具有二次代数极限环线的方程(dy/dx)=(sum from 0≤i+j≤3 (a_(ij)x~iy~i))/(sum from 0≤i+j≤3 (b_(ij)x~iy~i)

<正> 具有二个二次代数曲綫为极限环的充要条件,并解决了周期解的唯二性,稳定性和結构稳定性,同时对其扑拓結构进行分类,并給出了(E)_3全局拓扑图形的代数制定方法,在証明     

微分方程组x=a sum from (i j=2) (aijxiyj),y=b sum from (i j=2)(bijxiyj)的极限环存在的分歧值与代数奇异环

In this paper we consider algebraic critical cycles and bifurcation of limit cycles for the system .     

方程(dy)/(dx)=(sumq_(ij)x~iy~j from 0≤i+j≤2)/(sum p_(ij)x~iy~j from 0≤i+j≤2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅵ):Ⅰ类方程的极限环

继【2],考察最一般的I类方程注劣.,二,二,_,、d,_,—~一y十心x十lx’十xy十n犷~尸Lx,夕),一~x~夕气x,y)‘dt----一dt一在其中不”‘+·>0,方程(‘,有两个有限远奇点:“(0,。,为焦点,“(”,劲(l)为鞍点,由旋转向量场的理论[a.4]得知,当d由。变为负值时,0由不稳定焦点变为稳定,在它附近产生一个不稳定极限环,且随d减小而单调地扩大.〔l]首先证明了:当l~o时,此极限环最后遇鞍点N而消失.在这一过程,没有其它极限环产生.【2」则证明了。~0或l一41,一。时极限环的唯一性.本文将证明,当,)21>0,l,)丝时,(l)的极 l6限环最多也只有一个.与此同时,还…     

The Algebraic Critical Cycle and Bifurcation Function of Limit Cycle for the System =xy, =sum from 0≤j+i≤2 (a_(ij)x~iy~j)

In the quadratic system possessing one integral straight line (?)=xy,(?)=sum from o≤i+j≤2 (a_(ij)x~iy~j) (1) there may exist a triangle critical cycle which is formed of two rays and a section of arc of equator on Poincar sphere, if(1) possesses two integral straight lines. Besides, in that paper the bifurcation function of limit cycle of(1) is also found. In this article we prove that there may exist a lune of critical cycle which is formed of an algebraic curve and a section of arc of the equator on the Poincar sphere; or is formed of an algebraic curve and a straight line. Moreover, we will also find out bifurcation function of limit cycle.     

方程(()=-y+σx+mxy-y~2 ()=x(1+ax))的极限环集中分布问题

的极限环集中分布问题,我在“二次系统Ⅱ类方程极限环的分布”(本刊,1983年第4期)一文中得到的结果实际上已经解决了这一问题,由于当时判断有误,没有发现这一点,认为“还不能把[4]中得到的两个区间连接起来”。 将文中(7)式的(i)应用于(8′),得     

模糊关系方程组supj∈mT(a_(ij),x_j)=bi,i∈n的解

本文讨论[0,1]上sup-T合成模糊关系方程组的解集。这里,T为阿基米德t-模。首先给出方程组解集非空的充分必要条件,然后利用阿基米德t-模的加法生成子t描述了方程组的最大解和极小解,证明方程组解集不空时每个解有极小解,最后描述了方程组的解集。     

具有二次代数积分曲线的微分方程(dy)/(dx)=(■a_(ij)x~iy~j)/(■b_(ij)x~iy~j)=(Y_n(x,y))/(X_n(x,y))

有许多类型的微分方程,如果知道了它的某些特殊积分,就可以使它的形式简化;如果知道了足够多的积分,甚至可以把它的形式完全确定下来.这类工作对微分方程的求解或定性研究,都起着一定作用.这工作本身也有一定的理论意义.本文就型为     

方程组dx/dt=(sum from 0≤i+k≤2 a_(ik)x~iy~k,dy/dt=(sum from 0≤i+k≤2 b_(ik)x~iy~k)的分界环线之构造

<正> 其中P,Q为連續实函数,在全平面上仅有有限个零点,且适合軌綫的存在唯一条件. 如所周知,(E)的任一軌綫的极限集必为下列之一:孤立奇点;极限环綫;奇点及某些軌綫組成之閉曲綫.为了研究最后这一情形中的閉曲綫的构造,首先应該考察最簡单     

方程=h(y)-F(x),=-g(x)的极限环存在定理

在保证 Liénard 系统=y-F(x),=-g(x)(1)存在极限环的定理中, 定理要求的条件普遍认为是最少的.对作为定理的特例之定理,近年有不少加以改进和推广之结果.但对定理本身加以推广,除文[3]外不多见.我们讨论较(1)更广泛的系统(?)=h(y)-F(x),(?)=-g(x).(2)记 G(x)=integral from n=0 to x g(ξ)dξ,令 z=G(x),作变换,记 F_i(z)=F(G_i~(-1)(z)),其中x_1=G_1~(-1)(z),x_2=G_2~(-1)(z)分别是 z=G(x)在 x>0和 x<0时的反函数,在xg(x)>0的前提下,上述反函数存在,这时系统(2)变为     

论二个自变量常系数线性偏微分方程sum from i j≤n a_(ij)p~iq~jφ=0的解的构造

本文是文[1]的继续.对更广泛的一类二个自变量常系数线性偏微分方程的求解方法作了详细地研究,给出了解的一般表示,这种表示可用来逼近具体问题的定解条件.为说明所得结果的运用.文中举出了具体的力学应用实例.     

具有二次代数极限环线的方程——(dy)/(dx)=(a_(10)x+a_(01)y+a_(30)x~3+a_(31)x~2y+a_(12)xy~2+a_(03)y~3)/(b_(10)x+a_(01)y+b_(30)x~3+b_(31)x~2y+b_(12)xy~2+b_(03)y~3)

自从秦元勋始出了二次代数方程,具有二次代数极限环线一文后,作者考虑了(E)_3这个三次方程,具有二次代数极限环线的情形。本文中首先给出了此方程在全平面上奇点的分布,进而解决了只有一个奇点时,二次代数极限环线存在的充分及必要条件,周期解的唯一性(在较特殊的情形下)及其稳定性。 (作者对秦元勋老师热情的鼓励和帮助,表示衷心感谢。)     

构造函数f(x)=sum from i=1 to n()(a_ix-b_i)~2证明不等式

函数 ｆ(ｘ) =∑ｎｉ=1(ａｉｘ -ｂｉ) 2 =(ａ1ｘ -ｂ1) 2 + (ａ2 ｘ -ｂ2 ) 2 +… + (ａｎｘ -ｂｎ) 2 是关于ｘ的二次函数且具有特点 :①二次项系数大于 0 ;②函数值 ｆ(ｘ)≥ 0 .则有其判别式Δ≤0 .某些不等式证明题 ,若能根据已知条件和结论的特点 ,巧构函数 ｆ(ｘ) =∑ｎｉ=1(ａｉｘ -ｂｉ) 2 ,从而利用 ｆ(ｘ)≥ 0 ,Δ≤ 0可轻松获解 .例 1　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ且ａ + 2ｂ + 3ｃ=6 ,求证 :ａ2 + 2ｂ2 + 3ｃ2 ≥ 6 .证　构造函数 ｆ(ｘ) =(ａｘ - 1 ) 2 + ( 2·ｂｘ - 2 ) 2 + ( 3ｃｘ - 3) 2 =(ａ2 + 2ｂ2 + 3ｃ2 )·ｘ2 - 1 2ｘ + 6…     

微分方程组(dX)/(dt)=AX+e~(αt) sum from k=0 to m(B_kt~k)特解结构定理及应用

对于常系数非齐线性微分方程组(dX)/(dt)=AX+F(t),当强迫项F(t)=e~(at) sum from k=0 to m(B_kt~k)(这里Bk=(b1k,b2k,…,bnk)T∈Rn),给出了微分方程组(dt)/(dX)=AX+F(t)特解(t)的结构定理和计算方法,使求特解-X(t)的积分运算转化为简单的代数运算.解决了计算机特解(t)的计算问题.     

微分方程=φ(y)-F(x),=-g(x)的极限环的存在唯一性和唯二性

本文§1讨论方程组 (?)=(?)(y)-F(x),(?)=-g(x)极限环的存在性,推广了作者的结果和方法. §2建立了各种类型的极限环存在唯一性定理.包括(E)的一切轨线是否绕原点打转,积分integral from 0 to ±∞(g(x)dx)和integral from 0 to ±∞(F′(x)dx)是否发散,奇点为一个及两个等情况;包括(E)的一切异于零的轨线当t→+∞时都趋于此唯一的极限环,以及可用以确定极限环的位置     

也谈函数f(x)=sum from i=1 to n=1(︱a_ix+b_i︱)的最小值

文[1]对函数f(x)=∑ni=1aix+bi的最小值进行了研究,得到如下结论:对于函数f(x)=∑ni=1aix+bi(ai∈Q,且ai≠0,bi∈R,i∈N*),总可以写成f(x)=m1[x-x1+x-x2+…+x-xn](x1≤x2≤…≤xn,m,n∈N*)的形式.(1)若n=2k-1(k∈N*),则x=xk时,f(x)取值最小;(2)若n=2k(k∈N*),则x∈[xk,xk+1]时,f(x)取值最小.上述结论只解决了ai∈Q的情形,并要对f(x)进行变形写成m1[x-x1+x-x2+…+x-xn]的形式.为此,笔者进一步研究得到更一般结论,使得问题彻底解决.因f(x)=∑ni=1aix+bi=∑ni=1ai x+biai,所以只要研究f(x)=∑ni=1ai x-xi(ai>0,x1相似文献   

从IMO试题谈公式C_(2n)~n=sum ((C_n~i)~2) from i=0 to n 之应用

从ＩＭＯ试题谈公式Ｃｎ２ｎ＝ｎｉ＝０（Ｃｉｎ）２之应用余世平（华中师范大学一附中４３００７０）公式Ｃｎ２ｎ＝ｎｉ＝０（Ｃｉｎ）２（＊）为一常见组合恒等式，其证明的方法繁多，这里不一一叙述．现在我们来看一看这个公式在最近几年国际国内重要竞赛中的应用...     

关于扰动系统=y+εP_n(y)x,=-x+εQ_n(x)y的极限环的上界(英文)

本文利用Paincare分支理论,给出了扰动系统的判定函数,并由此得到了该系统极限环最大个数等结果。同时还讨论了Lienard方程对应的扰动系统的有关问题,很容易得到了文[3]中的有关结论。     

关于(sum from i=1 to n a_ib_i)~2下限值的探讨

对a、b两组实数a_i,b_i(i=1,2…,n),切贝雪夫不等式给出sum from(a_ib_i)(本文略去求和上、下限)上下限: 若a_i,b_i同序,有sum from(a_ib_i)≥1/n(sum from(a_i))(sum from(b_i));若a_i,b_i逆序,有sum from(a_ib_i)≤1/n(sum from(a_i))(sum from(b_i)),柯西不等式给出了(sum from(a_ib_i))~2的上限值     

STABILITY OF THE SOLUTION OF THE ITERATED EQUATION sum from i=1 to n λ_if(x)=F(x)

This note is a further work of discussion on the iterated equation λ_1f(x)+λ_2f~2(x)+…λ_nf~n(x)-P(x), following the author's conclusions of the existence and uniqueness of this equation. In this note we prove that the sufficient condition of the stability of the solution is the same one as the uniqueness of the solution (see [4]).