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相似文献
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1.
《中学数学》2 0 0 1年第 1 2期发表的《一个椭圆最值问题的多角度探究》[1] 一文 ,从一个椭圆最值问题出发 ,得到了一些很有用的不等式 ,这是一篇颇有深度的好文章 .笔者经过对该文中的一系列不等式进一步地研究 ,发现该文中所有的不等式都有一个共同的背景 .这一共同背景就是文献 [2 ]中称为“权方和不等式”的一个分式型不等式 ,最近 ,文 [3]也给出了这个权方和不等式的一种证法 .1 权方和不等式设 ai,bi ∈ R   ( i =1 ,2 ,… ,n) ,实数m >0 ,则  ∑ni=1am 1ibmi≥( ∑ni=1ai) m 1( ∑ni=1bi) m,( 1 )其中等号当且仅当 a1b1=a2b…  相似文献   

2.
关于“一个不等式的推广”的失误与纠正   总被引:7,自引:0,他引:7  
文 [1 ]把关于正数组xi,yi 的不等式 [2 ]∑ni=1x2 iyi ≥(∑ni=1xi) 2∑ni=1yi(1 )推广为 :设ai,bi ∈R ,(i =1 ,2 ,… ,n) ,且a1 a2 … an =k ,b1 b2 … bn =p ,则∑ni=1amibi ≥ n2 -mkmp .(|m|≥ 1 ) (2 )事实上 ,以上不等式 (1 )即柯西不等式的一个变形 ,而推广不等式 (2 )并不成立 .我们试举以下反例 :于式 (2 )取m =1 ,n=2 ,a1 =4,a2 =1 ,b1= 2 ,b2 =1 ,式 (2 )左边 =3 <式 (2 )右边 =1 0 /3,可知不等式 (2 )不真 .那么原文在证明推广不等式 (2 )时问题出在哪里 ?我们…  相似文献   

3.
辽宁省大连市 112中学车延文 ,尹向阳读者来信指出 :《数学通报》2 0 0 0年 5月号问题 12 51的解答有不妥之处 .因为数 4 / 9a2 n-8和 2 4an/ ( 9a2 n-8)不是两个无关的数 .数 4 / 9a2 n-8是数列 {4 / 9a2 n-8}的第n项 .利用关系an 1 =12 an 49an,易知 4 / 9a2 n 1 -8=2 4an/ ( 9a2 n -8) .因此 2 4an/ ( 9a2 n -8)是数列 {4 /9a2 n-8}的第n 1项 .所以用数学归纳法来说明这两个数均为自然数时 ,仅验证n =1时 .结论成立就不够了 .必须验证n =1,及n =2时结论成立 ,整个证明的叙述应改为如下 :令An=4 / …  相似文献   

4.
有关幂不等式的证明方面的资料较少见 ,现本文通过应用二项式定理 ,同时配以证明不等式的一些方法、技巧 ,可以解决证明幂不等式问题 .今按其操作先后顺序 ,作出分类举例说明 .1 先用二项式定理 ,后用放缩法例 1 求证 :2≤ ( 1 1n) n<3(n∈N) .证 ∵n =1时 ,( 1 1n) n=2 ;n >1时 ,( 1 1n) n=2 C2 n·1n2 C3 n·1n3 … >2 .∴ ( 1 1n) n≥ 2 .又∵ ( 1 1n) n=C0n C1n·1n C2 n·1n2 … Cnn·1nn =1 1 n(n - 1 )2 !·1n2 n(n - 1 ) (n - 2 )3!·1n3 … 1n !·( 1 - 1n) (…  相似文献   

5.
一个不等式的改进与其"孪生"不等式   总被引:1,自引:1,他引:0  
李建潮 《数学通报》2002,(11):35-35
文 [1 ]给出了不等式 .已知a>13 ,b>13 ,ab=29,求证 :a+b <1 (1 )的一个简证 ;文 [2 ]把它推广为 :ai>1n(i =1 ,2 ,… ,n-1 ;n ≥ 3 ) ,∏n - 1i =1ai=2nn- 1,求证 :∑n - 1i =1ai <1 . (2 )本文首先用文 [2 ]的方法得到了不等式 (2 )的改进 :命题 1 已知ai>p>0 (i =1 ,2 ,… ,n ;n≥2 ) ,∏ni =1ai≤pn- 1q,(q >p) ,则∑ni =1ai<(n-1 )p +q. (3 )(证明从略 )其次 ,从另一角度得到了“改进”的一个“孪生”不等式 :命题 2 已知 0 <ai<p(i=1 ,2 ,… ,n ;n≥2 ) ,∏ni=1ai≤pn- 1…  相似文献   

6.
一个平均值不等式   总被引:1,自引:0,他引:1  
关于n个正数a1、a2 、…、an 的调和平均值H(n)、几何平均值G(n)、算术平均值A(n)与平方幂平均值S(n)的不等式链H(n)≤G(n) ≤A(n) ≤S(n)是大家比较熟悉的 .本文介绍笔者近期发现的一个不等式naa1 1aa22 …aann ≥G(n) A(n) ( )当且仅当a1=a2 =… =an 时取等号 .为述说与书写的简便 ,称上式左端为n个正数的自幂几何平均值 ,记为Z(n) .1 发现中学课本中有这样一证明题 :若a、b >0 ,则aabb ≥abba此不等式易证 ,两端同乘以aabb 得(aabb) 2 ≥aa+b·ba+b =(ab) a+b所…  相似文献   

7.
文 [1]发表了宋庆老师新发现的一个代数不等式及其证明 .笔者发现此代数不等式的背后蕴含着更一般的结论 .同样可利用幂函数的单调性来证明下面的定理成立 .定理 1 若x ,y ,z∈R .则xm(xn- yn) ym(yn-zn) zm(zn-xn)≥ 0(1)其中m·n≥ 0 ;当m·n≤ 0时 ,不等式 (1)反向 .等号当且仅当x =y =z或m =0或n =0时成立 .证 设x≥y >0 ,x≥z >0 .当m·n≥ 0时1)若m≥ 0且n≥ 0 ,则xm≥zm>0 ,xn≥yn>0 ,即xn- yn≥ 0 ,故xm(xn- yn)≥zm(xn- yn) ;2 )若m≤ 0且n≤ 0 ,则 0 <x…  相似文献   

8.
几个不等式的简证   总被引:1,自引:0,他引:1  
《数学通讯》(教师版)2006年上年度刊登了一组关于不等式研究的专题文章,笔者拜读之后受益匪浅,笔者探究发现其中的几个不等式更加简捷的证明方法,现写出来,供读者参考.例1[1]设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n),且p1 p2 … pn=1,则1n∑i=1piai≤n∏i=1aipi≤n∑i=1piai(1)这是文[1]对文[2]证明的如下一个不等式的逆向不等式:设ai>0,pi≥0,(i=1,2,…,n)且p1 p2 … pn=1.则n∑i=1piai≥n∏i=1aipi(2)文[1]通过构造函数,考察函数的凸性,然后用数学归纳法证明了(1)式.其实,有了(2)式,(1)式的证明便唾手可得,不必绕道而行.事实上,由(2)式∑ni=1piai=∑ni=…  相似文献   

9.
一个分式型不等式定理及其应用的注记   总被引:5,自引:0,他引:5  
李建潮 《数学通报》2001,(7):39-39,15
读《数学通报》2 0 0 0年第 6期《一个分式型不等式定理及其应用》一文 (以下简称原文 ) ,发现有以下三处错误应予修正 .1 原文定理 1的修正原文定理 1 若ai、bi∈R ,i =1 ,2 ,… ,n ,γ≥ 2或γ <0 ,β>0 ,则∑ni=1aγibβi≥n1 -γ β·∑ni=1aiγ∑ni=1biβ(1 )原文证明的不妥之处 :“ ∑ni=1bβi- 1 ≥n- 1 β· ∑ni=1bi- β(β≥ 1或 0 <β <1 )” .其实 ,当bi>0 (i=1 ,2 ,… ,n) ,β>1时应有∑ni=1bβi- 1 ≤n- 1 β ∑ni=1bi- β.(1 )式反例 :在 (1 )式中令n =2 ,a1 =1 ,a2 =8,…  相似文献   

10.
对一个不等式猜想的讨论   总被引:2,自引:0,他引:2  
席博彦 《数学通报》2000,(11):21-22
设a >0 ,令Sn(a) =a a … a(n个根号 ) ,(1 )fn(a) =a-Sn 1 (a)a -Sn(a) ,a≠Sn(a) ,(2 )其中n∈N ={1 ,2 ,… }.当a=2时 ,文〔1〕上有如下不等式 :14<fn(a) <π22 7,n∈N . (3)同时 ,当a>1时 ,文〔1〕还提出 (即文〔1〕的第 88个未解决的问题 )fn(a) (n ∈N)的最优上、下界是多少 ?并猜想 :fn(a) >1a2 ,n∈N (4)本文讨论这个猜想 .显然 ,当a >0时 ,{Sn(a) }严格递增 ,又由数学归纳法可得 ,对任何n ∈N ,有 a≤Sn(a) <a 1 ,所以数列为有界数列 .注意到 Sn 1 (a) 2=a Sn(a…  相似文献   

11.
《中学生数学》2 0 0 1年 6月上期第 2 6页刊文《不等式a2b≥ 2a -b的推广及应用》 ,2 0 0 2年5月上期第 2 1页又刊文《不等式 a2b≥a -b4的推广及应用》 .受两文启发 ,笔者将给出与上述两不等式结构相似的一个不等式 ab2 ≥ 2b-1a的应用 .事实上 ,由不等式 1b-1a2 ≥ 0推广得1b2 ≥ 2ab-1a2 ,当a >0时 ,有 ab2 ≥ 2b-1a ①成立 .例 1 设a1 ,a2 ,… ,an 是n个互不相同的自然数 ,证明 :∑nk=1akk2 ≥∑nk=11k.(第 2 0届IMO试题 )证明 由①式有akk2 ≥ 2k-1ak,从而∑nk =1akk2 ≥ 2∑n…  相似文献   

12.
读者信箱     
湖南省浏阳市田家炳实验中学 刘会成 来信指出 :《数学通报》2 0 0 0年第 6期《一个分式型不等式定理及其应用》一文给出了下面 :定理 :若ai,bi∈R ,i =1 ,2…n ,α≥ 2或α<0 ,β>0则 ∑ni=1aαibβi≥n1 -α β(∑ni=1ai) α(∑ni=1bi)β这一结论是错误的 .事实上 ,我们取a1 =a2=b1 =b2 =1 ,α=2 ,β=3 ,a3=1 0 0 ,b3=1 0则 ∑ni=1aαibβi=1 21 3 1 21 3 1 0 0 21 0 3 =1 2n1 -α β(∑ni=1ai) α(∑ni=1bi)β=3 1 - 2 3(1 0 2 ) 2(1 2 ) 3 =5 4 1 8显然定理结论不成立 .我们再取a1 =a…  相似文献   

13.
陈珍培 《数学通报》2002,(3):45-45,32
文 [1 ]中给出如下的结论 :引理 1 对于任意的正整数q ,∑n-1k =0cosq( +2kπn ) ≡ 0引理 2∑n-1k=0cosr( +2kπn ) =0 ,   r:奇数n2 rCrr2 ,  r:偶数定理 4 设圆锥曲线的焦点F ,若A1 ,A2 ,… ,An 是圆锥曲线上的n个点 ,且∠A1 FA2 =∠A2 FA3=… =∠AnFA1 ,则对于 m ∈N ,1FA1 m +1FA2 m +… +1FAn m 为定值 .笔者认为 ,上述三个结论都不严密 ,现分析如下 :1 对于引理 1 ,作者显然忽视了q是n的倍数的情形 .因为若q =tn ,则 ∑n-1k =0cosq( +2kπn ) =∑n-1k=…  相似文献   

14.
组合数的一项性质的概率证明   总被引:1,自引:0,他引:1  
文 [1 ]用数学归纳法证明了组合数的一项性质 :∑ni =0ir(-1 ) iCin =0 ,    当r≤n-1且r∈Nn !(-1 ) n, 当r =n本文给出此性质一个概率证明 .为此作变换in-k ,易见上式等价于∑nk=0(-1 ) kCkn(n-k) r =0 ,  当r≤n-1且r∈Nn !, 当r =n (1 )考虑随机试验 :从 1到n这n个自然数中每次任取一数 ,有放回地抽取r次 ,令Ai={取出的r个数均不等于i},i =1 ,… ,n,则Pk=P(Ai1 Ai2 …Aik) =n-knr,(1≤i1<i2 <… <ik ≤n,k =1 ,2… ,n)由概率的一般加法公式P ∑ni=1Ai…  相似文献   

15.
文 [1 ]有一个优美的不等式猜想 :若ak∈R (k =1 ,2 ,… ,n) ,则 nk=1ak nk=11ak ≥n2 2n 1≤i<j≤n(2n ajai-2n aiaj) 2 (1 )本文证明这个猜想 .记Fn=xn 1xn (x∈R ,n∈ Z-) ,则Fn≥ 2 .容易验证有如下引理 1 若m1,m2 ∈Z ,m1≥m2 ,则Fm1 m2 =Fm1Fm2 -Fm1-m2 .引理 2 当n≥ 2时 ,Fn≥ 2nF1- 2 (2n- 1 ) (2 )证明 当n =2 ,3时 ,文 [1 ]已证 (2 )式成立 ,即有F2 ≥ 4F1- 6 ,F3≥ 6F1- 1 0 .假设n <k时 ,(2 )式成立 .则当n =k (k≥ 4)时 ,1 )若k为奇数 ,…  相似文献   

16.
读过《优美的级数公式》(《中学生数学》2 0 0 0年 1 2月上 )和《用组合数巧解数列题》(《中学生数学》2 0 0 1年 1 2月上 )等文后很受启发 ,进而归纳出几种讨论数列问题的模式 :模式一 欲证∑ni=1 ai=Bn 成立 .若假设其成立的话 ,则An =∑ni=1 ai-Bn =0 ,对新数列{An} ,An=∑ni=1 ai-Bn.若能证出An +1 -An=0 ,对一切n成立 ,且A1 =0 ,则An =An-1 =An -2 =… =A1 =0 ,从而∑ni=1 ai=Bn 成立 .例 1 求证 :1·2·3…k + 2·3… (k + 1 ) +… +n(n + 1 )… (n +k -1 ) =1k + 1 n(n + 1 )…  相似文献   

17.
均值不等式的加强及逆向   总被引:1,自引:0,他引:1  
陈胜利 《数学通讯》2000,(17):30-31
本文给出关于平均值An,Gn 的两个新的不等式及其等价形式 ,它们可看作均值不等式An≥Gn 的加强及逆向 ,有着许多有趣的应用 .定理 设xi∈ [a ,b] ,0 <a <b ,i =1,2 ,… ,n ,则有1n ni=1 (xi-2a) 2 ≥ [( ni=1 xi) 1n -2a] 2 (1)1n ni=1 (2b -xi) 2 ≤ [2b -( ni=1 xi) 1n] 2 (2 )即  14a[1n ni=1 x2i-( ni=1 x2i) 1n] ≥ 1n ni=1 xi-( ni=1 xi) 1n (3) ≥ 14b[1n ni=1 x2i-( ni=1 x2i) 1n] (4)以上各式取等号的条件均为x1 =x2 =… =xn.证 易知 (3) …  相似文献   

18.
赵箐 《数学通讯》2000,(17):33-33
文 [1]发表了罗南星老师关于一个代数不等式的一般结论及证明 ,文 [2 ]发表了高峰老师关于三角形内接正三角形的个数问题的一般结论及证明 .笔者对两位老师的工作表示敬意 .但两文的证明亟待改进 ,笔者在此给出更为简明的证法 ,与广大读者及二位老师共享 .定理 1 若x ,y ,z∈R ,则xm(xn-yn) ym(yn-zn) zm(zn-xn)≥ 0 ( 1)其中m·n≥ 0 ;当m·n≤ 0时 ,不等式 ( 1)反向 .等号当且仅当x =y =z或m =0或n =0时成立 .本定理利用著名的排序不等式即刻可证 ,证法如下 :证 由函数xa(x∈R )的单调性 ,取两…  相似文献   

19.
文 [1]给出了下面的一道竞赛题的几种优美的证法 .题  (第 2 6届独联体数学奥林匹克竞赛试题 )证明 :对任意实数a >1,b >1,有不等式 a2b - 1 b2a - 1≥ 8.其中一种证法是 :设a - 1=x ,b - 1=y ,则x >0 ,y >0 ,原不等式等价于(x 1) 2y (y 1) 2x ≥ 8.运用柯西不等式 ,得(x 1) 2y (y 1) 2x=(x 1) 2y (y 1) 2x (yx y xx y)≥(x y 2 ) 2x y =(x y) 2 4(x y) 4x y=(x y) 4x y 4≥ 8.证明简洁而易懂 .原文还给出了一个推广 ,即设ai>0 (i=1,2 ,… ,n) ,则(a1 1) 2a2 (a…  相似文献   

20.
综合题新编     
题 2 1 已知数列 {an}的通项an 是关于x的不等式n(n -x) >n - 2x (n∈N)的解集中整数的个数 .1)求an;2 )设数列 { 1a2 n}的前n项和为Tn,试比较Tn 与3n2n 1的大小 .解  1)原不等式等价于n(n -x)≥ 0n - 2x <0 或n(n -x)≥ 0 ,n - 2x≥ 0 ,n(n -x) >(n - 2x) 2 ,解得 0 <x≤n ,∵n∈N ,∴an=n .2 )由题意n =1时 ,T1=1,3n2n 1=1.∴T1=3n2n 1,n =2时 ,T2 =1 12 2 =54 ,而 3n2n 1=65 ,∴T2 >3n2n 1.n =3时 ,T3 =1 12 2 132 =4 936 ,3n2n 1=97,∴Tn>3n2n …  相似文献   

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