例谈“零点设而不求”在解题中的应用

函数零点是函数的重要概念,特别地,导函数的零点在解决函数单调性、最值性、不等式证明等问题中地处"咽喉",至关重要.但有些问题,函数或导函数是超越函数无法求出它的零点,实际上从问题目标来看也不需要求出零点,这时我们可对零点采取"设而不求"的方法进行处理,本文就此举例说明零点设而不求法在解题中的应用.     

例谈零点设而不求法在解题中的应用

函数零点是函数的重要概念,特别地,导函数的零点在解决函数单调性、最值性、不等式证明等问题中地处"咽喉"至关重要.但有些问题,函数或导函数是超越函数,无法求出它的零点,实际上从问题目标来看也不需要求出零点,这时我们可对零点采取"设而不求"的方法进行处理,本文就此     

设而不求极值点的作用

<正>一般情况下极值点是使导函数等于零的数,是单调区间的分界点.当导函数为单调函数或者导数变为若干因式乘除后,不确定符号的因式为单调函数时,极值点设而不求会发挥其强大作用.本文意在通过三道导数题说明极值点设而不求的三种作用.作用一求出极值点的近似值,整合极值点满足的等式,简化最值的形式,得到最值的     

虚设零点虽好 数形结合更妙

<正>通过导数分析函数的极值进而求出函数的最值是解决函数导数综合问题的基本方法.当导函数的零点不易求出时,一般采取的方法是直接设出零点,用含有零点的式子表示出函数的最值,再结合其他条件解决问题,我们称这种解题技巧为"虚设零点"法.这种方法 "避实就虚",应用广泛,颇受学生欢迎.但数学解题不能形成思维定势,有些问题结合图形来分析求解更好.下面撷取三例,希望对大家的学     

例析设而不求解答奇数问题

<正>我们知道,超越方程中学阶段学生难以求出具体的实根,但在导数问题中,经常会遇到两类问题.第一类,解题过程中需用到函数的零点,当我们把函数的零点转化为方程的根的时候,面对超越方程,难以求出其实根.第二类,在可导函数极值问题中,首先求导,令导数为零,求出可疑极值点.但有些函数的导函数为超越函数,其零点(可疑极值点)难以求出.     

从导函数的零点出发研究函数的单调性

<正>函数的单调性是函数的重要性质,利用导数研究函数单调性是常用的方法,判断可导函数单调性的依据是确定导函数的正负,而导函数的零点可以作为判断导函数正负的出发点.有关单调性的最基本问题是求一个函数的单调区间,函数的定义域通常被分成若干个区间,有单调递增区间、单调递减区间.这些区间的分割点就是导函数的零点.确定导函数的零点方法各异.     

“导根反代”——隐零点法的精髓

<正>导数中的“隐零点”问题是指:当一个函数的零点存在但又无法求出的零点问题．“导根反代”是指:由于可导函数的极值点是其导数的零点,不求出导数零点的具体数值,而是用导数零点x0建立方程,得到关于x0的关系式,将关系式代入原函数f(x₀)中消去指数、对数或者参数,最终化为关于x₀的函数,最终根据x₀的范围求解具体问题．本文通过两个具体的例子来体会导数中的隐零点法精髓——“导根反代”．     

例谈导数零点不可求问题的解决办法

<正>函数是高中数学的核心内容,导数是研究函数性质重要而又有力的工具.导数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法,具有较强的综合性,能较好评估学生的学习力,是每年高考必考题之一.高考题中有关导数问题的考查,往往是以压轴题的形式出现,有一定的灵活性,一般是先求出导数,然后求出导数为0的值即导数的零点,利用导数值的正负来确定原函数的单调性,从而使问题得到解决.但有时会碰到导函数是超越式,导数的零点不可     

设而不求 解几何两例

在数学问题的求解过程中,有时对一些未知量只需设出,而不必求出其值,我们称这种方法为设而不求.当问题的已知条件较少时,可用设而不求的方法,设一些不必求出值的未知数作为辅助未知数,帮助我们建立已知与未知之间的联系,以便列方程求解.例说如下:     

例析设而不求思想在函数求值中的应用

我们知道,对于可导函数求极值问题。首先求导,让导数为0,求出可疑极值点．但有些函数的导函数为超越函数,其零点（可疑极值点）很难求出,     

导数的“隐零点问题”

<正>导数题是高考的压轴题之一,本质上是用求导的方法来确定原函数的单调区间,进而解决函数的各种问题.通常的步骤是求原函数f(x)的导函数f′(x),接着令f′(x)=0解出f′(x)的零点,得到零点,单调区间就迎刃而解了.不过,有些函数的导数我们可以通过零点存在定理证明它确实有零点,但因为所求方程并非初等方程,无法算出其零点,即便继续求二次导也无济于事.我们将这种导数确实有零点却不能求出具体值的问题称为导数的"隐零点"问题.下面通过几道真题来介绍一些解决"隐零点"问题的方法.     

一道高考试题的多种解法赏析

<正>1试题再现(2020年新高考数学全国Ⅰ卷第21题)已知函数f(x)=ae^(x-1)-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.问(1)易得,下面给出问(2)解法.2隐零点法隐零点法是处理导函数零点不能直接求出的情况下常用的方法,借助隐零点,可以进一步研究原函数的单调性和极最值,给解决导数问题带来极大帮助.     

利用二分法思想巧解零点存在性问题

二分法可用于求方程的近似解,在处理一类函数零点存在性问题时,利用二分法也可使问题快速获解,达到事半功倍的效果.例1已知函数f(x)=ax~3+bx~2+(b-a)x(a,b是均不为零的常数),其导函数为f′(x),求证:函数y=f′(x)在(-1,0)内至少存在一个零点.     

根据同构关系巧构函数解题

<正>导数问题是高考的重点和难点,其难易取决于函数的构成,导数问题中的函数往往是指数函数或对数函数的复合函数,有的问题中函数更是由指数函数和对数函数同时复合而成.由于指数函数和对数函数导函数性质差异很大,导致求这类函数单调性和零点都是十分困难的,解题难度很大,那么解决这类问题有没有好的办法呢?我们先来思考下面的问题.     

“设而不求”在高考中的运用策略

<正>"设而不求"是解答高考题的一个重要技巧.顾名思义,"设而不求"就是在解答数学问题时,先设定一些变量,然后把它们当成已知量,根据题设本身各变量间的制约关系,列出方程,通过代换、消去等手段,不求所设变量,达到解题的目的.准确应用"设而不求"技巧往往能避免很多繁杂运算,使得解题简捷明快、赏心悦目.如何准确运用"设而不求"技巧呢?下     

函数与方程问题中的转化

<正>函数的零点与方程根的问题是高中数学的重要内容,也是高考热点考题之一.往往涉及的函数与方程都比较复杂,并不是能直接解出零点或能求出方程根的问题,它需要将复杂的函数或方程问题转化为我们熟悉的函数或方程问题,并结合不同函数图象的位置关系达到求解的目的.     

关于导函数分析性质的讨论

讨论了导函数的奇偶性、周期性、连续性、零点存在性及介值性等几个分析性质.     

一类导数应用问题剖析

人民教育出版社选修2-2（A版）的书中指出,导数是＂研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具＂,因此,通常借助导数研究函数的相关性质,如函数的零点问题,而又由于方程的根与函数零点之间的关系,导数也常用来研究方程的根.     

函数两个零点证明题的构造解法探究

如果问题的待证结论是关于某个函数两个零点的不等关系式,需要通过研究一个新函数的单调性,并利用不等式的性质进行变形转化解决,其解题核心是构造新函数.本文通过不同角度,探究了函数两个零点证明题的7种构造解法：利用极值前构造函数;利用对称点构造函数;等价变形后构造函数;利用消参构造函数;利用比值构函数;抓住导函数方程构造函数;根据解题需要及时构造函数.     

函数零点的几种转化方法

<正>函数的零点是最近几年高考数学出题的热点,无论是选择题,填空题,解答题的压轴题出现这个知识点的频率都很高.较简单的类型零点可直接求出,零点问题变化较多,但寻求f(x)=g(x)的零点个数主要方法还是转化成两个函数y=f(x),y=g(x)的公共点个数,关键在于y=f(x),y=g(x)的函数图像在同一个直角坐标系中容易画出,有时需要进行变形整理.有些对称问题和纵坐标相等的问题都可以转化成函数交点问题来解决.一、零点个数转化成两个函数公共点个数