行列式(续)

四.行列式的基本性質2) 主对角元素都是1,其余的元素都是0的行列式,它的值等于1. 很容易可以用对阶数n作归納法来証明这个命題.当n=1时命題显然成立.对于任意n,所說行列式有形狀     

从几何直观的视角理解行列式

行列式理论是线性代数课程的一个重要内容.从平行四边形的有向面积、平行六面体的有向体积以及它们的几何直观性质引进低阶行列式的定义,可以帮助学习者从几何直观的角度更好地理解行列式的定义以及行列式的性质.克莱姆法则、矩阵乘积的行列式以及代数余子式等代数概念都可以进行几何直观的解释.     

从线性运算到行列式的定义

行列式是线性代数中的最重要的概念之一,也是解决线性代数问题基本工具之一,线性代数课程教与学的困难,至少部分源自行列式.本文主要从行列式定义应该满足的线性性质出发给出行列式的代数定义,降低行列式概念教学难度,使之变得自然而易于接受.     

關於行列式理論的公理構成

行列式起源於解綫性方程組的問題,為了將解2未知量或3未知量綫性方程組的克來母规則推廣到n未知量的情形,我們從2階及3階行列式去找它們的內在规律,然後依照這種規律去定義n階行列式,並證明這樣定義的n階行列式確能使克來母規則成立。這在一般高等代數書上都有介紹,這裏不多說(可參看柯召譯庫洛什著高等代數教程第二章,此書以下簡稱庫高。) 由n階行列式的定義可以推出它們的很多性質,在庫高§23中曾指出利用這些性質中的若干條也可以反過來决定行列式。即若一方陣函數適合該若干條性質,則此函数必為方陣的行列式,這告訴我們對行列式可以有比較抽象的講     

任意矩阵的行列式与应用

推广行列式的概念,利用格兰姆行列式给出任意一个矩阵的行列式的定义,讨论该行列式的性质,说明其几何意义,并应用于求点到子空间和点到线性流形的距离.     

Ostrowski-Taussky不等式的推广

行列式的概念是矩阵分析中的一个很基本的概念,其中一个非常重要的应用就是解线性方程组.由于行列式的概念是和矩阵特征值紧密相关的,研究行列式的一些性质可以从侧面反映出该矩阵特征值的一些性质.Ostrowski-Taussky不等式是一个关于行列式的不等式,利用矩阵极分解的概念,给出了不等式的一个新的证明,并且推广了不等式.     

線代数学的基本概念(續)

§2.欧几里得空間 8.欧几里得空間的定义,前面我們已經看到,在一个線性空間中可以定义平面、直線、平行和相交的概念等,不过决不能以線性空間的术語定义像向量的長、向量之間的角这样的基本几何概念,我們將根据用公理法定义的数量乘积的概念来引入这些概念*)。定义7.如果線性空間R的每一对向量x,y与某一实数(x,y)对应,而且这一对应具有下面的性質:     

话说数学概念的定义和分类

一般的数学概念是用定义来表示的.新的概念必须定义它,也就是利用原数学概念,再用“每一个”,“所有”,“存在”“不”“和”“或”“如果……那么……”,“当且仅当”等等来定义它,如定义合数为除1和本身外至少含有一个因数的自然数,这里是用了自然数和因数这两个已知概念来定义的. 定义里不能引用尚未定义的新概念,如用一条直线对另一条直线的斜率量来定义角是     

一般广义Vandermonde行列式的直接计算公式

Vandermonde行列式构造独特,是高等代数中一个典型的行列式,在数值计算,数值逼近等领域有着广泛的应用.通过对已得到的几类广义Vandermonde行列式的结果进行变形分析,推广得到了最一般的广义Vandermonde行列式的直接计算公式.     

四元数矩阵的实值行列式

本文定义了任一个四元数方阵的实值行列式．实值行列式有一些好的性质，它是按照谢邦杰定义的可中心化四元数矩阵的行列式的推广．     

有限集合与数列极限的定义

极限理论是微积分学的理论基础,而数列极限是其中最基础也是最重要的一个部分,准确深入理解数列极限的概念对微积分的学习具有重要作用.本文用集合给出数列极限的另一个定义,它与数列极限的ε-N定义等价,其应用可以使数列极限的验证过程的逻辑关系更为清晰.     

范德蒙行列式的推广及其应用

范德蒙行列式构造独特,是高等代数中一个典型的行列式.它在数值计算,数值逼近等领域有着广泛的应用.通过对已有的几类广义范德蒙行列式的分析,推广得到了更一般的范德蒙行列式的计算公式.     

行列式的几何意义及多面体体积的计算

通过引入体积坐标证明了行列式和多面体体积的关系,使得每一个行列式都有了它的几何解释,有助于形象地理解行列式的概念,并利用行列式的几何意义计算空间多面体的体积.     

从变量数学到现代数学(续一)

3·函数概念的诞生与演变数学从对运动的研究中引出了一个基本概念,其后的200年里,这个概念在几乎所有的工作中占中心的地位,这个概念就是函数.近代数学的主体主要是围绕着函数和极限概念展开的.随着变量数学特别是数学分析的发展,函数概念也经历了深刻的变化,这主要是出于数学自身发展需要.函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》(1667年)中.他定义函数是这样一个量:它是从一些其他量经过一系列代数运算而得到的,或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.自从牛顿于1665年开始微积分的工作后,他一直使用“流量”一词来表…     

也谈集合的概念——兼谈对新编高中《数学》中集合概念的认识

集合是数学中的一个基本而又重要的概念.由于它是一个最原始的概念,因此很难用别的言词来定义它,通常只是用各种同义词来给予解释.在我们中学数学教材中,只能朴素地描述它的含义,便于老师们的教学,有利于学生对它有一个直观的理解和正确的认识. 平常我们看到有三种不同的集合定义,现罗列如下:     

奇异多元正态随机向量的新定义及与其他定义的等价性

通过对奇异协方差阵的行列式重新定义及广义逆矩阵的概念,给出了奇异多元正态随机向量的新定义,并讨论了与其他定义之间的等价关系.     

行列式各项符号的确定法则

如何确定行列式各项的符号,这是行列武定义的关键,也是行列式计算中的重要问题。一般的高等代数教材(例如张禾瑞、郝炳新编《高等代数》北京大学编《高等代数》等),多是定义n阶行列式     

《Robust Statistics》一书评介

Robust Stutistics(姑译为“稳健统计”。这个名词在国内统计界尚无确定的译法)的概念并无公认的正式定义,原因在相当程度上是因为,这个词的含义可以从种种不同的侧重点对它进行解释,不同的解释引出不同的定义,但总的说来,它是一种以可能在效率上作一定的牺牲为代价,而求得更大的可靠性为特征的统计方法。这种思想的萌芽可以追溯     

关于Vandermonde矩阵及其行列式的注记

给出Vandermonde矩阵及其行列式的若干应用,揭示它在高等代数和矩阵分析等方面的重要地位.具体来说,运用Vandermonde行列式来计算几个与之相关的行列式,运用线性方程组来证明组合恒等式,给出两个特殊的Vandermonde矩阵的应用,特别是用Schur矩阵给出了樊畿不等式的一个证明,给出了Vandermonde矩阵与Cauchy矩阵的一个恒等式.     

行列式的几种常用算法

计算一个n阶行列式有时是颇为麻烦的。但是,只要熟悉行列式的一般性质,在动手计算行列式之前,先考查所要计算的行列式的一些特点,再决定算法,算起来却也不很困难。这里,我们将一般常用的算法归纳如下,以资参考。 1.三角化。这种方法主要是根据行列式的下述简单性质进行的:在计算行列式时,可以先对行列式适当地进行行或列的初等变换,尽量设法将所要计算的行列式化为上(下)三角形式,这样就能将行列式算出来。