1≤i≤m;阶是n=P_1P_2…p_m的环R可唯一分解为m个素数阶理想的直和,即R=〈α〉=(?);含pi(1≤i≤m)阶子域的P_1P_2…P_m阶环共有2^(m-1)个,它们是p_(1(m-1)个,它们是p_(1^k_1) p_(2k_1) p_(2^k_2)…p_(mk_2)…p_(m^k_m)Z)/(p_(1k_m)Z)/(p_(1^k_1+1)p_(2k_1+1)p_(2^k_2+1)…p_(mk_2+1)…p_(m^k_m+1)Z),其.中k_i=0,k_j=0或1,1≤j≤m,j≠i.     

关于环上的块循环矩阵环

定义了环R上的块循环矩阵环A，主要证明了下列结论：(1)若J是A的理想，d1，d2，…，dn是R的可逆元，则存在R的理想I使得J=I[σ1，σ2，…，σn]．(2)若d1，d2，…，dn是R的可逆元，则(i)R是单环当且仅当A是单环；(ii)R是局部环当且仅当A是局部环；(iii)J(A)=J(R)[σ1，σ2，…，σn]；(iv)R是半本原环当且仅当A是半本原环．(3)若d1，d2，…，dn都是R的幂零元，则J(A)=J(R) ( (i1,i2,…,im)∈r＼(0,0，…．0n)}RO2 2^1 O2 2^3…O2 2^3.(4)R是左Artin(Noether)环当且仅当A是左Artin(Noether)环．(5)若R有左Morita对偶(自对偶)，则A有左Morita对偶(自对偶)．     

关于循环环的零因子、零化子以及单位群的结构

研究了循环环的零因子、零化子以及单位群的结构,得到的主要结论有:1)若R为无限循环非零乘环,则有R_0=φ,Z(R)=0;又设R=a,a~2=ka(k∈Z,k≠0),若|k|=1,则R~*={a,-a};若|k| 1,则R~*=φ.2)设n( 1)阶循环环R=a,a~2=ka(k∈Z,0 k n), i)如果(k,n)≠1,则有R_0=R-{0}, Z(R)=n/(k,n)a,|Z(R)|=(k,n),R~*=φ; ii)如果(k,n)=1,则有R_0={sa|0sn,(s,n)≠1},Z(R)=0, R~*={sa|0 s n,(s,n)=1},|R~*|=φ(n);并且R~*是循环群的充要条件是:(k,n)=1,且n等于2,4,p~α或2p~α(p是奇质数).最后,给出了上述主要结论的一个应用.     

环Z[X]不是中华环

设R是具有单位元1的交换环;A是R中的理想而a,b则是R中的任意元.定义a≡b(A)若Ra+A=Rb+A.称环R是中华环若a≡b(A+B),则存在c∈R使c≡a(A)及c≡b(B).环是中华环的充要条件是由K.Aubert与A.Beck二人于1980年找出的.显然,整数环Z必是中华环.Aubert与Beck二人亦证明了Z[x,y]不是中华环.但他们二人无法证明Z[X]是否中华环.本文用不同的手法处理,证明了Z[X]不可能是中华环.同时,我们进一步证明,对任意代数数a,环Z[a]均是中华环.因此,Aubert与Beck在1980年所提出的问题,在本文中得到圆满的解答.     

由子模格决定的准素模

本文主要给出以下定理C。设Ri(i=1,2)是MLPI环（即Ri是有位单元的结合环，且每个极大左理想必是主理想），元素Pi∈Ri使得RiPi是Ri的极大左理想，Mi是Pi－准素的Ri－模。则我们有以下定理C 设M1的终Goldie维数（＝min{P^n1M1的Goldie维数|n=0,1,2,…|}）≤3，如果有子模格同构f:L(M1)^~-L(M2)。则有逆向全射系{R1/R1P1^n(n∈N)；θ}与{R2／R2P2^n2(n∈N)；θ′n}之间的同构{ψn:R1/R1P^n1→R2/P2^2(n∈N),其中θn和θ′n(n∈N)是自然满同态，ψn(n∈N)是环同构。若令R^*1,R^*2分别是以上两逆向全射系的逆向极限环。则有环同构ψ：R^*1^~-R^*2和M1到M2的ψ－线性同的φ，φ诱导出f:fR1x=R2φ（x），任意x∈M1。易见：（1）当P1＝0＝P2，且M1是有限维向量空间时，由定理C即得射影几何的基本定理；（2）当R1＝Z＝R2，且P1和P2为素数时，由定理C即得Pi＝P2，从百得Baer关于交换p－群的相应结果。     

矩阵环的半交换子环

称环R是半交换的,如果对任意a∈R,rR(a)是R的理想．若n≥2,则任意具有单位元的环R上的n阶上三角矩阵环不是半交换环．我们证明了reduced环上的上三角矩阵环的一类特殊子环是半交换环．     

广义IP-内射环

对环R,令ip(R_R)={a∈R：任意一个从R的右理想到R且象为aR的模同态能开拓到R}。众所周知,R为右IP-内射环当且仅当R=ip(R_R),R为右单-内射环当且仅当{a∈R：aR is simple)(?)ip(R_R)。对环R的一个子集S,我们引进了S-IP-内射环的概念,即满足S(?)ip(R_R)的环。并得到了这种环的一些性质。