Errata for“The Approximate Valuesof Certain SeriesInvolving the Prowersof Generalized Fibonacciand Lucas Numbers

On page1 5 8,( 6) ,( 7) ,( 8) ,and( 9) should be,respectively:∑∞n=1α4nU22 n U22 n+ 2≈ ΔV2p2 α212 4 - 18lnα+ π296( lnα) 2 - 3α4p4,∑∞n=0α4nV22 n V22 n+ 2≈ V2Δα2 p218+ 18lnα+ π24 ( lnα) 2 ( eπ2 / ( 2 lnα) - 2 ) - 14Δα4p2 - 1Δα2 Δ p3 ,∑∞n=0α4nU22 n+ 1U22 n+ 3≈ ΔV2p2 α418lnα- π24 ( eπ2 / ( 2 lnα) + 2 ) ( lnα) 2 - 1α6p2 - 2α5p3 ,∑∞n=0α4nV22 n+ 1V22 n+ 3≈ V2Δα4p2π24 ( lnα) 2 ( 2 eπ2 / lnα + 1 ) + π232 ( lnα) 2 - 18lnα - 1Δα6p4- 2Δα5p4Δ.In t…     

数论问题

(续上期 )例 9　证明 :对任意自然数n ,数 [( 3+5) n]+ 1被 2 n 整除 .这里 [x]表示实数x的整数部分 .证　论证的要点是给予 [( 3+ 5) n]的一个不同的 (但适用的 )表示 .为此 ,我们考虑数α =3+ 5的共轭数 β =3- 5,它们由整系数二次方程x2 - 6x + 4=0相关联 :是该方程的两个根 .记un=αn+ βn.我们现在易于导出 {un}(n≥ 1 )的递推公式 :以αn 乘α2 - 6α + 4=0 ,及 βn 乘 β2 - 6 β+ 4=0 ,并将结果相加 ,即得un + 2 =6un + 1- 4un,n≥ 1 ( 5)因u1=6 ,u2 =2 8都是整数 ,故由 ( 5)及归纳法知所有的un 都是整数 .注意 0 <3- 5<1 .故 0 <β…     

两个Smarandache复合函数的混合均值公式

对任意正整数n,Smarandache函数U(n)、V(n)定义为:U(1)=V(1)=1,n>1时,若它的标准分解式是n=p_1~(α_1)p_2~(α_2)…p_r~(α_r),U(n)=1{α_1·p_1α_2·p_2,…,α_r·p_r};V(n)={α_1·p_1,α_2·p_2,…,α_r·p_r}.研究了这两Smarandache函数U(n)与V~m(n)的值分布,并用初等方法及素数分布定理得到了几个较强的渐近公式.     

关于一个积分不等式的Djokovi(?)''''s猜想(英文)

在1965年,Djokovi,D.Z提出[1]:设x_0(1-α_1)(x_2-x_0)时,(4)不成立,一般说,(4)式是否成立和点x_0相似文献   

随机场下重对数律的渐近性

设{X,Xk,k∈Zd+}是d维随机场独立同分布零均值的随机变量,β》-1/2,EX2=σ2,如果E[X2(log+|X|)α+d-1(log+log+|X|)β]《∞,则Sn=Σκ≤nXk,α》-1,β》-1/2,EX2=σ, ε(↓)σlim(2(α+d))[ε2-2(α+d)σ2(σ+d)σ2]β+1/2Σn(logㄧnㄧ)α(log logㄧnㄧ)β-ㄧnㄧP(ㄧSnㄧ≥εΓㄧnㄧlog log ㄧnㄧ)=2βσ-(d-1)!(2-(α+d))∏Γ(β+1/2), 其中Γ(·)为Gamma函数.由此回答了Gut和Spataru[4]在d=1时所提出的问题.     

一个不等式的加强

第13届普特南数学竞赛的A—1题为2n3n<∑nk=1k<4n 36n1文[1]利用Abel变换改进不等式为　2n 13n≤∑nk=1k≤4n 36n-162文[2]进一步改进为　2n 23-2-13≤∑nk=1k≤4n 36n-163本文将探讨比3式更强的不等式.定理　对任意正整数n,有　4n 36n 124n-524≤∑nk=1k≤4n 36n-164当且仅当n=1时式中等号成立.证明　这里我们仅证4式下界不等式,4式上界不等式的证明可见文[2].为证4式下界不等式,先证下列不等式:n>4n 36n 124n-　[4(n-1) 36n-1 124n-1](其中n>1)　5要证5式,只要证　4n-16n-1 124n-1>4n-36n 124n,即只要证　(16n2-20n 5)n>(16n2-12n 1)n-1,…     

关于至多一个变点模型的跳变度和坡变度估计向量的渐近分布

对至多一个变点模型其中c(1/n),…,(c(n/n)独立同分布,讨论了变点t_0处,跳变度(α_2-α_1)和坡变度(β_2-β_1)估计向量的渐近分布,且为二维正态分布.     

Arithmetic properties of overpartition triples

Let p_3(n) be the number of overpartition triples of n. By elementary series manipulations,we establish some congruences for p_3(n) modulo small powers of 2, such as p_3(16 n + 14) ≡ 0(mod 32), p_3(8 n + 7) ≡ 0(mod 64).We also find many arithmetic properties for p_3(n) modulo 7, 9 and 11, involving the following infinite families of Ramanujan-type congruences: for any integers α≥ 1 and n ≥ 0, we have p_3 (3~(2α+1)(3n + 2))≡ 0(mod 9 · 2~4), p_3(4~(α-1)(56 n + 49)) ≡ 0(mod 7),p_3 (7~(2α+1)(7 n + 3))≡ p_3 (7~(2α+1)(7 n + 5))≡ p_3 (7~(2α+1)(7 n + 6))≡ 0(mod 7),and for r ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6},p_3(11 · 7~(4α-1)(7 n + r)≡ 0(mod 11).     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 (湖北卷)数学(理工农医类)

一、选择题:本大题共10小题,共50分.1.如果(3x2-x23)n的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为()A.3B.5C.6D.102.将y=2cos(3x 6π)的图象按向量a=(-4π,-2)平移,则平移后所得图象的解析式为()A.y=2cos(3x 4π)-2B.y=2cos(3x-4π) 2C.y=2cos(3x-1π2)-2D.y=2cos(3x 1π2)-23.设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P,且x Q},如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q等于()A.{|x|0相似文献   

一道IMO预选题的推广

第 2 6届 ( 1 985年 )国际数学奥林匹克有如下预选题 .设 x1,x2 ,… ,xn ∈ R ( n≥ 2 ) ,求证x21x21 x2 x3 x22x22 x3 x4 … x2n-1x2n-1 xnx1 x2nx2n x1x2≤ n - 1 . ( 1 )推而广之 ,我们有定理　若 x1,x2 ,… ,xn ∈ R ( n≥ 2 ) ,α,β∈ R,则xα β1xα β1 xα2 xβ3 xα β2xα β2 xα3 xβ4 … xα βn-1xα βn-1 xαnxβ1 xα βnxα βn xα1xβ2≤ n - 1 . ( 2 )证明　 n =2时 ,不等式 ( 2 )左端为xα β1xα β1 xα2 xβ1 xα β2xα β2 xα1xβ2　 =xα1xα1 xα2 xα2xα2 xα1=1 .故 n =2…     

Hardy-Hilbert重级数不等式的推广与改进

本文将著名的 Hardy-Hilbert重级数不等式∑∞m=1 ∑∞n=1ambnm + n≤ πsin(π/p) ∑∞n=1apn1p ∑∞n=1bqn1q∑∞m=1 ∑∞n=1anm + np ≤ πsin(π/p)p∑∞n=1apn进行了带参数形式的推广 ,同时改进了这些不等式     

Sobolev Hardy不等式与临界双重调和问题

该文讨论一类带有奇异系数的双重调和方程〖JB({〗△2u-μ[SX(]u[]|x|s[SX)]=f(x,u),\=u=[SX(]u[]ν[SX)]=0,〖JB)〗\ \ 〖JB(〗x∈Ω,x∈Ω,[JB)] 这里ΩRN是包含0的有界光滑区域，u∈H20(Ω)，μ∈R是参数，0≤s≤2，△2=△△表示双重拉普拉斯算子.当f(x,u)=up,p=[SX(]2N[]N-4[SX)]时，上述问题就是一个临界双重调和问题. 该文运用Sobolev Hardy不等式和变分方法，得到它的解的存在性的一些结果.     

二元非乘积型Baskakov算子的某些逼近性质

该文利用多元分解技巧及一元的结果得出二元非乘积型算子V\-n的两个逼近性质定理.对f∈C\-0(T\+2),‖V\-n(f)-f‖≤cω\-2(f,[SX(]1[]n[SX)]); 对f∈C\+2(T\+2),lim[DD(X]n→∞[DD)]n(V\-n(f)-f)=[SX(]x(1+x)[]2[SX)]f\-\{11\}+[SX(]y(1+y)[]2[SX)]f\-\{22\}+[SX(]xy[]2[SX)]f\-\{12\}.     

一类非多项式型周期Hamilton系统的Lagrange稳定性

证明了非多项式型周期Hamilton方程dx/dt=αH/αY(x,y,t),dy/dt=αH/αx(x,y,t)的Lagrange稳定性,其中Hamilton函数H(x,y,t)=,p_(i,j)是x,y和t的C~∞周期函数,i,j满足适当的上限条件.     

中立型单种群模型周期正解存在性问题

利用抽象连续的k 集压缩原理研究一类中立型单种群模型[SX(]dN[]dt[SX)]=N(t)［a(t)-β(t)N(t)-b(t)N(t-σ(t))-c(t)N′(t-τ(t))］ 周期正解的存在性问题,得到了周期正解存在性的若干结论,改进和推广了已有的工作     

一类椭圆问题正解的存在性和唯一性

该文讨论了二阶拟线性椭圆型问题u|\-\{Ω=0: -div［(d+|u|\+2)\+\{〖SX(〗p〖〗2〖SX)〗-1u］ =λ\-1u\+\{p-1+g(x,u),〓 x∈Ω正解的存在性和唯一性，其中 Ω是 R\+N 中的有界区域, λ\-1 是-△\-p 在 Ω上对应于零Dirichlet边界条件的第一特征根, g(x, t) 满足增长条件lim[DD(X]t→+∞[DD)]〖SX(〗g(x,t)〖〗t\+\{p-1〖SX)〗=0, p>1, 0≤d<+∞〖HT5”H〗关键词:〖HT5”SS〗拟线性椭圆问题； 鞍点； 正解.     

幂平均不等式的最优值

设Mn[r](a)为a的r阶幂平均,0<α<θ<β,那么满足不等式[Mn[α](a)]1-λ.[Mn[β](a)]λ≤Mn[θ](a)的最大实数λ是λ≥{1+(β-θ)/[m(θ-α)]}-1.这里m=min{[2+(n-2)tβ]/[2+(n-2)tα],t∈R++};满足反向不等式的最小实数λ是λ=[β(θ-α)]/[θ(β-α)].本文的方法基于优势理论与解析技巧,对于建立不等式的最优化思想作了尽可能多的展示.作为应用,得到了一些涉及和、积分与矩阵的新不等式(含Hardy不等式的推广与加强).     

已知拓扑下的最短网络

在平面上给定一个有n个固定点的集合S和一个含有m个可动点的集合M及连接这些点的边的集合T(T也称之为拓扑),确定M中点的位置,使点集V=SM的互联网络最短.本文证明了n是偶数m=-1及在满4度Steiner拓扑下最短网络的结构是4度Steiner树.     

非线性两点边值问题的存在唯一性

对于非线性两点边值问题x″=f(t,x,x′),　x(0)=A,　x(1)=B,我们在f,fx,fx′,β(t),α′(t)都连续,且fx≥-β(t), -α(t)≤fx′≤M(1+|x′|),max β(t)-α2(t)+2α′(t)4t∈[0,1] ≤λ2<π24,α(1)≤2λcotλ,这些条件之下证明解之存在且唯一.     

关于双曲型方程解的爆破

在RNR+(N2)中考虑非线性双曲型方程 utt-DI(aij(x)Dju)=|u|p-1u.Kato1980年证明了当1<p [SX(]N+1[]N-1[SX)]时,Cauchy问题的解可能在有限时刻爆破.本文使用不同的方法估计, 把Kato的结果改进为1<p<[SX(]N+3[]N-1[SX)].