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一、问题的提出很早以前 ,人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣 .有人误认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧 ,也有人误认为这个轨迹是一段段的抛物线 .实际上 ,当一个圆沿一条定直线作无滑动的滚动时 ,动圆圆周上一个定点的轨迹是一条摆线 ,也叫旋轮线 .二、摆线的方程和图像设圆的半径为a ,取圆滚动所沿的定直线为x轴 ,圆周上定点P落在直线上的一个位置为原点 ,建立直角坐标系 (如图 1) .图 1设点P(x ,y)为轨迹上任意一点 ,圆心滚动到B点时 ,圆与直线相切于A点 .取∠ABP=θ为参数 ,作PD⊥Ox ,P… 相似文献
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1一道数学历史名题:卡丹旋轮问题(Cardan's Spur Wheel Problem)
一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时,这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么?
这个有趣的问题看似平凡,其实大有来头,是一道数学历史名题.意大利数学家卡丹(Cardano,1501~1576)设计了一个所谓"卡丹旋轮":一个圆盘沿另一个大圆盘的内沿滚动,大圆盘半径是小圆盘半径的2倍. 相似文献
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1一个疑问将两个半径不等的圆A、圆B分别沿直线滚动一周,如图1、图2所示,可知CC′与DD′的长度应与圆A和圆B的周长分别相等,均等于两个圆的直径与圆周率的乘积.图1图2但是如果将圆A和圆B的圆心固定在一起(A),再使两圆(大圆、小圆)同时沿直线滚动一周,如图3,那么待大圆滚动一周后,小圆也恰好滚动了一周,此时两圆的周长同样分别为CC′和DD′.但是此时的DD′与CC′长度相等,也即圆A与圆B的周长相等!图3由上述两种推导过程可以得出两个完全相反的结论:(1)圆的周长取决于它的直径长度.(2)圆的周长与其直径长度无关.其实关于圆周长的计算… 相似文献
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1841年,D elaunay获得如下定理:如果在一平面上沿定直线滚动一条二次圆锥直线,然后将其焦点的轨迹绕定直线旋转,则所得到的曲面具有常数平均曲率,反之,所有旋转常数平均曲率曲面(除球面外)都有如此构造.本文将以上的D elaunay定理推广到Lorentz-M inkow sk i空间Rn1 1中类空的Sm型旋转W超曲面. 相似文献
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高进 《数学的实践与认识》1979,(1)
摆线即旋轮线,是人们所熟知的一种重要的平面曲线.当动圆沿直线或定圆滚动而无滑动吋,动圆圆周上一点的轨迹即为摆线、外摆线和内摆线.在实践中,当我们仔细观察时就会发现较上述平面运动为复杂的情况.例如:当自行车在曲率很大的路面上快速 相似文献
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光线反射问题是物理的光学和数学的解析几何知识网络的一个交汇点 ,题目具有一定的综合性 ,符合能力立意的命题特点 ,并且该类题型难度适中 ,又体现通性通法 ,故此它倍受命题者青睐 .解决此类问题 ,应作如下知识准备 :1)物理方面 .①在同一种物质里 ,光线是沿直线传播的 ;②光路具有可逆性 ;③光线反射时 ,反射角等于入射角 ;④平面镜成像原理 :反射光线可以看作是由光源关于镜面的对称点处发出的 .2 )数学方面 .①直线的倾斜角、斜率 ,直线的方程等概念 ;②直线与直线的位置关系 ;③直线与圆的位置关系 .下面举例说明此类问题的求解 .图 1… 相似文献
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题目(2012年山东卷理16)如图1,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心在(0,1),此时圆上一点P的初始位置是(0,0),圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于B(2,1)时,→OP的坐标为.试题评价此题要求学生理解坐标的几何意义,灵活运用三角、向量的知识和数形结合的方法解决数学问题.考查了学生在运动变化的过程中 相似文献
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在讨论摆线的时候,常常要涉及到一个圆在一条直线或一条曲线上的滚动.我们知道,圆可以在一条直线上滚动,圆也可以在另一个圆的外面保持相切而滚动,但一个圆未必一定能在另一个圆的内部保持相切而滚动,又例如单位圆就不能在抛物线y=x~2的 相似文献
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在教授全日制普通高级中学(必修)数学第二册(上)中,发现方向向量和抛物线的定义需作一些改进.教材中关于直线的方向向量是这样定义的:设P1,P2是直线上的两点,直线上的向量P1P2及与它平行的向量都称为直线的方向向量.按照定义,0是任何一条直线的方向向量.我们在研究直线l1⊥l2时 相似文献
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我们在解决有些数学问题时,常常把待解决或未解决的问题甲,通过某种转化过程,归结到一个已经能解决或比较容易解决的问题乙,然后通过乙问题的解答返回求得原问题甲的解答,这就是化归(也称为转化)方法的基本思想.在数学学习中,化归是非常重要的也是最基本最典型的方法之一.下面我们主要探讨化归在立体几何中的应用.1立体几何研究对象中位置关系间的相互转化立体几何研究对象主要是空间的直线、平面和简单几何体.其中空间两条直线的位置关系、直线和平面的位置关系以及两个平面的位置关系是非常重要的内容,这三种位置关系联系紧密,因而这些问… 相似文献
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解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.由于它开创了数、形结合的研究方法,因此,它给数学注入了新的活力.直线是最常见、最基本的简单几何图形之一,它的方程有多种不同的形式,在使用直线方程的各种形式时,要注意它们各自的限制条件,如:点斜式的使用条件是直线必须存在斜率;截距式的使用条件是两截距都存在且不为零;两点式的使用条件为直线不与坐标轴垂直;等等.在使用直线的方程时,通常我们都应该根据直线满足的几何条件,选择合适的方程形式.但是有时会出现这样的问题,不知道直线的斜率是否存在.这时,通常的做法是分类讨论,即根据… 相似文献
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在立体几何的教学、解题和高考中,直线和平面的位置关系和数量特征是重点内容,其中用到的数学思想主要是转化化归,在此列举几例进行深入的思考和分析.一、由平面向空间转化——折叠例1将矩形ABCD沿对角线BD折起来, 相似文献
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教学设计说明:在倡导学生动手实践、自主探索和合作交流的学习方式的同时,更要重视在各个知识节点中进行数学思想方法的渗透,这就是我本节课的教学主旨.一、教材分析1.地位作用直线是解析几何中最基本的一种曲线.直线中的对称点问题是学生研究其它曲线对称性的基础,它为两点间距离最值问题的转化提供了桥梁,同时也是一次函数性质的深化.2.教学结构直线中的对称问题主要包括点关于点(中点问题)、点关于线、线关于点、线关于线的对称问题.我安排两课时,第一课时主要研究点关于直线的对称点问题.第二课时研究直线关于直线的对称问题,本节是第1… 相似文献
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近年来“合情推理”题型倍受青睐,符合“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”的理念.现列举几例,以抛砖引玉.例1(2004年河北省中考题)我们知道:由于圆是中心对称图形,所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分(如图1).图1探索下列问题:(1)在图2给出的四个正方形中,各画出一条直线(依次是:水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线),将每个正方形都分割成面积相等的两部分;图2(2)一条竖直方的直线m以及任意的直线n,在由左向右平移的过程中,将正六边… 相似文献
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学生的发散性思维能力的培养 ,也是一个重要的问题 .因此 ,在数学教学中 ,结合课程内容 ,教师适当地提出一些发散性的问题 ,是很有必要的 .当然 ,这类问题不宜太深 ,应当是大部分学生都可能接受的 .在平面解析几何的教学中 ,我们先后提出了四个问题 ,学生反映尚可 .现在整理成文 ,供大家参考 .1 涉及直线斜率的两个问题设有两条直线l1和l2l1:y =k1x +b1l2 :y=k2 x+b2为简单计 ,设ki≠ 0 (i =1 ,2 ) .利用直线的斜截式方程 ,很快在课堂上得到了两个结果 :1 ) l1∥l2 k1=k2 ;2 ) l1⊥l2 k1k2 =-1 .之后 ,我们适时… 相似文献