Beitrag zur Berechnung in Querrichtung durchlaufender Plattenstreifen mit Hilfe Fourierscher Integrale

Zusammenfassung Die Beanspruchungen und Verformungen eines Plattenstreifens unter dem Angriff eines Randmomentes wurden untersucht. Das Randmoment wurde in ein Fourier-sches Integral entwickelt. Die gesuchten Größen ergeben sich als bestimmte Integrale, die numerisch ausgewertet werden. Insbesondere wurde die Neigung der Biegefläche am betrachteten Rand untersucht. Für eine gegebene Belastung, die ebenfalls in Fouriersche Integrale entwickelt wurde, wurde am betrachteten Rand die Neigung der Biegefläche bestimmt. Aus der Bedingung einer horizontalen Tangente der Biegefläche bei starrer Einspannung, bzw. der Stetigkeit der Biegefläche über der Auflagerlinie bei durchlaufenden Platten konnte durch Vergleich der Randneigungen das Einspann- bzw. Stützmoment ermittelt werden. Anhand von Beispielen wurden der Rechnungsgang erläutert und Ergebnisse gewonnen.     

Zur homogenen Maschine mit Zusatzdrehmassen

Zusammenfassung Unter gewissen Bedingungen liefern die für die Berechnung der Eigenwerte einer homogenen Maschine mit Zusatzdrehmassen maßgebenden transzendenten Gleichungen bei alleiniger Berücksichtigung der reellen Lösungen zu wenig Eigenfrequenzen. Die fehlenden Frequenzen — es handelt sich hierbei stets um die höchsten — erhält man aus den komplexen Lösungen. Es werden, unter Beschränkung auf eine oder zwei Zusatzmassen, die Bedingungen untersucht, bei denen komplexe Eigenwerte auftreten, und die in diesen Fällen geltenden Gleichungen für die Eigenfrequenzen, Momente und Drehwinkel abgeleitet. Neben dem Verhältnis der Trägheitsmomente ist auch dasjenige der Federkonstanten für das Auftreten komplexer Lösungen von Bedeutung, so daß solche, wie man aus den zuständigen Bedingungsgleichungen ersieht, auch bei sehr großen Zusatzmassen vorkommen können. Man kann übrigens zeigen, daß beim Vorhandensein von z Zusatzmassen maximal z komplexe Eigenwerte möglich sind.Es sei hier noch vermerkt, daß sich die gewonnenen Ergebnisse analog auf homogene Schwingungsketten mit Zusatzmassen an den Enden übertragen lassen.     

Über das thixotrope Verhalten von Monoammonphosphat-Suspensionen

Zusammenfassung Es wurde das Fließverhalten von Monoammonphosphat-Kristallen, suspendiert in gesättigter, wäßriger Monoammonphosphat-Lösung mit Hilfe eines Rotationsviskosimeters bei verschiedenen Konzentrationen, Temperaturen und Salzkristalloberflächen untersucht. Dabei wurde festgestellt, daß diese Suspensionen ein thixotropes Verhalten zeigen. Abweichend vom normalen Verhalten thixotroper Suspensionen strebt die bei konstanter Schergeschwindigkeit gemessene Schubspannung nach Überschreiten des Anlaßwertes zunächst einem Minimum zu, um anschließend zum Endwert anzusteigen.Die Minimum- und End-Schubspannungswerte wurden als Funktion der Schergeschwindigkeiten, als Fließkurven dargestellt. Bei höheren, aber jeweils gleichen Schergeschwindigkeiten verringern sich die Schubspannungen mit steigender Verdünnung und steigender Temperatur.Die Logarithmen der Anlaßwerte, über der Konzentration aufgetragen, ergaben eine Gerade. Mit zunehmender Verdünnung nehmen die Anlaßwerte ab.Die Logarithmen der Anlaßwerte in Abhängigkeit vom Reziprokwert der Temperatur nehmen mit steigender Temperatur zunächst linear zu, bei etwa 45 °C scheint die Kurve abzufallen.Die Anlaßwerte bei konstanter Temperatur und Konzentration in Abhängigkeit von der Salzkristalloberfläche zeigen bei kleinen Oberflächen ein Maximum, streben bei etwas größeren Oberflächen ein Minimum an und nehmen anschließend mit steigender Oberfläche monoton zu.Das Fließverhalten der Suspensionen wird auf im Ruhezustand vorhandene und beim Schervorgang langsam zerstörte Haftstellenstrukturen und zwischen den Festkörperteilchen vorhandene Grenzschichten zurückgeführt.Erweiterter Auszug aus der Dissertation Über das thixotrope Verhalten von Monoammonphosphat, TH Braunschweig 1968, Institut für chemische Technologie. Direktor: Prof. Dr.H. Kroepelin.     

Liquid oscillation of spherical and conical systems with anchored edges in zero-gravity

Summary The axisymmetric natural frequencies of a spherical annular liquid cone have been determined for a frictionless liquid with anchored (stuck-) edges in a zero-gravity environment. It was found that the natural frequencies are larger than those for free slipping edges at the conical wall. In addition the damped natural frequencies have been obtained for viscous liquid systems. The analytical results were applied to the semi-spherical drop.

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Flüssigkeitsschwingungen in sphärisch-konischen Systemen mit gefesselten Rändern bei Schwerelosigkeit

Übersicht Es werden die axialsymmetrischen Eigenfrequenzen eines annularen sphärischen Flüssigkeitskegels für reibungsfreie Flüssigkeit mit an der Wand gefesseltem Flüssigkeitsrand im schwerelosen Zustand bestimmt. Der Wert dieser Eigenfrequenzen ist größer als derjenige, der für frei verschiebbaren Rand an der Kegelwand auftritt. Außerdem werden die gedämpften Frequenzen für viskose Flüssigkeit bestimmt. Die analytischen Ergebnisse werden auf den Halbkugeltropfen angewandt.

     

Wandnahe Geschwindigkeitsverteilung turbulenter Grenzschichtströmungen mit Druckanstieg

Zusammenfassung Unter Vernachlässigung der Trägheitsglieder wird aus der Differentialgleichung turbulenter Grenzschichtströmungen bei Zugrundelegung desPrandtlschen Mischungswegansatzes, wobei der Mischungsweg dem Wandabstand proportional gesetzt wird, die wandnahe Geschwindigkeitsverteilung für Strömungen mit Druckanstieg bis einschließlich der Ablösung in geschlossener analytischer Form approximativ berechnet. Die Fehlerabschätzung, welche auf die Approximation eines elliptischen Integrals hinauskommt, ergibt einen für technische Strömungen vernachlässigbaren Fehler. Dem als Verallgemeinerung des logarithmischen Gesetzes erhaltenen Wandgesetz kann bei Einführung einer verallgemeinerten Schubspannungsgeschwindigkeit eine die universelle Form des logarithmischen Gesetzes enthaltende Formulierung gegeben werden. Die empirischen Koeffizienten des Wandgesetzes sind die des logarithmischen Gesetzes. Der Vergleich mit denNikuradseschen Messungen divergenter Kanalströmungen ergibt befriedigende Übereinstimmung.     

Über die Verwertung der Ergebnisse von Frequenzenberechnungen gedrückter,elastischer Systeme zu deren Stabilitätsuntersuchung bei Vorhandensein eines elastischen Widerstandes

Zusammenfassung Durch eine einfache Umdeutung der Gleichungen für die Eigenfrequenzen gedrückter elastischer Systeme (elastisch eingespannter Druckstab, radial belasteter Kreisring und Kreisbogen, gleichmä\ig belasteter parabolischer Zweigelenkbogen, radialbelastete Kreisscheibe, gleichmä\ig gedrückter Hohlzylinder, Kugelschale bei gleichförmigem. Oberflächendruck) werden Formeln gewonnen zur Berechnung der kritischen Belastung dieser Systeme bei Vorhandensein eines elastischen Widerstandes. Dessen Einflu\ auf die Grö\e der jeweiligen Knicklasten äu\ert sich durchweg in einer Erhöhung der bekannten Knickbelastung bei fehlendem elastischen Widerstande. Die Werte der kleinsten Knicklast können verschiedenen Wellenzahlenn der zugehörigen Knickfiguren entsprechen, je nach der Grö\e der Bettungsziffer.     

Grundsätzliche Untersuchungen über die bei den Drehschwingungen von Kurbelwellen maßgebende Drehsteifigkeit

Zusammenfassung Nach einem Überblick über die bisherigen Arbeiten zur Klärung der bei den Drehschwingungen von Kurbelwellen maßgebenden Drehsteifigkeit wurde auf rechnerischem Wege nachgewiesen, daß zwischen den Drehsteifigkeitswerten nach Torsion erster Art und nach Torsion zweiter Art tatsächlich ein sehr enger innerer Zusammenhang besteht. Dieser Zusammenhang ist von weittragender Bedeutung, denn er gestattet, ohne weitere Rechnungen bereits sehr wichtige Schlüsse über den Einfluß der Torsionen auf das Schwingungsverhalten der Kurbelwelle zu ziehen.Durch die anschließenden allgemeinen Rechnungen über die nach den verschiedenen Torsionen ermittelten Eigenschwingungszahlen wurden die Eigenschwingungszahlen sowohl nach Torsion zweiter Art mit Nebentorsion als auch nach Torsion erster Art mit Hilfe der Störungsrechnung auf ein und derselben Bezugsschwingungszahl aufgebaut, so daß ein allgemeiner Vergleich der Ergebnisse möglich ist. Die nach den verschiedenen Torsionen ermittelten Eigenschwingungszahlen wurden schließlich noch für einige durchgerechnete Beispiele auch zahlenmäßig miteinander verglichen.Durch diese Überlegungen wurde die Frage, ob bei Kurbelwellen die nach der Torsion erster Art gewonnenen Drehsteifigkeiten der Drehschwingungsrechnung zugrunde gelegt werden dürfen, endgültig geklärt.Die Untersuchungen haben ergeben, 1. daß die Torsion zweiter Art unter Berücksichtigung der Nebentorsionen bei allen Schwingungsgraden grundsätzlich richtige Werte für die Eigenschwingungszahlen liefert, 2. daß die Schwingungsrechnung auf Grund der Torsion erster Art wenigstens für die tiefsten Schwingungsgrade (aber i. allg. nur für diese) ausreichend genaue Eigenschwingungszahlen liefert, so daß für die tiefen Schwingungsgrade das einfache bisherige Versuchsverfahren sowie die ebenfalls einfache bisherige Schwingungsrechnung beibehalten werden können. Die Güte der Näherung der Rechnung nach Torsion erster Art kann zur Sicherheit nachträglich immer an Hand der Schwingungsform beurteilt werden: die Näherung ist immer dann sehr gut, wenn innerhalb des homogenen Motorteils keine grobe Richtungsänderung in der Schwingungsform (im Sinne der Festlegung von Ziff.4) vorkommt. Mit zunehmendem Schwingungsgrad nimmt der Fehler der Rechnung nach Torsion erster Art mehr und mehr zu.Diese Untersuchungen wurden mit Unterstützung des Reichsluftfahrtministeriums im Forschungsinstitut für Kraftfahrwesen und Fahrzeugmotoren an der Technischen Hochschule Stuttgart (Prof. Dr.-Ing. W. Kamm) durchgeführt.     

Die Entzerrung bei linearen physikalischen Systemen

Zusammenfassung Es wird allgemein der Zusammenhang zwischen der Erregung eines linear arbeitenden Meßinstruments und der zugehörigen Anzeige bei Einschwingvorgängen untersucht. Die Bestimmung der Erregung aus der Anzeige ist mit der Lösung einer linearen Volterraschen Integralgleichung gleichwertig, deren Kern eine Ableitung der Übergangsfunktion ist. Wegen der Linearität des Systems kann die ErregungE (t) auch als Faltung einer Entzerrungsfunktion mit einer Ableitung der AnzeigeA (t) gewonnen werden. Die sich aus der Trägheit des Systems ergebenden Schwierigkeiten, die bei der Bestimmung der Erregung auftreten, werden besprochen. Schließlich werden noch einige praktische Winke zur Berechnung von Faltungsintegralen gegeben.     

Theorie der Hochdruckröhrenfeder

Zusammenfassung Zur Messung hoher Drücke im Bereich von 100 bis 10000 at werden in der Technik vielfach dickwandige Röhrenfedern nach Art des Bourdonmanometers benutzt. Diese Federn werden durch Flachschlagen eines Kreisrohres und anschließendes Krümmen hergestellt. Die Theorie derartiger Hochdruckfedern wird auf einen ebenen Formänderungszustand zurückgeführt und die Spannungen und Deformationen werden berechnet, wobei die Querschnittsform durch ein rechteckiges Mittelstück und zwei Randbögen (Flachbogenquerschnitt) idealisiert wird. Als Sonderfall wird auch der kreisförmige Querschnitt behandelt. Bei kreisförmiger oder kreisähnlicher Querschnittsform werden verschiedene Korrekturgrößen von wesentlichem Einfluß, die ebenfalls abgeleitet werden, Abschließend wird auch das Bewegungsgesetz solcher Meßfedern untersucht.Die hier dargelegte Theorie der Hochdruckfeder habe ich mit weitergehenden Vereinfachungen und ohne die Exzentrizitäts- und Längungskorrektur bereits 1943 entwickelt. Ergebnisse wurden auszugsweise in einem Aufsatz in Die Technik 3 (1948) S. 23–30 wiedergegeben. In der vorliegenden Neufassung sind alle Tabellen neu berechnet worden, wobei ich von Frau Otto in Göttingen, wesentlich unterstützt wurde.     

Über einen Energiesatz zur Berechnung laminarer Grenzschichten

Zusammenfassung Analog zur Impulsgleichung wird eine Energiegleichung für die Reibungsschicht bei stationärer, ebener und inkompressibler Strömung abgeleitet. Auf Grund dieser beiden Gleichungen wird dann ein zweiparametriges Rechenverfahren für laminare Grenzschichten entwickelt, wobei für die Geschwindigkeitsprofile ein Polynom elften Grades angesetzt wird. Da das Verfahren wenigstens mit diesem Ansatz nicht bereits vom Staupunkt ab angewandt werden kann, wird die Grenzschicht zweckmäßig nach dem sehr handlichen einparametrigen Verfahren von Walz bis in die Nähe des Druckminimums und erst von dort ab — im Gebiet des Druckanstieges — nach dem neuen Verfahren berechnet. Solange der Druck abfällt, entstehen nämlich bei dem einparametrigen Verfahren nur geringe Fehler; außerdem werden diese Fehler durch die zweiparametrige Rechnung zum größten Teil wieder korrigiert. Auf diese Weise wird vor allem das Gebiet der Ablösung mit derselben Genauigkeit wie bei den exakten Grenzschichtrechnungen erfaßt, wie an drei Beispielen gezeigt wird: Zur Durchführung eines Rechenschrittes ist schätzungsweise etwa folgende Zeit nötig: Bei den einparametrigen Verfahren 2–3 Minuten, bei dem vorgeschlagenen zweiparametrigen 6–8 Minuten, dagegen bei dem Differenzenverfahren nach Görtler etwa 1 Stunde.Habilitationsschrift, Göttingen 1945.     

Rheologische Untersuchungen bei der Mastizierung von Kautschuk

Zusammenfassung Am Beispiel der Kautschukmastikation wird gezeigt, wie auch die Praxis, in der Hohpolymere verarbeitet werden, die Rheologie heranziehen kann, um aus einer leicht und schnell aufzunehmenden Fließkurve eine vom gewichtsmäßigen Durchschnittsmolekulargewicht abhängige Größe und einen Zahlenwert für die Polymolekularität zu erhalten.Die Lösungen der Hochpolymeren mit einer ArtGauschen Molekulargewichtsverteilung ergeben eine symmetrische Fließkurve mit einem Wendepunkt, der als das konzentrationsunabhängige kritische Geschwindigkeitsgefälle vom Durchschnittsmolekulargewicht abhängt. Gleichzeitig vermittelt die Neigung der gerade gelegten Fließkurve einen Zahlenwert für die Polymolekularität des betreffenden Hochpolymeren. Auf diese Weise können auch die bei einem Fabrikationsprozeß auftretenden Veränderungen eines Hochpolymeren gemessen werden, wie hier bei der Mastizierung von Kautschuk.in Zusammenarbeit mit G. Kolbe vom Gummiwerk Elastik, GothaVorgetragen auf der gemeinsamen wissenschaftlichen Arbeitstagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung e. V. und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft e. V. in Bad Oeynhausen am 25. 9. 1957.     

Zur Verformung von Stoffen mit veränderlichen Stoff-Parametern

Zusammenfassung Es ist aus vielen Beobachtungen bekannt, daß technisch wichtige Materialien ein Verhalten zeigen, welches analytisch durch Lösung der Stoffgleichungen nicht beschrieben werden kann, wenn das Stoffgesetz unter Verwendung von Parametern konstanten Betrages gebildet wird. Die einfachste Erscheinung dieser Art kann durch das im verformungsfreien Zustand eintretende Stocken eines viskoplastischen Stoffes veranschaulicht werden. Die Thixotropie eines Stoffes wurde ursprünglich als jene Eigenschaft definiert, der zufolge in einem Stoff nach vorausgegangener Verformung allgemeiner Art eine Verminderung des Verhältnisses von Scherspannung zu Schergeschwindigkeit eintritt. In Erweiterung dieses ursprünglichen Begriffes werden gegenwärtig vielfach Werkstoffe als thixotrop angesprochen, wenn die analytische Beschreibung ihres Verformungszustandes ganz allgemein die Verwendung veränderlicher Stoffparameter verlangt.Entsprechend der usprünglichen Bedeutung der Thixotropie werden die Verformungsvorgänge beschrieben, die der Wirkung einer vorausgegangenen Verformung auf die Grenzscherspannung anBinghamschen Materialien Rechnung tragen. Bei Berücksichtigung der Abhängigkeit dieser kritischen Scherspannung von den vorausgegangenem Ruhe oder Verformungszustand können die notwendigen Stoffgleichungen aufgestellt und physikalisch begründet werden. Ein Vergleich mit bekanntenMeßergebnissen erlaubt, die für die analytische Behandlung notwendigen Stoffkennzahlen zu bestimmen.Neben thixotropem Verhalten im ursprünglichen Sinn zeigen viele Stoffe eine Abhängigkeit ihrer Eigenschaften von Druck und Temperatur. Diese Einflüsse können in das Stoffgesetz dadurch aufgenommen werden, daß man den Stoffparameter, der die Zähigkeit beschreibt, als Funktion der Temperatur und des mittleren Normaldrucks ansetzt und zur Beschreibung des Vorgangs eine Aussage über die Umwandlung von mechanischer Energie in Wärmeenergie hinzuzieht. Mit den so gewonnenen Gleichungen wird ein einfaches Beispiel, nämlich das Fließen einer Schicht konstanter Dicke auf einer geneigten Ebene unter der Wirkung der Schwerkraft, behandelt. Für die sich hierbei ergebende nichtlineare Differentialgleichung für die Temperaturverteilung werden durch Näherungsverfahren gewonnene Lösungskurven angegeben, aus denen sich der Bewegungszustand ermitteln läßt.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen vom 11.–13. Mai 1964 in Berlin-Dahlem.     

Der Spannungszustand in der rotierenden spröden Scheibe

Zusammfassung Es wird mit dem neuen nichtlinearen Elastizitätsgesetz spröder Körper unter der Annahme, daß Lochrand und Außenrand der rotierenden Scheibe kräftefrei sind, die Differentialgleichung des Problems aufgestellt und durch eine Näherung gelöst. Verschiebung und Spannungen werden als Funktion des Radius berechnet sowie eine einfache Formel für die Abhängigkeit der am Lochrand auftretenden Tangentialspannung von der Umlaufsgeschwindigkeit angegeben. Die Bachsche Vermutung, daß die Sprengfestigkeit praktisch gleich der Zugfestigkeit ist, wird bestätigt. Die Umfangsgeschwindigkeit, bei der der Bruch erfolgt, berechnet sich nach (47).Wenn auch die entwickelte Näherungsmethode den Bach-Grüblerschen Gegensatz erklärt, so ist trotzdem zu fordern, daß sie einer Prüfung durch den Versuch unterzogen wird, da erst nach Messung der Empfindlichkeiten der in Frage kommenden Werkstoffe die Frage entschieden werden kann, ob eine Erhöhung der zulässigen Geschwindigkeit sich mit den Fragen der Betriebssicherheit in Einklang bringen läßt.Zum Schluß danke ich auch an dieser Stelle Herrn Prof.Prandtl und der Notgemeinschaft der deutschen Wissenschaft für die Möglichkeit, in dem Göttinger Institut für angewandte Mechanik arbeiten zu dürfen.     

The viscosity of polydisperse emulsions

Zusammenfassung Nach der gewöhnlichenEinstein-Taylorschen Formulierung der Fließeigenschaften disperser Systeme bleibt die Intrinsic-Viskosität unabhängig von der Teilchengröße oder der Teilchengrößenverteilung, während die Experimente eine geringe aber deutliche Abhängigkeit zeigen. Dieses Phänomen ist auf der Basis eines Modelles erklärbar, bei dem an der Teilchenoberfläche partielle Gleitung stattfindet. Eine solche Gleitung wird stattfinden in Gegenwart von oberflächenadsorbierbaren Substanzen. Auf einfache Weise, mit Hilfe derFröhlich-Sackschen Methode, wird eine quantitative Formel dieses Effektes abgeleitet. Emulsionen, die die monodispersen kleinen Teilchen enthalten, sind zäher als Systeme mit polydispersen großen Teilchen. Die gute Übereinstimmung mit den experimentellen Beobachtungen wird kritisch diskutiert.     

Über das Kälteverhalten von Silikonölen (Dimethylpolysiloxanen)

Zusammenfassung Es wird das Kälteverhalten von sechs Methylsilikonen mit Viskositäten zwischen 3,8 und 32000 cP bei 20°C untersucht. Die beiden niedrigviskosen Öle erstarren allmählich, bei Viskositätsmessungen zeigten sie bis –120°C und Schubspannungen unter 2 · 10⁴ dyn/cm² Newtonsches Fließen. Die Öle mit höherer Viskosität als 1000 cP bei 20°C haben scharfe Erstarrungspunkte, die unterhalb –40°C liegen, außerdem zeigen diese Öle bei Schubspannungen über 10³ dyn/cm² nichtNewtonsches Fließen.Die Temperaturabhängigkeit der Viskosität läßt sich im Bereich + 100 bis –20°C durch die Gleichung=A exp (B/T) darstellen, bei tieferer Temperatur weichen die Meßwerte von der Geraden ab. Die Viskosität-Temperaturdiagramme nachUbbelohde-Walther undUmstätter versagen bei der Darstellung der Temperaturabhängigkeit der Viskosität der niedrigviskosen Öle im Bereich unter 0°C. Bei den höherviskosen Ölen werden in den Diagrammen bei einer Extrapolation der Versuchswerte von 20 bis 100°C nach tieferen Temperaturen hin zu kleine Viskositäten gefunden. Die Abweichungen betragen am Erstarrungspunkt etwa 30%.Vorgetragen auf der gemeinsamen wissenschaftlichen Arbeitstagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung e. V. und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft e. V. in Bad Oeynhausen am 25. 9. 1957.     

Ein Näherungsverfahren zur Berechnung der laminaren Reibungsschicht mit Absaugung

Zusammenfassung Es wird ein Näherungsverfahren entwickelt zur Berechnung der laminaren Grenzschicht mit Absaugung bei beliebiger Körperform und beliebiger Verteilung der Absaugegeschwindigkeit längs der Kontur des umströmten Körpers. Das Verfahren hat Verwandtschaft mit dem bekannten Pohlhausen-Verfahren zur Berechnung der laminaren Grenzschicht ohne, Absaugung. Die Berechnung erfordert die Integration einer Differentialgleichung erster Ordnung nach dem Isoklinen-Verfahren. Das Verfahren wird zunächst an einigen Fällen ohne Absaugung erprobt, für welche exakte Lösungen vorliegen. Danach werden die längsangeströmte ebene Platte mit homogener Absaugung, der Kreiszylinder und ein symmetrisches Joukowsky-Piofil mit homogener Absaugung behandelt.Auszugsweise vorgetragen auf der GAMM-Sitzung in Göttingen am 4. Februar 1945, anläßlich des 70. Geburtstages von Professor Prandtl.     

Stationäre Wärmespannungen mit temperaturabhängigen Stoffwerten

Zusammenfassung Die in Ziffer 4 untersuchten Beispiele zeigten, daß sich bei Vorhandensein eines ungleichmäßigen Temperaturfeldes im Bereich höherer Temperaturen nicht nur die reinen Wärmespannungsfelder gegenüber denjenigen, die unter der Voraussetzung unveränderlicher Stoffwerte berechnet werden können, ändern, sondern daß auch eine Veränderung der durch rein mechanische Einwirkungen hervorgerufenen Spannungsfelder auftritt. Diese lassen sich bei Systemen aus Stahl i. a. (sofern nicht extreme Temperaturunterschiede im System vorhanden sind) vernachlässigen bis auf die Klasse derjenigen Probleme, bei denen die Spannungen am verformten System von denjenigen am unverformten System wesentlich verschieden sind (z. B. bei der Längskraft-Biegung). In diesen Fällen können sich auf Grund der gegenüber der Theorie unveränderlicher Materialwerte größeren Verformungen auch erhebliche Änderungen der Spannungszustände einstellen, so daß man hier die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte berücksichtigen sollte. Die Änderung der reinen Wärmespannungsfelder gegenüber denjenigen, die mittels unveränderlicher Materialwerte bestimmt werden können, ist in der Regel, d. h. wenn die Temperaturunterschiede innerhalb des Systems nicht extrem groß sind, noch nicht allzu groß, so daß man sich auch im Bereich höherer Temperaturen mit der Theorie unveränderlicher Materialwerte E und _t, begnügen können wird, vor allem dann, wenn man die einer mittleren Systemtemperatur entsprechenden Werte benutzt. Dies ist aber, wie der Verfasser schon früher gezeigt hat, i. a. nur dann vertretbar, wenn man der Spannungsberechnung das genaue, die Temperaturveränderlichkeit der Wärmeleitzahl berücksichtigende Temperaturfeld zugrunde legt, da dieses in manchen Fällen von dem mit konstanter Wärmeleitzahl berechneten merklich abweichen kann.     

Zur Theorie der Plattenbeulung im plastischen Materialbereich

Zusammenfassung und Ausblick Die vorliegende Arbeit bringt eine Erweiterung der Theorie der Plattenbeulung für den plastischen Materialbereich, die von den einfachsten, in sich widerspruchfreien Spannungs-Deformationsgesetzen der mathematischen Plastizitätstheorie — den differentiellen Prandtl-Reu-Gesetzen — ausgeht. Mit dieser erweiterten Theorie wird es möglich, einer durch den Walzvorgang erzeugten, also von vornherein im Plattenmaterial vorhandenen Anisotropie auch im plastischen Bereich Rechnung zu tragen. Als Instabilitätskriterium wurde dabei die Shanleysche Hypothese zugrundegelegt. Angewendet wurde die Theorie auf die Berechnung der Beulspannungen dünner Rechteckplatten, die einen homogenen Normalspannungszustand an deren Rändern ausgesetzt sind. Damit sollte vor allem zur Beantwortung der bisher noch nicht endgültig geklärten Frage beigetragen werden, woher die beträchtlichen Abweichungen der mit den differentiellen Gesetzen errechneten Beulspannungen von den in Versuchen gemessenen stammen. Zu diesem Zweck wurden die Kollbrunnerschen Beulversuche mit Platten aus der Aluminiumlegierung Avional M-hart nach der erweiterten Theorie nachgerechnet, wobei die für dieses Material nicht bekannten Anisotropiekonstanten aus Versuchen abgeschätzt wurden, die Stüssi an Rohren aus einer ähnlichen Alummiumlegierung (Avional M-weich) vorgenommen hatte. Obwohl die Ergebnisse einer Rechnung, die auf derart abgeschätzten Anisotropiekonstanten basiert, natürlich unsicher sein müssen und daher auch nicht mitgeteilt werden konnten, soll erwähnt werden, daß die Anisotropie im Mittel eine Verringerung der Beulspannung um etwa 20% bewirkte: Die mit Berücksichtigung der Anisotropie errechneten Beulspannungen und Halbwellenzahlen stimmen daher mit den von Kollbrunner gemessenen wesentlich besser überein als die für isotropes Material berechneten. Die endgültige Entscheidung über die Frage, ob es genügt, die Diskrepanz zwischen Theorie und Versuch allein auf den Einfluß der Walzanisotropie zurückzuführen, oder ob es womöglich noch nötig sein wird, von einem komplizierteren, differentiellen Spannungs-Deformationsgesetz (z. B. nach Prager) auszugehen bzw. darüberhinaus den Einfluß einer geringen Abweichung der Plattenmittelfläche im unbelasteten Zustand von der Ebene zu berücksichtigen, muß allerdings weiteren experimentellen Untersuchungen vorbehalten bleiben, die erst nach genauer Bestimmung der Anisotropiekonstanten einen einwandfreien Vergleich zwischen Theorie und Versuch ermöglichen werden. Hierüber soll später noch berichtet werden.     

Mathematische Behandlung gesteuerter Abkühl- und Anwärmvorgänge

Zusammenfassung Gesteuerte Wärmeleitvorgänge, d. h. solche, bei denen verschiedene Teiloberflächen eines festen Körpers von Medien umgeben sind, deren Temperaturen sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhängen und außerdem im Körper selbst noch innere Wärme entwickelt werden kann, sind für die Technik von besonderer Bedeutung. Es wird deshalb mittels gewisser Einflußfunktionen ein Theorem abgeleitet, welches die allgemeinste Aufgabe dieser Art löst. Sowohl die Einflußfunktionen als auch der Lösungsansatz sind physikalisch sehr einfach zu deuten. Aus dem allgemeinen Resultat werden dann einige Sonderfälle hergeleitet, unter anderem das Ergebnis von A. Kneschke, der erstmals ein spezielles, gesteuertes Wärmeleitproblem auf diese Weise gelöst hat. Am Beispiel eines endlichen Zylinders und eines Betonquaders wird abschließend die Brauchbarkeit der vorgetragenen Theorie gezeigt.     

Zur Festigkeit von umlaufenden und quer zur Drehebene belasteten Stäben,die gelenkig an die Drehachse angeschlossen sind

Zusammenfassung Der gelenkige Anschluß von Drehflügelholmen an der Flügelwurzel erlaubt die Verwendung von so dünnen Holmen, daß die Flügel im Fluge mehr Seilen als biegesteifen Stäben gleichen. Trotzdem ist in den Holmen die restliche Biegespannung für die Festigkeit maßgebend. Es wird ein Verfahren entwickelt, welches gestattet, eine gegebene Biegemomentenverteilung durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor bestmöglich der tatsächlichen Biegemomentenverteilung anzupassen. Die Anwendung des Verfahrens auf die Biegemomentenverteilung eines starren Holmes als Ausgangsverteilung liefert eine gute Näherung und gestattet bei gegebener Massen- und Biegesteifigkeitsverteilung die Angabe der Näherungslösung in geschlossener Form [Gleichung (25) bei konstanter Massenverteilung und Steifigkeit]. Die Durchrechnung eines Beispiels zeigt deutlich die eigenartigen hier auftretenden Verhältnisse insofern, als es sich innerhalb weiter Grenzen als unmöglich herausstellt, die im Fluge auftretende Biegespannung im Holm einerseits durch Verstärken der Wanddicken oder durch Vergrößerung des Holmdurchmessers herabzusetzen, während andererseits einer im Fluge sich günstig auswirkenden Verringerung des Holmdurchmessers infolge der Biegespannungen durch das Eigengewicht im Stand Grenzen gesetzt sind. Die Betrachtung der dynamischen Verhältnisse am gleichen Beispiel zeigt, daß erhebliche dynamische Beanspruchungen infolge der Erregung der ersten Eigenschwingung des Holmes durch periodisch veränderliche Luftkräfte auftreten. Eine Ähnlichkeitsbetrachtung an Hand der entwickelten Theorie lehrt, daß die Grenzen für die Vergrößerung von Drehflügelflugzeugen, wenn nur die Beanspruchungen im Fluge in Rechnung gestellt werden, die gleichen sind wie für Starrflügler, daß jedoch die Berücksichtigung der Biegespannungen aus dem Eigengewicht der Flügel im Stand engere Grenzen für die Vergrößerung der Flugzeuge bedingt als bei dem Starrflügler.