立方倍积問題和蔓叶綫

求立方体的倍积、三等分任意角以及化圓为方三个問題,一般称之为古代几何学尺規作图的三大問題。远在紀元前三四世紀古希腊不少数学家曾致力于这三个問題的研究,但由于当时还处在数学发展史中的初等数学阶段——常量数学时期,变量概念和代数解析法尚未建立的客观厉史条件下,不能够从理論上判別尺規作图法所能解决的問題的范围。因此这三大問題从紀元前三四世紀到十六世紀近二千年間,不知耗費了多少古希腊学者以及后来若干数学家們的精力,都沒有能够求得解决。直到十七世紀解析几何产生,建     

关于分圓问题

一.問题的提出和轉化1.問題的提出。用圓規和直尺来等分一个圓周(或者作一个正多边形)在初等几何学里是一个很平常的問題;可是为了完全地解决这个問題,却不是單憑初等几何学的知識所能做到的,这需要有比較高深的工具。我們在这篇文章里是想尽量地利用比較初等的工具来解     

線代数学的基本概念

对於所謂“初等”数学来說,还保存着来自希腊科学的,一方面是代数方法而另一方面又是直观的几何概念的这种彼此分裂的特征。誠然,在解几何問題时常常要用到某些代数方法,但是在初等数学中,沒有把几何問題归結为代数問題的一般方法,同样也沒有对代数公式和代数关系式作几何解釋的一般方法。这样的一般方法中最簡單的是在空間中引入坐标系。这就使我們有可能在空間中的每一个点与三个实数x,y,z的数組之間建立起对应,与量x,y,z有关的每一个方程可以解釋为空間中的某一个面等等。这样一来,坐标法首先使我們能按照完全确定的法則,系統地利用代数以解决几何問題,分类和討論各种不同的几何形象(曲線,曲面等),其次使我們有可能按照非常一般的法則,对各种不同的代数关系式作几何解釋,例如,任何一个線性方程     

希尔伯特第五問題

1900年在巴黎举行的国际数学会議上,希尔伯特(D.Hilbert)作了以数学問題为題的讲演,向数学界提出了23个問題。这篇讲演具有十分重大的意义,这不仅是因为希尔伯特恰恰在两个世紀轉折的时候提出了这些問題,更重要的是,如在他讲演的一开始所說的,“揭起包着未来的面紗,一瞥我們今后科学的进展,探索未来世紀如何发展的秘密,以及有否不可解者,追求引导这些一般化的数学思想的特殊目的是什么,在未来的世紀里,在广闊而且丰富的数学思想的各个領域里,将能发現什么新的方法和新的事实”。这篇讲演中的各个問題之間的联系不太大,問題的大小和难易也各不相同,但是可以說几乎是包含了本世紀数学界所有致力研究的課題。本文所要談的第五問題已經肯定地被解决,它已成为数学界閑談的資料。問題是这样叙述的:“試不用可微性来定义Lie羣”。首先,让我們来說明它的意义。     

关于几何作图的几点意見

我脫离中学教学多年,对于中学教学已不大熟悉了。不过我还愿意对几何作图的教学提出几点意見,并提出几个問题与大家商榷,并希指正。一、把证題和作图題密切結合起来几何問題虽属千差万別,但要按性质来区分,不外証明題和作图題两大类。給出图形,証明它适合某种条件,这是証明題;給出条件,求作一图使适合某种条件,这是作图題。作图之后,照例应有証明,証明題中也少不了作图。这两件事是互相联系,互相启发,原无先后之分的。有时在寻找或証明充分必要条件时,更是难舍难离,所以除非为了特殊目的(例如着重讲作图方法、讲制图术),不宜把証明题和作图題割裂开来,使互不相干。因此对每一章的証明題应該配合以适当的作图題。作图題与証明題如果配合得好,可使学过的定理益加巩固,理解更为深刻,而作图因有理論作根据,也可以減少差錯或弥补不足。二、把几何作图与制图課密切结合起来这一点也应該是努力实現的目标。大家知道,几     

博奕論杂談:(一)二人博奕

正象十七世紀时概率論的产生与一些賭博問題有关那样,在本世紀发展起来的博奕論也与一些賭博以及下棋中的数学問題有关。在1921年时,法国的E.Borel为了在用数学方法处理賭博一类問題时,提出了“策略”这样一个概念,賭徒智力的高下就体現在是否能善于选择策略这一点上,这可以說是博突論的萌芽。我們先来举一个用撲克牌打賭的例子。甲乙两人各从一付撲克牌中选取5张后同时下注,賭注限定是a元或b元,此处a>b>     

三次方程求根公式的历史

在三次方程解法的发展过程中,求根公式占有中心地位,所以我們在这篇文章里主要介紹一下关于三次方程求根公式的历史。三次方程最早都是以实际問題出现的。在古巴比伦人遺留下来的楔形文字小片中有相当于下列的三次方程問題: 12x~3+x~2=1+45/60(当时巴比伦使用六十进位制)。但是在三四千年以前,巴比伦人怎样解这类三次方程問題,現在还不知道,不过不会有普遍解法是可以肯定的。刁藩都(Diophantos,第三世紀人)是古代希腊著名的代数学家,在他的数学名著《算术》中研究了許多方程問題,其中有一个問題相当于下面的三次方程: x~3+8x-(5x~2+1)=x。我国也是最早研究三次方程的国家之一。唐朝初     

費尔馬在数学上的伟大貢献——紀念費尔馬逝世300周年

費尔馬(P. Fermat,1601—1665)是十七世紀最卓越的数学家之一,他在数学的好多个分支中都有重大貢献。他于1601年8月生于法国一个皮革商的家庭里;1665年1月15日逝世,享年65岁。今年1月15日是他逝世300周年紀念。費尔馬的一生,除了他的日常工作之外,业余时間主要是从事数学研究工作,并时常和当时一些法国数学家討論問題或彼此通訊。 費尔馬在数学方面的研究兴趣很广泛,他在数論、几何、分析以及概率論方面都做过深入的研究,并取得輝煌成就。他所研究的題目,有的后来形成了新的数学分支,有的长期吸引着人們的注意,甚至于还有一直到現在都沒有得到彻底解决的問題。下面我們就其主要者分別作些簡单介紹。 1.数论方面。数論是研究整数性貭的科学,自古以来就吸引着数学家們的注意,很多人进行过研究。古希腊最著名的代数学家丢芳图斯(Diophantos,約公元三、四世紀之間时的人),在著作《算术》第二卷中,提到了求不定方程     

关于有限时間运动稳定性

<正> §1.問題的提出 运动稳定性的問題是研究被扰动运动和未被扰动运动的关系,它在解决力学及工程技术的問題中占有很重要的位置.尤其是在目前科学技术迅速发展的情况下,很多尖端的技术問題都迫切地需要解决大量稳定性問題.的工作給运动稳定性的研究奠定了坚固的基础。 但是所研究的运动稳定性問題是在无限时間     

物理学中的极大极小問題

极大与极小問題是有很大实际应用意义的,因而人們对它有相当浓厚的兴趣,微分学給出了解决这一类問題的一般方法。但讀者要注意,有些問題利用初等数学的知識来解决往往更簡单更敏捷更巧妙。下面我們就准备用初等数学的方法来解决一些物理学中的极大与极小問題。 1.将一物体以初速v_0垂直向上抛出,問此物体的最高点在何处?何时到达? 解。设最高点与地面的距离为h,此物体經过t秒钟到达最高点。由于地球引力的作用,垂直向上拋出的物体作匀减速运动。显然物体在最高点的速度等于零。所以     

中国古代天元术的发生与发展

我国古代代数的发生与发展,是由于要用代数方程来解决实际問題,所以古代代数的主要內容是方程問題。我国古代方程問題是从两方面发展的,首先要根据問題的条件,列出方程,化为标准形式,这个过程,古时称为造术。其次是解方程,这个过程,古时称为开方。     

E.嘉当和他的数学工作(再續)

Ⅲ.几何尽管李羣論是和微分几何密切是相关的,嘉当在微分几何方面的主要工作却不是在比較靠后的阶段才开始的。他在微分几何方面的第一批文章是討論变形問題的。很清楚在那时候他已經有了活动标架方法的主要思想,活动标架方法是他在以后的年月里他自己特別爱好的題目之一,它至今还沒有完全探索清楚。这方法不是新的。它是Darboux,Ribaucour和其他人所成功地运用的活动三面体的方法在任意齐性空間中的推广。即使在最一般的情形下它的某些     

積分學簡史

古代 積分學產生於求面積和體積的問題,古代東方學者早就知道一些由經驗獲得的很簡單的幾何圓形的面積與體積的测量法則,特別是還在紀元前2000年以前埃及人和巴比倫人就能近似地測出圓的面積(巴比倫人取π≈3,埃及人取π≈3.16)並且知道底為正方形的截斷角錐體體積的測量法則。古希臘科學首次地提出給與角錐及圓的測量法則以理論根據的問題;這是在數學中引進無窮一概念的原因。根據一系列原始資料的考據,積分方法的原則為紀元前五世紀生於阿布吉爾(?)的著名唯物哲學家德謨克里特所首次創立。顯然,德謨克里特是把物體看作由大量的微小部分所組成的,從這種觀點上看來圆錐是由極薄的具有不同的直徑的圓柱片一層層重疊起來的總體,德謨克里特作過許多有價值的發現;例如,他指出角錐體與圓錐體分別等於等高等底的角柱體或圓柱體的三分之一。但是他的證明不久就不再滿足數學嚴謹性的要求。     

Hurwitz-Radon問题——等价和約化是处理数学問題的一种基本方法

讀者在处理数学問題可能已經有过这样的經驗:試图直接解决一个数学問題正在一筹莫展的时候,往往是把它化成另一个等价的問題而得到解决;直接解决原問題之所以感到棘手,一方面固然可能由于原問題的确难以直接处理,另一方面也可能是由于对問題的这种表現形式以及解决它所需的知識和工具掌握得不够充分。把一个問題化为另一个等价的問題,就增大了我們已經掌握的工具和知識的利用率;問題采用不同的表現形式,就会因使用的方法不同而增大了解决它的可能性。列举出問題的一切表現形式,以便从中选出一种合适的来处理,从方法論的观点說来,这是十分重要的。本文的目的,一方面固然是介紹Hurwitz-     

張弛問题的最速下降法

<正> §1.引言 張弛方法對於解決如下的問題是一個極重要的方法:代數方程,微分方程的界值問題,特徵值問題等.R.V.Southwell,L.Fox及其他人用這方法解决了一些重要的實用問題.Temple證明在為一般實用問題所满足的條件下,張弛方法實際地給出正確的解答.他在他的論文裹考慮了兩個方法:     

論黎曼測度V_m在常曲率空間S_(m+1)中的變形

<正> 在歐氏空間E_(m+1)中的安裝及變形問題在近一世紀的幾何學者的工作中得到了解决,而所確定的V_m E_(m+1)一般是不能變形的。就是說,能够變形的只是狹窄的一類超曲面.運用了外微分形式的方法,很詳細地綜合了這些工作,並且完全地給出     

电子計算机

电子計算机是本世紀里一个很伟大的科学成就,它对于我們的社会主义建设,对于生产、国防、科学研究許多方面都有深刻影响。苏联同志把原子能和电子計算机看作是20世紀里两样最伟大的科学技术成就,并说它們是共产主义建設的物貭基础。一、速度概念用了电子計算机可以使我們計算得非常快。在解决工程問題的时候,在科学研究里常常要做許多計算。有时要計算得很多、很复杂,要用許多人,算很长的时間。为了进行大量的計算,过去要設立专门的計算机构,要用几种普通的所謂台式計算机来算,但是要算的問題太多太复杂了,用普通的計算机是算不过来。有     

兩个有趣的几何事实

几何学一直是一門非常吸引人的数学学科。任何一个学習数学的人都会或多或少地对几何有一些兴趣,在遇到一个几何問題时常常会不自禁地停下来想一想。几何学向人們揭示出空間和几何圖形的各种各样的性質,其中有不少使人感到是奇妙的。特別能引起兴趣的是那些初看上去直观上並不显然的事实。我也不     

18世紀和19世紀上半期数的学說

1.数的概念經过了好多世紀复雜的歷史發展过程。数的学說某礎和方法也随之建立起來了。在歷史上,自18世纪初到19世纪中期,数的学說的奠基問題特別受到注意,在这时期中,解决技術和精确科学問題关联着数的概念一切增長着的应用。数的概念大大地擴充了。發現了数的新奇的性質(特別是复数和多元数)。从17世纪到18世紀,数学家所獲得的数的学說建立的基礎和方法因而受到批判。特別是19世纪上半期研究所得的肯定成果。就是把数的学說的奠基方法方面的主要輪廓定形下來,直到現在还通常地採用它們。在我們的文献中,关於18世紀和19世紀上半期数的学說奠基方法的發展史,在数学史里叙述得很不够。在資產階級数学史家的著作中經常不正确地——即唯心主义和形而上学地     

圓錐曲綫小史

人民教育出版社出版的《平面解析几何》引言上說:“解析几何产生在17世紀初期。由于当时生产的发展,各种科学和生产技术都有了很大进步,这就迫切需要解决随着发生的許多数学上的問題。……因而有关圓錐曲线的計算就成为迫切需要。解析几何就是由于这种需要而产生的”。本文就圓錐曲线发展的历史,略作介紹。不足之处在所难免,尚希讀者指正。 (一) 圓錐曲綫研究的起源 圓錐曲线的研究,起源于希腊。它与几何三大問題中的二倍立方問題有关。几何三人问題曾轰传一时,研究者很多,曾研究过二倍立方問題的希腊学者計有:阿契塔(Archytas,約公元前428-347),拍拉图(Plato,約公元前427-347),欧多克斯(Eudoxus,約公元前408-355)及蒙爱启瑪斯(Meneachmus,約公元前375-325)等。蒙爱启瑪斯是欧多克斯的門徒,可能受到阿契塔及欧多克斯的启发;他的解法也可能是希腊学者研究的总汇。取三个正圆錐,一为直角,一为銳角,另一个是鈍角的,各作一平面垂直于一条母线,并与圓錐相截;称截线为“直角圓錐截线”、“銳角圓錐截线”、“鈍角圓錐截綫”;(即今之抛