一个代数不等式的指数推广

文 [1 ]中 ,程龙海先生证明了下面不等式 :若 0≤ x,y≤ 1 ,则x2 y2 ( 1 - x) 2 y2 x2 ( 1 - y) 2 ( 1 - x) 2 ( 1 - y) 2≤ 2 2 . ( 1 )本文将 ( 1 )式作如下推广定理　若 0≤ x,y≤ 1 ,n≥ 2 ,n∈ N,则n xn yn n ( 1 - x) n yn n xn ( 1 - y) n n ( 1 - x) n ( 1 - y) n≤ 2 n 2 . ( 2 )引理　若 u≥υ≥ 0 ,n≥ 2 ,n∈ N,则n un υn ≤ u ( n 2 - 1 )υ. ( 3)证明　因为 u≥υ≥ 0 ,所以[u ( n 2 - 1 )υ]n=un ∑ni=1Cinun- i( n 2 - 1 ) ivi≥ un ∑ni=1Cin( n 2 - 1 ) iυn=un [∑ni=0Cin(…     

W.Janous猜测的再推广

W .Janous猜测 :设x ,y,z >0 ,则x2 -z2y+z + y2 -x2z+x + z2 -y2x+y ≥ 0 ( 1 )贵刊文 [1 ]将 ( 1 )式推广为 :设xi>0 (i =1 ,2 ,… ,n) ,n≥ 3,记S=x1 +x2 +… +xn,t =x21+x22 +… +x2 n,则nx21 -ts-x1 + nx22 -ts-x2 +… + nx2 n-ts-xn ≥ 0 ( 2 )当n =3时 ,由 ( 2 )式可得 ( 1 )式 .本文将把 ( 2 )式作进一步推广 ,并回答文 [1 ]中提出的一个问题 .我们得到如下结果 :设xi>0 (i=1 ,2 ,… ,n) ,n≥ 3,α ,β,γ∈R ,T =xα1 +xα2 +… +xαn,A>max{xγ1 ,xγ2 ,… ,xγn},则当αβγ >0时 ,有nxα1 -T(A-xγ1 )β+ nxα2 -T(A-xγ2 )…     

不等式研究成果集锦(18)

21 3　设 x1,x2 ,x3 ∈ R,且 0 0 ,y1 y2 y3 >0 ,x1x2 x2 x3 x3 x1>0 ,y1y2 y2 y3 y3 y1>0 ,则有∑(x1 y1) (x2 y2 )≥ ∑x1x2 ∑y1y2 .(陈天华 .2 0 0 1 ,2 )2 1 5　若 { am} ,{ bn}是两个非负实数列 ,且定义 Am =1m∑mi=1ai,Bn =1n∑ni=1bi,对于m =1 ,2 ,… ,k;…     

构造方差解方程组

设 n个数据 x1,x2 ,… ,xn 的平均数为 x,则其方差为S2 =1n[( x1- x) 2 ( x2 - x) 2 … ( xn - x) 2 ]=1n[( x21 x22 … x2n) - 1n .( x1 x2 … xn) 2 ].显然 S2 ≥ 0 (当且仅当 x1=x2 =… =xn= x时取等号 ) .合理地灵活应用这一公式 ,可简捷、巧妙地解方程组 ,其思路独特 ,功效奇妙 .例 1　解方程组x 1 y - 1 =6 ,x y =1 8.解　∵　 x 1 ,y - 1的方差是S2 =12 [( x 1 ) 2 ( y - 1 ) 2 -12 ( x 1 y - 1 ) 2 ]=0 ,∴　 x 1 =y - 1 =3.解此方程 ,并检验 ,得方程组的解为x =8,　 y =1 0 .例 2　求方…     

不等式研究成果集锦(15)

178　设 xi>0 ,yi>0 (i=1 ,2 ,… ,n,n≥2 ) ,实数 p≥ 2 ,如果 ∑ni=2x2i ≤ x21,∑ni=2y2i ≤ y21,那么[(xp1- ∑ni=2xpi) (yp1- ∑ni=2xpi) ]1p ≥ x1y1-∑ni=2xiyi- ∑ni=2|y1xi- x1yi|,当且仅当 p =2 ,x1y1= x2y2=… =xnyn时取等号 .(文家金 .2 0 0 0 ,5～ 6)1 79　设 b1,b2 ,… ,bn是实数 ,而 a1≥ a2 ≥…≥ an >0 ,又设 ∑kj=1aj≤ ∑kj=1bj(k=1 ,2 ,… ,n- 1 ) .∑nj=1aj ≥ ∑nj=1bj,则当 0

相似文献   

对一个猜测推广的证明

文 [1 ]对W .Janous猜测推广成如下命题 :设xi >0 (i=1 ,2 ,… ,n) ,记S=x1 +x2 +… +xn,则x22 -x21 S-x2 + x23 -x22S-x3+… + x21 -x2 nS-x1 ≥ 0 ( 1 )文 [2 ]指出文 [1 ]对式 ( 1 )的证明是错误的 ,但未给出式 ( 1 )的正确证明 ,最后又提出了更一般的下述问题 :设xi>0 (i =1 ,2 ,… ,n) ,n≥ 3,记S=x1+x2 +… +xn,能否取适当的k ,有 x2 k-x1 kS-x2 +x3k-x2 kS-x3 +… + x1 k-xnkS-x1 ≥ 0 ( 2 )本文证明 ,当k∈R+时 ,式 ( 2 )成立 .证明　对于 (x1 ,x2 ,… ,xn)的所有互异的n !个排列中 ,必然存在一个排列 (y1 ,y2 ,… ,yn)满足y1 …     

两个数学问题的简解与推广

《数学通报》1998年第6期数学问题1139题和第10期数学问题1156题的解答经研究发现都能简化.问题1139为:“求下述方程组的所有实数解:x6 y6=1　(1)x8 y8=1　(2)原解答用了换元,过程较繁,现简解如下:解　由题设易知-1≤x≤1,-1≤y≤1,且x,y不同时为零,从而1-x2≥0,1-y2≥0,且(1-x2),(1-y2)不同时为零.(1)-(2)得x6(1-x2) y6(1-y2)=0∴x6=01-y2=0或1-x2=0y6=0从而得到所有实数解为x=0y=-1　x=0y=1　x=-1y=0　x=1y=0由上面解法易得到此题的推广:“方程组x2n y2n=1x2n 2 y2n 2=1(n∈N )的所有实数解为:x=0y=-1　x=0y=1　x=1y=0　x=-1y=0.问题1156…     

二次曲线的垂轴弦

如果曲线Γ的一条弦垂直于其对称轴 ,我们将该弦称之为曲线Γ的垂轴弦 .经笔者探究 ,发现二次曲线的垂轴弦有着耐人寻味的性质 .这些性质深刻地揭示了二次曲线的又一几何特征 .图 1性质 1　 P1是椭圆 x2a2 y2b2 =1上不与顶点重合的任一点 ,P1P2 是垂直于 x轴的垂轴弦 ,A1( - a,0 ) ,A2 ( a,0 )是长轴上的两个端点 ,则 P1A1与 P2 A2 交点 P的轨迹方程是　 x2a2 - y2b2 =1 (除双曲线的顶点外 ) .证明　如图 1 ,设 P1( m,n) ( n≠ 0 ) ,则P2 ( m,- n) .直线 A1P1:　 y =na m( x a) 1直线 A2 P2 :　 y =na - m( x - a) 2由 1、2解…     

综合题新编选登

题143设函数f(x)=x x2-a2(a>0).1)求f(x)的反函数f-1(x)及定义域;2)若数列{an}满足a1=3a,an 1=f-1(an),设bn=an-aan a,Sn表示{bn}的前n项和,试比较Sn与78的大小.解1)由f(x)=x x2-a2(a>0)得x=y2 a22y,∵y=x x2-a2(a>0),∴x2-a2=y-x=y-y2 a22y=(y a)(y-a)2y≥0,∴-a≤y<0或y≥a.∴f-1(x)=x2 a22x(-a≤x<0或x≥a)2)∵an 1=f-1(an)=an2 a22an,∴bn 1=an 1-aan 1 a=an2 a22an-a an2 a22an a=an-a an a2=bn2.∵a1=3a,∴b1=a1-aa1 a=12.∴bn=(bn-1)2=(bn-2)22=…=(12)2n-1.∴Sn=b1 b2 b3 … bn=12 (12)2 (12)22 … (12)2n-1.∵2n-1=C0n-1 C1n-1 …     

简单线性规划问题的向量解法

在高中数学新教材中 ,增选简单线性规划为必修内容 .在用图解法求简单线性规划问题的最优解时 ,教师教学用书中 ,通过比较平行线在 x轴或 y轴上的截距大小寻求目标函数的最优解 .本文提出用目标函数法向量的方法寻求目标函数的最优解 ,供同行参考 .先看例题 .例 1　设 z =2 x y,式中变量 x,y满足下列条件x - 4y≤ - 3,3x 5y≤ 2 5,x≥ 1 .求 z的最大值和最小值 .解　画出可行域如图 1中的阴影部分 .过原点 O( 0 ,0 )作直线 l0 :2 x y =0 ,正法向量为 n =( 2 ,1 ) .当直线 2 x y =t沿着正法向量平行移动时 ,t的值就逐渐增大 ,当直线…     

圆的重要定理在椭圆上的推广

1　一道高考题启示2 0 0 3年高考北京试卷有如下题目 :如图 1 ,椭圆的长轴A1 A2 与x轴平行 ,短轴B1 B2 在 y轴上 ,中心为M( 0 ,r) (b>r >0 ) .图 1　椭圆1 )写出椭圆的方程 ,求椭圆的焦点坐标及离心率 ;2 )直线y =k1 x交椭圆于两点C(x1 ,y1 ) ,D(x2 ,y2 ) ( y2 >0 ) ;直线 y =k2 x交椭圆于两点G(x3,y3) ,H(x4,y4) ( y4>0 ) .求证 :k1 x1 x2x1 +x2=k2 x3x4x3+x4;3)对于 2 )中的C ,D ,G ,H ,设CH交x轴于点P ,GD交x轴于点Q .求证 :|OP| =|OQ| .(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形 )解　 1 )椭圆方程为 x2a2 + ( y -r) 2b2 =1 ,焦…     

关于抛物线的一个命题的推广

抛物线有一个有趣的命题：过定点M(2p,0)的动直线l与抛物线C：y2=2px(p＞0) 相交于P、Q两点,O为坐标原点,则∠POQ恒为直角.与其等价的命题是：过原点O作抛物线y2=2px(p＞0)的两条互相垂直的弦OP、OQ,则直线PQ恒过定点M(2p,0).文［１］给出此命题的一个推广,本文从另一角度给出此命题的推广.命题1 设M(x0,y0)为抛物线y2=2px上的一个定点,过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP,MQ,则直线PQ恒过定点M′(x0 2p,-y0)证 设PQ的方程为：x=my n(n≥0),代入y2=2px 得 y2-2pmy-2pn=0.由韦达定理得：y1 y2=2pm,y1y2=-2pn(1)其中y1,y2…     

一类“数学问题”的统一证法

文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2. 文[2]给出了不等式:已知xi＞0(i=1,2,…n),k＜1,求证: n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1. 文[3]给出了不等式:设ai＞0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q＞0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)＞0(i=1,2,…,n),求证:     

抛物线中的定点弦问题

文[1]对圆锥曲线中的定点弦问题进行探讨,本文再给出与抛物线中的定点弦有关的另二个定理.定理1已知AB为抛物线C:y2=2px(p>0)的一条动弦,O为坐标系原点,OA·OB=t(t为常数且t p2≥0).(i)当A,B两点位于x轴的两侧时,AB弦过定点(p p2 t,0).(ii)当A,B两点位于x轴的同侧时,AB弦过定点(p-p2 t,0).证设AB:my x n=0,代入抛物线C:2y2=2px得:y2 2pmy 2pn=0,设A(y12p,y1),B(y222p,y2).由韦达定理得y1y2=2pn(1)∵OA·OB=t,∴(y1y2)24p2 y1y2=t,即(y1y2)2 4p2(y1y2)-4p2t=0.∵t p2≥0,∴Δ=(4p2)2 16p2t=16p2(p2 t)≥0,2±16p2(p2 t)∴y1y2=-4p2…     

一个猜想的证明

文 [1 ]提出了一个对称不等式 :已知x ,y ,z∈R+,且x+y+z=1 ,则( 1x -x) ( 1y -y) ( 1z -z) ≥ ( 83) 3 ( 1 )并在文末提出一个猜想 :设xi>0 ,i=1 ,2…n ,且 ni=1 xi=1 ,n≥ 3,则Πni=1 ( 1xi-xi) ≥ (n- 1n) n ( 3)本文将利用文 [2 ]中的结论 ,即下述引理 (审者注 :此引理由 [1 ]中定理 3,定理 4结合得出 )去证明这个猜想 .引理　设a 相似文献   

关于一类中心循环的有限P-群的自同构群

确定了一类中心循环的有限p-群G的自同构群.设G=X_3(p~m)~(*n)*Z_(p~(m+r)),其中m≥1,n≥1和r≥0,并且X_3(p~m)=x,y|x~(p~m)=y~(p~m)=1,[x,y]~(p~m)=1,[x,[x,y]]=[y,[x,y]]=1.Aut_nG表示Aut G中平凡地作用在N上的元素形成的正规子群,其中G'≤N≤ζG,|N|=p~(m+s),0≤s≤r,则(i)如果p是一个奇素数,那么AutG/Aut_nG≌Z_(p~((m+s-1)(p-1))),Aut_nG/InnG≌Sp(2n,Z_(p~m))×Z_(p~(r-s)).(ii)如果p=2,那么AutG/Aut_nG≌H,其中H=1(当m+s=1时)或者Z_(2~(m+s-2))×Z_2(当m+s≥2时).进一步地,Aut_nG/InnG≌K×L,其中K=Sp(2n,Z_(2~m))(当r0时)或者O(2n,Z_(2~m))(当r=0时),L=Z_(2~(r-1))×Z_2(当m=1,s=0,r≥1时)或者Z_(2~(r-s)).     

一道数学奥林匹克题的再推广

1999年加拿大数学奥林匹克试题第 5题 :已知x ,y ,z为满足x + y +z =1的非负实数 ,试证 :x2 y + y2 z +z2 x≤ 42 7( 1 )并指出等号成立的条件 .文 [1 ]将其多元推广为 :若x1,x2 ,… ,xn(n≥ 3)为满足x1+x2+… +xn=1的非负实数 ,则x21x2 +x22 x3+… +x2n- 1xn+x2nx1≤ 42 7( 2 )当x1,x2 ,… ,xn 中一个为 23,另一个为 13,其余n - 2个均为 0时等号成立 .今对赛题 ( 1 )式与文 [1 ]推广 ( 2 )式分别作指数推广 .1　赛题的指数推广定理 1　若x ,y ,z为满足x + y +z =1的非负实数 ,n ,m∈N+且n≥m ,则　xnym + ynzm +znxm≤13nnmm(n +m) n +m　…     

考点5 反函数

1.(江苏卷,2)函数y=21-x+3(x∈R)的反函数的解析表达式为().(A)y=log2x-23(B)y=log2x-23(C)y=log23-2x(D)y=log23-2x2.(山东卷,2)函数y=1-x x(x≠0)的反函数的图像大致是().(A)(B)(C)(D)3.(全国卷,3)函数y=3x2-1(x≤0)的反函数是().(A)y=(x+1)3(x≥-1)(B)y=-(x+1)3(x≥-1)(C)y=(x+1)3(x≥0)(D)y=-(x+1)3(x≥0)4.(辽宁卷,5)函数y=ln(x+x2+1)的反函数是().(A)y=ex+2e-x(B)y=-ex+2e-x(C)y=ex-2e-x(D)y=-ex-2e-x5.(天津卷,9)设f-1(x)是函数f(x)=12(ax-a-x)(a>1)的反函数,则使f-1(x)>1成立的x的取值范围为().(A)(a22-a1,+∞)(B)(-∞,a22-…     

初等证明不初等

文[1]用初等方法证明了不等式:若xi>0,i=1,2,3,且∑3i=1xi=1,则1 1x21 1 1x22 11 x32≤1207.证明的关键是先证明了对任意0相似文献   

GLOBAL EXISTENCE OF THE SOLUTIONS TO NONLINEAR HYPERBOLIC EQUATIONS IN EXTERIOR DOMAINS

This paper deals with the following IBV problem of nonlinear hyperbolic equations u_(tt)- sum from i, j=1 to n a_(jj)(u, Du)u_(x_ix_j)=b(u, Du), t>0, x∈Ω, u(O, x) =u~0(x), u_t(O, x) =u~1(v), x∈Ω, u(t, x)=O t>O, x∈()Ω,where Ωis the exterior domain of a compact set in R~n, and |a_(ij)(y)-δ_(ij)|= O(|y|~k), |b(y)|=O(|y|~(k+1)), near y=O. It is proved that under suitable assumptions on the smoothness,compatibility conditions and the shape of Ω, the above problem has a unique global smoothsolution for small initial data, in the case that k=1 add n≥7 or that k=2 and n≥4.Moreover, the solution ham some decay properties as t→ + ∞.