数学奥林匹克讲与练(Ⅲ)

例题讲解17．证明：从任意200个共数中，总可以取出100个数，使其和为100的倍数．证明用Pk表示命题：“从（2k—1）个整数中总可以取出足个数，使其和为足的倍数．”证明分以下四步：（I）P。成立：任意三数中必有两数同奇仍性，其和是2的倍数；（1）PS成立：设给定9个整数，其被5除的最小非负剩余为0＜rl＜rZ＜…乓r。＜4．1）若（i：f一1，…，9）中有5个相同，则其对应的5个数之和是5的倍数；2）若（i：f一1，…，9）中无三个相同，则其中必含有0、1、2、3、4，它们所对应的五数之和是5的倍数；3）若（n：i—1，…，9）中有三个或四个…     

正负符号怎么添

<正>问题若有1,2,3,…,n共n个数字,不改变它们的顺序,能否在每两个数字之间添上"+"或"-"号,使它们的和为0?当数字不多时,通过观察、计算,我们可以确定可否做到;当数字为4的倍数个时,我们由经验"1-2-3+4=0"、"5-6-7+8=0"得知,把它们自1起,每四个一组,符号依次为"+、-、-、+"即可.但问题又来了,当数字很多或数字不是4的倍数个时,还能做到吗?为叙述方便,我们把在1,2,3,…n的每两个     

关于“跟踪乘”的分类与应用

在珠算乘法运算中，遇到乘数中原数或经调整、分解、拆开、变式后的数组中，有相同、近似和有倍数关系的数字或邻近两数和为9(即为9的倍数)的数字时，可先求出其中某一位数与被乘数的乘积，而后其他数字不必再逐一与被乘数相乘，可利用这个乘积，在相应的档位上直接加减，以求出其终积的方法叫“跟踪乘”，又叫“随乘法”，“移积乘法”等等。这是一种好学、易懂、简便、迅速的珠算简捷算法。     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年７月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０２１任意给定个不同的自然数，证明其中必有两个数的和或差是ｎ的倍数证明任意个不同自然数除以ｎ的余数，只能是０，１，２，…，（ｎ－３），（ｎ－２），（ｎ－１），这ｎ个数中的数．１）如果这个余...     

怎样设计游戏才公平

今天我和刘雪颖做游戏,拿出了3张卡片：4、5、6。游戏规则是：有数字那面朝下,从中任意取2张。如果取出的2张的数字和是双数,我获胜;如果取出的2张的数字和是单数,刘雪颖获胜。谁获胜的可能性大？     

关于“跟踪乘”的分类与应用

在珠算乘法运算中,遇到乘数中原数或经调整、分解、拆开、变式后的数组中,有相同、近似和有倍数关系的数字或邻近两数和为9(即为9的倍数)的数字时,可先求出其中某一位数与被乘数的乘积,而后其他数字     

数学奥林匹克讲与练(14)

例题讲解１０５．设Ｎ为自然数,将Ｎ的各位数字按相反的次序写出,所得的数称为Ｎ的反序数,记为Ｎ←（例如,１９４５←＝５４９１,４５００←＝５４,等等）．设自然数ｋ具有性质：当Ｎ是ｋ的倍数时,Ｎ←也是ｋ的倍数．求证：ｋ必是９９的因数．证明首先我们注意到,...     

Lienard方程周期解、概周期解的存在性

本文考虑Ｌｉｅｎａｒｄ方程ｘ”十ｆ（ｘ）ｘ’＋ｇ（ｘ）＝ｅ（ｔ），我们得到：当且时，对于任意周期或概周期。数ｅ（ｔ），它有周期或概周期解．而对于Ｌｉｅｎａｒｄ方程ｘ”＋ｆ（ｘ）ｘ’＋ｃｘ＝ｅ（ｔ），我们得到：当ｃ＞０且时，对于任意周期、或概周期函数ｅ（ｔ），它有周期或概周期解．     

探讨能否引入极坐标研究二重极限的问题

研究二重极限时，由于动点P（x，y）趋向于定点P0（x0，y0）的方式可有无穷多，因而比一元函数的极限问题要复杂的多。本文将探讨能否引入极坐标来研究二重极限的问题。在引入极坐标时，有人这样作：于是，对任意固定的0得出不正确的结果：许多参考书以此例来说明不能引入极坐标来计算二重极限。但我们却不以为然。实际上，在第二种计算过程中0被固定了，这与（x，y）是任意方式趋于（0，0）不符，·所以0也应是任意变化的．考虑0的任意性，我们作如下讨论：令；‘二ksino，而6、O，即（‘。，y）沿曲线r一L－．－D。～，。。、。。，；k…     

“隐含条件”对确定微分方程解的作用

微分方程解的理论告诉我们：通解中任意常数的个数与方程的阶数相同，求得通解后，利用初始条件就可确定其特解。但对某些特殊问题，微分方程的通解中任意常数的个数多于微分方程的阶数或持解决定不出。我们认为这并不是解的理论出了问题，而是一些条件没有得到充分利用，笔者将其称为“隐含条件”。现举例说明如下：试求函数f（x）。解为：而一阶方程只含一个任意常数。分析可知：f（t）是方程的解，则存在。据可导必连续有人0”）一八百）定出口2＊一1．故所求通解为人X）一在这里f连续是“隐含条件”。例2求方程y”W4y一3sinx在卜一。，…     

游戏的规则公平吗？

<正>通过对这两年全国各地近300份中考数学试题的研究,我们发现,有不少试卷里设计了运用概率模型解释、判断游戏是否公平的问题.略举几例.例1(2013年杭州)某班有50位学生,每位学生都有一个序号,将50张编有学生序号(从1号到50号)的卡片(除序号不同外其它均相同)打乱顺序重新排列,从中任意抽獉獉獉取獉1獉张獉卡片.(1)在序号中,是20的倍数的有:20,40,能整除20的有:1,2,4,5,10(为了不重复计数,20只计一次),求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率;(2)若规定:取到的卡片上序号是k(k是满足1≤k≤50的整数),则序号是k的倍数或     

三位数九倍的识别及与连同数乘积的速算

一个三位数如果是9的倍数,怎样一眼看出倍数是多少呢?其方法是如果这个三位数各个数位上的数字之和为9,则倍数的十位为这个三位数百位上的数字,倍数的个位为这个三位数个位上数字的补数。如261÷9=29,513÷9=57,612÷9=68等。如果这个三位数各个数位上的数字之和为18,则倍数的十位为这个三位数百位上的数字加1,倍数的个位为这个三位数个位数字的补数,如198÷9=22,477÷9=53,675÷9=75等。     

弃九是个好办法

最近,我们上数学课都晕乎乎的.这是为什么呢?因为数学概念太多了,从刘老师介绍的整除、除尽,到书本上的因数倍数、质数合数、奇数偶数……我们满脑子都是各种数的名称,真担心它们会“打起来”. 不过,其中也有好玩好学的,比如“2、5、3的倍数的特征”. 凡是末尾是0、2、4、6、8的数就是2的倍数.还有,我们经常用5、10、15、20、25……这样的方式来数数,而这些数都是5的倍数.     

关于自然数的一些有趣的性质(Ⅱ)

从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中任意取两个数,比方取4与5,用这两个数字可以作出54与45这样两个自然数,将这两个自然数相减,我们得到 54-45=9。如果取2与7这两个数字,由它们可以作出72与27这样两个自然数,相减得到 72-27=45,到这里我们看到,只要对4与5所能构成的两个自然数54与45再相减,就得到9。取3与6两个数字,按上述规定的手续得到 63-36=27,由上面已讨论过的情形看出,只要对2与7再施行上述手续2次,我们就仍然得到9这个数。     

存在三边均非3的倍数的海仑三角形

存在三边均非３的倍数的海仑三角形６１７０６２四川攀枝花十九冶二中方廷刚文［１］证明了基本海仑三角形的面积是６的倍数（性质３）而至多有一边是３的倍数（性质４），并提出问题：三边均非３的倍数的基本海仑三角形是否存在？我们在此给出了肯定的回答．如图，Ｂ、Ｄ...     

神秘的运算圈

同学们，凶残的快刀郎被数字旋风卷走了，你想不想见识一下这神奇的数字旋风呢？那就快跟我来吧！ （一） 任意选取一个个位数字与十位数字不同的两位数，将这个数的个位和十位数字次序调换一下，就得到一个新的两位数，     

加倍法的延伸

加倍法是乘法的速算法之一。这种利用倍数关系，可以用加法简算。这里，由此延伸一下。从前，我们部在单数(1、2，8、4、5、6、7、8、9)上加倍，今将延伸到复数(11、22、33、44、55，66、77、88、99)的加倍。这里分两种：     

魔幻三角形的推广

魔幻三角形是一种填数字谜的游戏，它是数学中一个十分有趣的问题．最简单的问题如下：将1至6这六个数字填入图1中之圆圈内，如何填人这六个数，使得魔幻三角形中每条边上的三个圆圈内数字之和相同？     

再探数字“黑洞”

探究数字“黑洞”: “黑洞”原指非常奇怪的天体,它体积小,密度大,吸引力强,任何物体到了它那里都别想再“爬”出来.无独有偶,数字中也有类似的“黑洞”,满足某种条件的所有数,通过一种运算,都能被它“吸”进去,无一能逃脱它的魔掌.譬如,任意找一个3的倍数的数,先把这个数     

利用9的倍数进行多位数乘法速算

一个数的各位上的数的和能被9整除(即各位数字的和是9的倍数)这个数就是9的倍数，根据这个特征、按“九几下加几”、“逢九进1”的口诀找出这个数是9的几倍。设这个数为B，是9的n倍，即B=9n，然后用9乘捷法进行速算。