Heat transfer and stability properties of convection rolls in an internally heated fluid layer

Summary A study has been made of stationary two-dimensional convection in an internally heated, infinite Prandtl number, horizontal fluid layer bounded above and below by rigid plates of unequal temperature. Sufficient conditions for instability of the quiescent state, as well as post-instability, two-dimensional finite amplitude convective solutions, and heat transfer are obtained as a function of the two Rayleigh number parameters and the wavenumber. Investigation of the stability of the finite amplitude convective motion reveals a region in the dual Rayleigh number domain wherein stationary, two-dimensional convection represents a stable solution of the equations of motion.

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Zusammenfassung Eine Studie der stationären zweidimensionalen Konvektion in einer homogen erhitzten horizontalen Flüssigkeitsschicht wird gemacht im Fall einer unendlichen Prandtl-Zahl, wenn oben und unten feste Platten mit verschiedenen Temperaturen als Randbedingungen vorgegeben sind. Hinreichende Bedingungen für die Instabilität der statischen Schichtung und Lösungen für die voll entwickelte Instabilität in Form zweidimensionaler Konvektion endlicher Amplitude werden in Abhängigkeit von den zwei Rayleighzahl-Parametern und der Wellenzahl berechnet. Die Untersuchung der Stabilität der Konvektionsströmung endlicher Amplitude ergibt ein Gebiet innerhalb des durch die beiden Rayleighzahlen aufgespannten Raumes, im dem zweidimensionale stationäre Konvektion eine physikalisch realisierbare, stabile Lösung der Bewegungsgleichungen darstellt.

     

Das nichtkooperative Nichtnullsummen-Zwei-Personen-Spiel

Zusammenfassung Als Grundlage für die Theorie des Nichtnullsummen-Zwei-Personen-Spiels werden die Begriffe Gleichgewichtspunkt, Sattelpunkt, präventive und defensive Strategie, Felddominanz, Strategiendominanz und mehrere Unterbegriffe davon definiert. Mit ihrer Hilfe wird eine Anzahl von Sätzen bewiesen, die unmittelbar zu einer Lösung dieses Spieltyps führen: Es zeigt sich, daß es zwei Klassen von Nichtnullsummenspielen gibt: solche mit spielbedingten und solche mit persönlichkeitsbestimmten Lösungen. Erstere umfassen alle Spiele, die einen einzigen, nichtdominierten Gleichgewichtspunkt besitzen. Dieser ist die Lösung. Bei allen übrigen Spielen ist die Persönlichkeit der Spieler sozusagen selbst Teil des Spiels. Auch hierfür werden Lösungen angegeben.

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Summary The following terms being the basis of the two-person non-zero-sum games will be defined: equilibrium point, saddle point, preventive and defensive strategy, field dominance, strategy dominance, and several other sub-terms. Using these terms a number of theorems leading directly to a solution of this type of games will be proved. It is shown that there are two types of non-zero-sum games: one type with game-determined solutions and another one with personality-determined solutions. The first one includes all games having a single non-dominated equilibrium point, which is the solution. In all other games the player's intention must be considered as part of the game. Here as well solutions are given.

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Der Grundgedanke wurde von Professor Dr.W. Krelle auf der Jahrestagung der DGU vom 9. bis 11. September 1963 in Braunschweig vorgetragen und anschließend in Zusammenarbeit mit Diplom-MathematikerDieter Coenen in eine druckreife Form gebracht.     

Partial solutions of finite elasticity — Plane deformations

For plane deformations of isotropic incompressible elastic materials new reduced forms of the equilibrium equations are given. From these equations new exact solutions are deduced for the Mooney material. These solutions are shown to be possible approximate solutions to a number of mixed boundary value problems of finite elasticity.

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Zusammenfassung Neue reduzierte Formen von Gleichgewichtsgleichungen für ebene Deformationen von isotropischen, unzusammendrück baren, elastischen Materialien werden gezeigt. Von diesen Gleichungen werden neue, exakte Lösungen für das Mooney-Material abgeleitet. Diese Lösungen erweisen sich als mögliche ungefähre Lösungen für eine Anzahl von gemischten Grenzwertproblemen von begrenzter Elastizität.

     

A note on uniform asymptotic edge ‘diffraction’ for the diffusion equation

Zusammenfassung In einer früheren Arbeit wurden asymptotische Lösungen von Wärmeleitungsproblemen betrachtet, bei denen die Randflächen des betrachteten Gebietes Kanten enthalten. Diese Lösungen erwiesen sich auf gewissen Kurven und Flächen sowie auf den Kanten als singulär. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist eine allgemeingültige Beschreibung der Lösungen von Kantenproblemen der betrachteten Art. Diese Lösungen erscheinen in der Form von asymptotischen Entwicklungen, die nirgends singulär sind.

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This research was supported by the National Science Foundation under Grants GP-7641 and GP-12188.     

On the stability of two-dimensional convection rolls in an infinite Prandtl number fluid with stress-free boundaries

Numerical solutions for two-dimensional convection rolls in a fluid layer of infinite Prandtl number are obtained by the Galerkin method. Stress-free, isothermal boundaries are assumed at the horizontal boundaries of the fluid layer. The stability of the steady solutions with respect to three-dimensional disturbances is analyzed in the Rayleigh number-wave number space. It is found that even for Rayleigh numbers as high as several millions there appears to exist a region of the wavenumber where the convection rolls are stable. This result contrasts with the well known transition to three-dimensional bimodal convection in the presence of no-slip boundaries, but it agrees with simple arguments about the stability of the thermal boundary layers.

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Zusammenfassung Numerische Lösungen für zwei-dimensionale Konvektionsrollen in einer Flüssigkeitsschicht mit unendlicher Prandtlzahl sind gewonnen worden durch Anwendungen der Galerkin-Methode. Es wurden spannungsfreie isotherme Ränder an den Grenzen der horizontalen Flüssigkeitsschicht angenommen. Die Stabilität der stationären Lösungen bezüglich drei-dimensionaler Störungen wurde im Rayleighzahl-Wellenzahl-Raum analysiert. Es wurde gefunden, daß für Rayleighzahlen bis zu einigen Millionen ein Bereich der Wellenzahl existiert, in dem die Konvektionsrollen stabil sind. Dieses Resultat steht im Gegensatz zu dem wohl bekannten Übergang zu bimodaler Konvektion im Fall der festen Ränder, ist aber im Einklang mit einfachen Betrachtungen über die Stabilität der thermischen Grenzschichten.

     

Accurate numerical solution of compressible,linear stability equations

Summary A compact fourth order accurate finite difference scheme is proposed for solving the eigenvalue problem of the temporal and spatial stability of three-dimensional compressible boundary layers. It is applied to the stability study of the flow on a laminar flow control swept wing. The results indicate that the present method provides an accurate and efficient way of calculating the eigenvalues and eigensolutions of the compressible linear stability equations.

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Zusammenfassung Ein kompaktes Differenzenschema vierter Ordnung wird vorgeschlagen zur Lösung von Eigenwertproblemen der zeitlichen und räumlichen Stabilität dreidimensionaler zusammendrückbarer Grenzschichten. Es wird zum Stabilitätsstudium der Strömung über einen LFC Flügel angewendet. Die Resultate zeigen, daß es die angewendete Methode erlaubt, genau und effizient die Eigenwerte und Eigenfunktionen der kompressiblen linearen Stabilitätsgleichungen zu berechnen.

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Research for this author was supported by NASA Contract No. NAS 1-16572.

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Research for this author was supported by NASA Contract No. NCC 1-14.

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Research for this author was supported by NASA Contracts No. NAS 1-14472 and NAS 1-15810 while the author was in residence at ICASE, NASA Langley Research Center, Hampton, Va. 23665.     

Analytic pseudoorthogonalization methods for linear two-point boundary value problems illustrated by the Orr-Sommerfeld equation

Summary Two pseudoorthogonalization schemes for the solution of two-point linear boundary eigenvalue problems are discussed, which serve, during numerical integration, to keep the solutions linearly independent, without disturbing their inherent analytic dependence upon parameters and initial conditions. Solutions of the Orr-Sommerfeld equation are given as examples.

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Zusammenfassung Zwei Pseudoorthogonalisationsverfahren für die numerische Lösung von linearen Rand-Eigenwertproblemen werden besprochen, die die analytische Abhängigkeit der Lösungen von ihren Anfangsbedingungen und Parametern erhalten und die lineare Unabhängigkeit der Lösungen während der Integration garantieren. Lösungen der Orr-Sommerfeld Gleichung sind als Beispiele angeführt.

     

Integral methods in rarefied gasdynamics

The question of convergency in integral methods for rarefied gasdynamics is examined through the example of low-speed flow over a sphere. The four-moment solution and the six-moment solution both compare favorably with experimental data for drag and heat transfer over the entire range of gas density. Discrepancy between the two solutions show a maximum of 0.6% in drag coefficient and a difference of the order of Mach number squared in heat transfer.

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Zusammenfassung Die Konvergenzfrage bei Integralmethoden für die Dynamik verdünnter Gase wird untersucht anhand des Beispiels der Kugelumströmung bei niedrigen Geschwindigkeiten. Four-moment und six-moment Lösungen sind in guter Übereinstimmung mit Versuchsdaten für Widerstand and Wärmeübergang im gesamten Dichtebereich. Die Diskrepanz zwischen beiden Lösungen ist maximal 0.6% für den Widerstandsbeiwert und von der Grössenordnung des Quadrats der Machzahl für den Wärmeübergang.

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This paper is a token contribution in honor of Professor N. Rott who has been a teacher to the author beyond rarefied gasdynamics.     

An elementary approach to a generalized Hopf bifurcation

In the case of a generalized Hopf bifurcation several periodic solutions may branch off from the equilibrium. An elementary procedure is presented for establishing all those bifurcating solutions, as well as their stability behaviour, provided a certain non-degeneracy condition is satisfied.

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Zusammenfassung Im Falle einer verallgemeinerten Hopf-Verzweigung können mehrere periodische Lösungen von der Gleichgewichtslage abzweigen. Es wird ein elementares Verfahren vorgestellt, welches erlaubt, unter einer gewissen Nichtentartungsbedingung diese kleinen periodischen Lösungen sowie ihre Stabilität zu bestimmen.

     

Restricted Liapunov stability and stabilization of ordinary differential equations

Summary For the solutions of a system of ordinary differential equations restricted Liapunov stability and the notion of Liapunov stable sets are discussed, in particular for separable and almost separable Hamiltonian systems. We consider stabilization procedures, i.e. modifications of the original differential equations such that the solutions of the modified are Liapunov stable and thus the new system is better suited for numerical integration. In this paper some theoretical aspects rather than numerical methods are pointed out.

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Zusammenfassung Wir diskutieren die eingeschränkte Liapunov-Stabilität von Lösungen eines Systems von gewöhnlichen Differentialgleichungen und den Begriff der Liapunov-stabilen Menge, insbesondere für separable und fastseparable Hamilton'sche Systeme. Dann betrachten wir Stabilisierungs-methoden, d.h. Abänderungen der Differentialgleichungen, die bewirken, dass die Lösungen des modifizierten Systems Liapunov-stabil sind und die numerische Integration dadurch verbessert wird. Das Gewicht liegt auf der Klärung von einigen theoretischen Zusammenhängen und nicht auf der Erläuterung von numerischen Methoden.

     

Conservative similarity solutions of the one-dimensional autonomous parabolic equation

Summary conditions are established on the coefficient functions of the one-dimensional autonomous parabolic equation for the existence of conservative solutions in the first quadrant of the plane of the independent variables length and time. Such a solution is characterized by the condition that its integral over the length variable from zero to infinity exist and be independent of time. Those conservative solutions are considered which can be expressed by means of a dimensionless variable and a function of the time variable (similarity). For the case that the similarity relation is linear in the length variable, coefficient functions are specified that lead to conservative solutions.

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Zusammenfassung Es werden Bedingungen aufgestellt über die Koeffizientenfunktionen der eindimensionalen, autonomen, parabolischen Gleichung für die Existenz konservativer Lösungen imersten Quadranten der Ebene der unabhängigen Variablen Länge und Zeit. Eine derartige Lösung ist dadurch charakterisiert, dass ihr Integral über die Längenvariable von Null bis Unendlich existiert und unabhängig von der Zeit ist. Es werden konservative Lösungen betrachtet, die mit Hilfe einer dimensionslosen Variablen ausgedrückt werden könen, die als Quotient einer Funktion der Längenvariablen und einer Funktion der Zeitvariablen definiert ist (Ähnlichkeit). Koeffizientenfunktionen, die zu konservativen Lösungen führen, werden für den Fall angegeben, dass diese Ähnlichkeitsbeziehung linear in der Längenvariablen ist.

     

Absorbing set forn-person games

This study tries to modify von Neumann and Morgenstern (vN-M) solution. As with John Harsanyi in 1974, vN-M solution is viewed in a dynamic sense. The final outcome of a game not only depends on the ability of players and standards of behavior of the particular society but also upon which imputation is proposed first. An absorbing property is obtained as a result of modifying the bargaining process of Harsanyi. This modified solution concept maintains the internal stability condition of vN-M solution, and replaces their external stability condition by this absorbing property.

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Zusammenfassung Diese Arbeit zielt auf eine Modifizierung des Begriffs der von Neumann-Morgenstern (vN-M) Lösung. In Anlehnung an John Harsanyi (1974) werden vN-M-Lösungen dynamisch interpretiert. Das endgültige Ergebnis eines Spiels hängt nicht nur von der Fähigkeit der Spieler und den Verhaltensstandards einer bestimmten Gesellschaft ab, sondern auch davon, welche Imputation zunächst vorgeschlagen wird. Durch eine entsprechende Modifizierung des von Harsanyi vorgeschlagenen Verhandlungsprozesses erhält man eine Absorbtionseigenschaft. Das demgemäß modifizierte Lösungskonzept erhält die interne Stabilitätsbedingung der vN-M-Lösung und ersetzt die externe Stabilitätsbedingung durch die Absorbtionseigenschaft.

     

Symmetric deformation of a circular cylindrical shell of variable wall thickness

Zusammenfassung Es werden für die Differentialgleichung der Biegung einer zylindrischen Schale mit kreisförmigem Querschnitt und veränderlicher Wandstärke Lösungen in Form bekannter Funktionen angegeben.

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Supported by the Office of Naval Research under contract with the Massachusetts Institute of Technology.     

Application of the Galerkin and Ritz methods to nonconservative problems of elastic stability

Zusammenfassung In dieser Arbeit werden nichtkonservative Probleme der elastischen Stabilität mittels des Galerkin- und des Ritz-Verfahrens behandelt.Zuerst wird bewiesen, dass die Resultate vonLeipholz bezüglich der Konvergenz des Galerkinschen Verfahrens für solche Probleme auf eine grössere Klasse zulässiger Versuchsfunktionen erweitert werden können. Danach wird das Hamiltonsche Prinzip für nichtkonservative mechanische Systeme so formuliert, dass die Ritzsche Methode auf nichtkonservative Probleme der elastischen Stabilität angewendet werden kann, im Gegensatz zur Ansicht, dass eine solche Anwendung nicht möglich ist. Zum Schluss werden einige angenäherte Lösungen des Beckschen Problems angeführt und verglichen, um die Begriffe zu erklären, die am Anfang dieser Arbeit dargestellt wurden.     

On thermomechanics of elastic stability

Zusammenfassung Es wird die Thermomechanik des Stabilitätsphenomens elastischer Körper unter äusseren Belastungen betrachtet, welche auf beliebige Weise von der Deformation und der Bewegung benachbarter Materialbereiche, an denen sie angreifen, abhängen können; diese Kräfte werden bewegungsabhängige Belastungen genannt. Eine allgemeine Ungleichung, welche für alle Materialien unter bewegungsabhängigen Belastungen gilt, wird mittels der Erhaltungssätze und der Entropiebilanz hergeleitet; diese Ungleichung wird auf elastische Körper, welche jedoch noch Energie auf allgemeine Weise dissipieren können, spezialisiert. Mittels einer Energienorm werden hinreichende Bedingungen für die örtliche Stabilität endlich deformierter Gleichgewichtskonfigurationen solcher Körper und gewisse notwendige Bedingungen hergeleitet. Schliesslich wird das allgemeine (nicht notwendig lokale) Problem der Stabilität eines Gleichgewichtszustandes kurz untersucht und gewisse in diesem Zusammenhang notwendige und hinreichende Bedingungen werden diskutiert.

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Dedicated to Professor Ziegler on his sixtieth birthday

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This research was supported by the National Science Foundation under Grant GK-10161.     

Laminar plane jet in a gas medium

The effects of compressibility on a laminar plane jet are investigated. First, assuming that the viscosity is directly proportional to the enthalpy it is found that the similarity solutions both for momentum and energy equations exist. By a proper transformation of the similarity variable, the energy equation, in the case of viscous heating, is reduced to a hypergeometric equation and solutions for arbitrary Prandtl number are obtained. Secondly, taking the Prandtl number of the fluid as unity and a power law for the dependence of viscosity on enthalpy the velocity distribution is obtained with the help of Crocco's integral.

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Zusammenfassung Der Einfluss der Kompressibilität auf einer ebenen laminaren Strahl wird untersucht. Zunächst wird unter der Annahme, dass Zähigkeit und Enthalpie einander proportional sind, gefunden, dass sowohl die Impulsgleichung als auch die Energiegleichung Aehnlichkeitslösungen haben. Im Falle der Erwärmung durch Dissipation wird die Energiegleichung durch eine geeignete Transformation der Aehnlichkeitsvariablen auf eine hypergeometrische Differentialgleichung reduziert, und Lösungen für beliebige Prandtl-Zahlen werden bestimmt. Im Falle, dass zwischen Zähigkeit und Enthalpie ein Potenzgesetz herrscht, wird für die Prandtl-Zahl1 die Geschwindigkeitsverteilung mit Hilfe von Crocco's Integral erhalten.

     

On a class of solutions in plane finite elasticity

Zusammenfassung Es werden endliche elastische Deformationen bei ebenen Verzerrungszuständen betrachtet, in welchen die Spannungen nur vom Azimut abhängen. Der allgemeine Charakter der Deformationen wird für inkompressible isotrope Materialien diskutiert; insbesondere werden zwei partikuläre Lösungen aufgestellt, die für alle Formen der Verzerrungsenergie gültig sind. Die Lösungen der ersten Klasse sind die erwarteten homogenen Deformationen, während diejenigen der zweiten Klasse in rotatorischen, von einem einzigen Parameter abhängigen Verformungen bestehen. Es wird die Lösung von Randwertproblemen für die Spannungen bei keilförmigen Gebieten im einzelnen für ein Mooney-Material untersucht und dabei gezeigt, dass gewisse besondere Eigenschaften der infinitesimalen Theorie auch in der nichtlinearen auftreten.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National Science Foundation.     

On growth properties of solutions of the saffman dusty gas model

Summary In this work an examination of the Saffman model for the flow of a dusty gas in a bounded region is conducted. In particular growth properties of the solutions to the nonlinear equations of motion for the model will be studied using energy and logarithmic convexity arguments.

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Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird die Wachstumsfrage von Lösungen des Saffmanschen Modelles für die Strömung eines staubgefüllten Gases mit Hilfe von Methoden der Energie und der logarithmischen Konvexität geprüft.

     

The method of the kernel function in the theory of elastic plates

Zusammenfassung Diese Arbeit befasst sich mit der Anwendung der Bergmanschen Methode der Kernelfunktion auf die Probleme der Statik dünner elastischer Platten. Die Bergmansche Methode besteht im wesentlichen aus 1) der Erzeugung eines vollständigen Satzes partikulärer Lösungen der Differentialgleichung, 2) der Orthogonalisierung dieses Satzes in einem geeigneten Sinne und 3) der Approximation der Lösung von den gegebenen Randwerten aus durch lineare Kombination der Orthogonalfunktionen. Mit Hilfe dieser Methode werden die Durchbiegungen und Randmomente einer Halbkreisplatte mit eingespanntem Rand für gleichmässig verteilte und linear veränderliche Vollbelastung gefunden und mit den Ergebnissen einer anderen Untersuchung verglichen.

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This work was sponsored partly by the Southwest Research Institute, San Antonio, Texas, and partly by the National Bureau of Standards, Washington, D. C.     

Buoyancy driven instabilities in rotating layers with parallel axis of rotation

Summary The stability of fluid flow in the gap between two co-axial cylinders kept at different temperatures is considered in the case when the configuration is rotating rigidly about its vertical axis of symmetry. Instabilities in the form of baroclinic waves and thermal convection driven by centrifugal buoyancy have long been studied experimentally and theoretically for this configuration. It is shown that there is still another mechanism of instability which can be isolated in the limit of large Prandtl numbers. Rolls slightly inclined with respect to the axis of rotation convert potential energy into kinetic energy of motion and viscous dissipation. Another simple solution of the stability problem is obtained in the low Prandtl number limit where a shear flow instability akin to the Taylor vortex mechanism is realized.

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Zusammenfassung Die Stabilität der Strömung im Zwischenraum zwischen zwei ko-axialen Zylindern, die auf verschiedenen Temperaturen gehalten werden, wird betrachtet in dem Fall, wenn die Konfiguration um ihre vertikale Symmetrieachse starr rotiert. Instabilitäten in der Form von baroklinen Wellen und thermische Konvektion angetrieben durch den zentrifugalen Auftrieb sind für diese Konfiguration Scit langem experimentell und theoretisch untersucht worden. Es wird gezeigt, daß ein weiterer Instabilitätsmechanismus existiert, der im Fall großer Prandtlzahlen isoliert werden kann. Rollen, die bezüglich der Rotationsachse leicht geneigt sind, wandeln potentielle Energie um in kinetische Energie der Bewegung und viskose Dissipation. Eine andere einfache Lösung des Stabilitätsproblems bekommt man im Limes kleiner Prandtlzahlen, wobei eine dem Taylorwirbel-Mechanismus ähnliche Scherströmungsin-stabilität realisiert wird.

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Herrn Professor Klaus Kirchgässner zum 60. Geburstag gewidmet