巧构几何图形,妙证不等式

构造图形是一种探索和创新,适当的构造可以准确快速地解决代数问题,并有利于开拓学生的思维,提高分析和解决问题的能力.下面通过举例加以说明.……     

巧证不等式

题目 已知a,b∈R＋,且a＋b=1,求证：a^n＋b^n≥（1/2）^n-1（n∈N^n）．     

不等式的多种妙证

不等式是数学竞赛的重要内容,也是高中联赛、冬令营乃至IMO的重点与难点．尤其是解题中的各种变幻层出不穷、显示出其变化的数学美．笔者在探究《数学通报》一道问题时,偶得几种证法,献给读者朋友,不足之处,请不吝赐教．     

巧证几何不等式

<正>在△ABC中,D、E分别为边BC和CA上的点,T是DE上的点,S_1、S_2、S分别表示△ADE、△BDT、△ABC的面积,则(S_1/S)^(1/3)+(S_2/S)(1/3)+(S_2/S)^(1/3)≤1.     

向量巧证不等式

在不等式证明中 ,若能根据其结构特点 ,构造向量 ,运用向量的数量积知识 ,则可使问题得到出其不意地解决 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .证明　构造向量ｍ—→ =(ａ ,ｂ) ,ｎ—→=(ｃ ,ｄ) ,设ｍ—→ 与ｎ—→ 的夹角为θ ( 0≤θ≤π) ,则　ｍ—→·ｎ—→ =ａｃ +ｂｄ ,　 |ｍ—→| =ａ2 +ｂ2 ,　　 |ｎ—→| =ｃ2 +ｄ2 ,∵　ｍ—→·ｎ—→ =|ｍ—→|·|ｎ—→|ｃｏｓθ≤ |ｍ—→|·|ｎ—→| ,∴　 (ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .例 2　设ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1 ,…     

巧证一道不等式

设A,B,C为任意三角形的三个内角,对于任意实数x,y,z.求证: x2 y2 z2≥2xycosA 2yzcosB 2xzcosC. 该不等式是研究三角形的一种独特而有力的工具-"母"不等式,其证明通常是构造二次函数来证,本文给出一种新颖的向量证法.     

利用齐次化与非齐次化思想证明不等式竞赛题

设含有变量x1,x2,…,xn的不等式,如果对任意正数λ,用λx1,λx2,…,λxn去替代x1,x2,…,xn所得的不等式不改变,则称这个不等式是齐次不等式,否则,称这个不等式是非齐次不等式.齐次不等式体现了数学的对称美和和谐美,所以我们常常把非齐次不等式转化为齐次不等式进行证明,这样可以化繁为简,达到事半功倍的效果.反过来,对于某些齐次不等式,如果我们增加条件将它非齐次化,有时也会减少不必要的复杂运算,化难为易,其优雅之处,也叫人拍案叫绝．     

巧用定积分妙证不等式

2013-2014学年度武汉市部分学校新高三起点调研测试数学理科试卷的压轴题为：     

巧用齐次化与非齐次化的思想解不等式竞赛题

解析式是中学数学的重要内容之一,也是研究函数、方程、不等式的基础,数学的其它各分支学科均离不开解析式的恒等变换.因此,熟练地掌握一些解析式的变形规律是学好代数及相关学科的前提.本文主要讨论如何利用齐次化与非齐次化的思想,解决一些竞赛中的不等式问题.定义1设xi≥0(i     

妙用导数巧证不等式

对一些用一般方法难于证明的不等式进行适当变形,构造典型函数,利用求导数法来研究其单调性,进而再利用其单调性可快捷的证得不等式,往往别开生面,颇有新意.     

以解代证 巧证不等式

解不等式与证明不等式是不等式的两大主干题型，它们之间似乎有一道天堑，无法互相沟通，本文将介绍一种通过解不等式来证明不等式的方法，以实现两者之间的沟通，使天堑变通途。     

利用概率分布巧证不等式

文[1]巧妙地建立一维离散型随机变量X的概率分布,并利用其方差的非负性(D(X)=E(X2)-(E(X))2≥0,当且仅当X服从退化分布时等号成立)给出了柯西不等式的一种构造证法,笔者读后颇受启发,也尝试用该法证明了一些不等式,写在这里与读者分享.     

构造正方形巧证不等式

例1设a、b、c∈(0,1),求证,abc(1-a)(1-b)(1-c)≤(1/4)^3.     

一个不等式的巧证

设a，b，c∈R，且a＋b＋c＞0，ab十bc ca＞0，abc＞0，柬：a＞0，b＞0，c＞0．此题在分种参考书中曾出现过，原证法都是用反证法证明的．这里结出一种简捷的巧证．设f(x）=（x＋a）（x＋b）（x＋c）＝x‘＋（a＋b＋c）x3＋（ab bc ca）x＋abc从尾舟式来看，显然当X＞ow人X）＞o．意味着y一八X）的图象更X轴的正半细无交点，而y一人x）弓xs青三个交点（－a，0），（－b，0），（－C，0），所以必有一a＜0，一b＜0，－c＜0即a＞0，b＞0，c＞0．一个不等式的巧证@周满庭$安徽省宣城中学!242000…     

构造长方体巧证不等式

我们知道:长方体有如下性质(为了节省篇幅,本文约定所构造的长方体的长、宽、高分别为a,b,c,体对角线长为l,本文中所有角均为锐角.):     

构造函数模型 巧证不等式

函数是贯穿中学数学的一条主线,不等式是中学数学的重要内容之一.对于一些不等式的证明问题,通过类比、联想、转化,合理地构造函数模型,利用函数的单调性可以得到巧妙的解决.本文结合具体实例谈一谈怎样构造函数模型来证明不等式问题.     

抓住特征巧证不等式

不等式中的"式子",其整体或某一部分往往显示或隐含着某一特征,这一特征与某一数学概念或公式定理或方法模型有联系,抓住这一点展开分析探索,常常能得到一些巧妙的证明方法.     

巧解妙证举隅

数学题的巧解妙证是对常规解法而言的。对于某些表面上看感到十分辣手的数学题,若能充分应用各种数学知识,打破常规,广开思路,别出心裁,巧辟捷径,那么就能使问题化难为易,迎刃而解。下面从较常用的几个方面举例说明。一、巧用恒等式例1 解方程 (x-1)~3+(3-2x)~3+(x-2)~3=0。解:观察得(x-1)+(3-2X)+(x-2)=0 联想:若a+b+c=0,则a~3+b~3+c~3=3abc 于是有3(x-1)(3-2x)(x-2)=0 ∴原方程的解为x_1=1,x_2=3/2,x_3=2。     

逆用S_n公式 妙证不等式

对于有些数列不等式问题 ,如果从正面去直接探求 ,常常感到繁难 ,甚至一筹莫展 ,但是 ,若改变一下思维角度 ,挖掘其隐含的某些公式特征 ,借以逆用 ,使问题转化 ,常可得到简捷、巧妙的解法 ,让人有耳目一新的感觉 .下面以数列的前n项和Sn 的逆用加以说明 :1　a1+a2 +… +an=Sn 的逆用例 1　求证 :1+ 12 2 + 132 +… + 1n2 <2 - 1n,(n≥ 2 ,n∈N)分析　设想右端式“2 - 1n”是数列 {an}的前n项和Sn,则n≥ 2时 ,an=Sn-Sn -1=(2 - 1n) (2 - 1n - 1) =1n(n - 1) .这样 ,问题转化为证明不等式 1n2 <1n(n - 1) (n≥ 2 ) ,此不等式易证 .2　等差…