数学问题解答

下面的问题,提供读者解答,但答案不必寄来,本期问题的答案将在下期发表。欢迎读者提出适合中学数学水平的问题。来信请寄至北京德胜门外北京师范大学数学系转数学通报问题解答栏。 1965年第10期问题 616.设a+b>0,n为偶数,证明: b~(n-1)/a~n+a~(n-1)/b~n≥1/a+1/b (刘根洪提) 617.设方程acosx+bsinx+c=0在[0,π]中有两个相异根α,β,求sin(α+β)之值。 (吴泽藩提) 618.试证明:同周长的正n边形的边数越多面积就越大。(周鹤良提) 619.设μ~2,ν~2,ρ~2两两不等,又各参数μ,ν,ρ,b,c选取得使下面的方程组有解x~2>0,y~2>0,z~2>0试不解方程组求x~2+y~2+z~2之值。(褚学璞提) 620.设p(x)是多项式,φ是定义在自然数集上的函数,且满足关系式     

数学问題解答

1965年第12期数学问题 626.设0≤x≤1,证明: cos(arc sin x)相似文献   

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,同学们就已经知道了两数和的平方公式: (x+y)~2=x~2+2xy+y~2。(1)这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们准备介绍它的部分应用。 (一)推証公式問題 乘法公式 (x+y)~2=x~2+2xy+y~2, (x-y)~2=x~2-2xy+y~2, (x+y)(x-y)=x~2-y~2, (x+y)~3=x~3+3x~2y+3xy~2+y~3, (x-y)~3=x~3-3x~2y+3xy~2-y~3, (x-y)(x~2+xy+y~2)=x~3-y~3, (x+y)(x~2-xy+y~2)=x~3+y~3等都可运用公式(1)来推导。例1.1.求証:(x+y)(x-y)=x~2-y~2。 証.令     

北京大学1982年研究生入学考试试题选登(附简单提示)

<正> 一、1.求极限(?)(xy~2dy-x~2ydx)/((x~2+y~2)~2)=?其中 C_r 是圆周:x~2+y~2=r~2(?)(提示:用参数表示圆周,或将分母部分提到积分号外再用格林公式,简单计算即可求出极限为π/2.)2.设α,β为常数,α>0,β≠0,且有     

方程组(E′_3):■出现五个极限环的例子

<正> 本文利用[1]的方法,证明数字系数的方程组(dx)/(dt)=λx-y-(5+δ)x~3+(12-C)x~2y+(25+γ)xy~2-(4+β)y~3,(dy)/(dt)=x+λy+4x~3+(65+3δ)x~2y-(12-C)xy~2-25y~3,(1)其中λ=10~(-2,830),γ=-10~(-1,407),β=10~(-698),δ=-10~(-226),C=10~(-46),出现五个围绕原点的极限环.     

谈椭圆内接等边或等腰三角形

有两道关于椭圆对称性的应用流行甚广但以偏概全的题: 题一:作椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的内接正三角形,使其一个顶点是(0,b),求此三角形的边长。(a>b>0) 题二:椭圆4x~2 y~2=4的左顶点为A,求以A为顶点的内接等腰△ABC的最大面积。     

问题一瞥

1) 解方程: x~3-(a+2)x+(a+1)~(1/2)=0 2) 解方程: x~4-6ax~2+8a((ax)~(1/2))-3a~2=0 3) 确定下式的最小值: a~2+b~2+c~2/S其中a,b,c是三角形的边,S是三角形的面积。 4) 证明: tgα·tg2α+tg2α·tg3α+…+tg(n-1)α·tgnα=tgnα/tgα-n。 5) 证明不等式: tgα(ctgβ+ctgγ)+tgβ(ctgα+ctgγ)+tgγ(ctgα+ctgβ)≥6。其中α,β,γ是锐角三角形的角。 6) 证明: C_n~1 1~2-C_n~2 2~2+C_n~3 3~2-…+(-1)~n C_n~(n-1) (n-1)~2+(-1)~(n+1) n~2=0     

关于有限区间上二次函数的最大(小)值

先看一道问题的解答: 问题:x、y是实数,且满足等式3x~2 2y~2=6x,求x~2 y~2的最大值. 解由3x~2 2y~2=6x,得y~2=-3/2x~2 3x,从而K=x~2 y~2=x~2-3/2x~2 3x=1/2x~2 3x.故由-1/2<0,可知当x=3/2×(-1/2)=3时,有(x~2 y~2)_(max)=4(-1/2)×0-3~2/4(-1/2)=9/2. 这是一道在约束条件下可化为求二次函数最大值的问题.上述解题过程显然是错误的,而这种错误不易被学生所觉察,常常出现在作业中.错误的根源在于没有考虑到“约束条件”,而乱用二次函数y=ax~2 bx c的极值公式来求在有限区间上该函数的     

数学问題解答

下面的问题,提供读者解答,但答案不必寄来,本期问题的答案将在下期发表。欢迎读者提出适合中学数学水平的问题。来信请寄至北京德胜门外北京师范大学数学系转数学通报问题解答栏。 1965年第11期数学问题 621.如果方程x~2-(m+2)x+m+7=0的两根平方和为某直角三角形斜边的平方,而这直角三角形的三边成等差数列,且其勾为3,试求m之值。 (张禹宁提) 622.把平行四边形内部一点与四顶点联起来,就得到四个三角形,试求出一点,它所决定的四个三角形面积按三角形的排列顺序可以排成等差数列。并证明这点是唯一的。(涂同阶提)     

机械工业部机械研究院1985年攻读硕士学位研究生入学试题高等数学(A)

<正> 三、(10分)求曲面az=x~2+y~2(a>0)与曲面z=(x~2+y~2)~(1/2)所围成的均匀物体的重心坐标。四、(10分)设f(x)在[-1,1]上有界,g(x)=f(x)sinx~2,求g’(0),并写出主要步骤的根据。     

绕过“求交点”这一关之我见

《解几》中有一类粗看要解交点,实际上可以另辟途径,不解交点同样能使问题得到解决的二次曲线相交问题。下面介绍几种避免求交点的方法,仅供读者参考。一利用“线系”绕过“求交点”例1 求⊙O:x~2+y~2=9被⊙c_1:(x-3)~2+y~2=27所截得的劣孤长及弦长。     

一类三次微分系统局部拓扑结构的判断准则

关于 V.L.Arnold 问题中的平面三次微分系统高次奇点附近的拓扑结构的系数准则,至今尚未有文献提及.本文讨论了第一临界情形的三次微分系统(?)x′=ax+by+α_(30)x~3+α_(21)x~2y+α_(12)xy~2+α_(03)y~3,y′=cx+dy+β_(30)x~3+β_(21)x~2y+β_(12)xy~2+β_(03)y~3(其中 det(A-λE)=0,A=(?)有且仅有一个零根)奇点(0,0)附近的拓扑结构,并给出由右端多项式系数的判断准则.     

勾股定理的推广

讀华罗庚著“数論导引”第十一章§6商高定理的推广以后,使我連想起求不定方程x~2+y~2=z~n的整数解,进而想到求x~2-y~2=z~n的整数解,更进一步想到求x~2+αxy+βy~2=z~n的整数解,最后又找到了求某一类型ax~2+bxy+cy~2=dz~n的不定方程的整数解公式。另一方面,我們知道至今尚未解决費尔馬(Fermat)問題:当n>2时不走方程x~n+y~n=z~n已不再有xyz≠0整数解。因而,我又連想到更一般地判定关于ax~n+by~n=cz~n型不走方程是否有整数解的問題。現将我在这方面获得的点滴心得体会介紹出来,供大家参考。由于我身边沒有更多的数論方面的参考书,也很可能同志們还有比这更好的見解,因此还盼望多多指教。为了节省篇幅,我尽量把某些步驟省去。現将各部分分述于下:     

一类方程的几何解法

本刊1983年2期问题征解1说的是求解方程(x~2+y~2)~(1/2)+((2-x)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(2-y)~2)~(1/2)+((2-x)~2+(2-y)~2)~(1/2)=42~(1/2)。对此,我们讨论下列问题。问题一求下列各方程的实数解1. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-m)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(y-m)~2)~(1/2) +((x-m)~2+(y-m)~2)~(1/2)=2(2~(1/2))|m|;2. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-a)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(y-b)~2)~(1/2) +((x-a)~2+(y-b)~2)~(1/2)=2(a~2+b~2)~(1/2);3. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-a)~2+y~2)~(1/2)+ ((x-b)~2+(y-c)~2)~(1/2)+((x-a-c)~2+(y-c)~2)~(1/2) =((a-b)~2+c~2)~(1/2)+((a+b)~2+c~2)~(1/2)(m、a、b、c均为非零常数,且a(?)b) 不难发现方程左边表示几个距离的和,这就     

问题与解答

一本期问题 1.△A_1A_2A_3内接于圆,过A_1、A_2作三角形的中线分别交圆于M_1,M_2,过A_1,A_2作三角形的内角平分线分别交圆于T_1、T_2,证明或否定|A_1M_1-A_2M_2|≤|A_1T_1-A_2T_2|。 2.已知在△ABC中,A=(a+1)β,B=αβ,C=(α一1)β,且sin~2A=sin~2β+sin~2C,求α和β的值。 3.求证:从数列1,1/2,1/2,1/3,…中一定能挑出一个无穷等比数列,使它的和等于1/2。 4.设x>0,x+y<1,x一y<3,求证6x-8x~2-4xy+2x~3-2xy~2+9x~2/27x~3+4≤73/27。     

问题与解答

一、本期问题 1 已知△ABC的三内角A、B、C成等差数列,而最大角与最小角的对边之比是1:(3~(1/2)-1),试求此三角形三个内角的度数比。 2 已知α是三角形的一个内角,且这个三角形的某两边长是方程x~2-2~(5/4)x+2~(3/2)-sinα-cosα=0的两根,求这三角形的面积。山东梁山十六中陈昌焕提供     

用凑微分法解微分方程25例

<正> 有些微分方程题目用凑微分的方法来解比较简单,本文举出25个例,前二个例是93年研究生入学试题。例1 求微分方程x~2y~1+xy=y~2满足初始条件y|_(x=1)=1的特解。(答案:y=2x/(1+x~2))     

构造点巧解三角问题

<正>有些三角问题,若用常规方法来解比较繁琐,运算量大,但若通过构造点(a cosα,bsinα),利用数形结合就可巧妙解决.一、求值例1已知sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0.求cos~2α+cos~2β+cos~2γ的值.分析由条件可知,同一个角的正弦余弦同时出现,故可设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),则A、B、C是单位圆x~2+y~2=1上的三个点,它们到坐标原点的距离都等于1,所以坐标原点是△ABC的外心,再根据sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0     

妙用一个简单不等式解竞赛题

定理已知x、y∈R,则 (x+y)~2≤2(x~2+y~2) (*)等号仅当x=y时成立。证明由(x-y)~2≥0可得 x~2+y~2≥2xy两边同时加上x~2+y~2即得(*). 证明显然容易,但其应用却十分地广泛,本文通过一些国内外的竞赛题说明其应用。     

有比最大值更大的值

已知:a,b,c,d∈R,p,q∈R~+,且a~2+b~2=p,c~2+d~2=q。求ac+bd的最大值。解一:设a=p~(1/2)sinα,b=p~(1/2)cosα,(0≤α≤2π);c=q~(1/2)sinβ,d=q~(1/2)cosβ,(0≤β≤2π) ∵ac+bd=(p·q)~(1/2)(sinαsinβ+cosαcosβ) =(pq)~(1/2)cos(α-β) 故当α=β时,ac+bd有最大值。且值为(pq)~(1/2)。据基本不等式x~2+y~2≥2xy却易有下解。解二:∵a~2+c~2≥2ac,b~2+d~2≥2bd ∴ ac+bd≤(a~2+b~2+c~2+d~2)/2=(p+d)/2(此是一与a,b,c,d均无关的常数)。故有最大值是(p+d)/2。从上述解一、二我们得知,因(p+d)/2≥(pq)~(1/2),即有比ac+bd的最大值(pq)~(1/2)更大的值(p+d)/2。