圆锥曲线主轴上点的一种配对性

本文称圆锥曲线焦点所在的对称轴为主轴 ,并阐明主轴上点的一种配对关系 .设圆锥曲线Γ的离心率为 e,一个焦点为 F,主轴为 l,在 l上距 F较近的顶点为 O.定理　设 M、N为 l上满足关系　　 1OM 1ON=1 - eOF (* )的两点 ,则对Γ的过点 M的任一弦 AB(A、B为弦的端点 ) ,l平分直线     

圆锥曲线的割线的性质

如果一条直线与圆锥曲线有两个公共点,我们称该直线为圆锥曲线的一条割线,当割线的斜率不为零时,它必与主轴所在直线(x轴)相交.下面以椭圆为例探究与割线有关的一些数学问题.引例过椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)作直线l交椭圆于P、Q两点,Q′是Q关于x轴的对称点(Q′与P不重合),直线PQ′交x轴于点M.则图1(1)PFFQ=M PMQ;′(2)点M为定点(-2ac,0).(1)证法1如图1,连结MQ,易知得等腰△MQQ,′∴M F平分∠QMQ.′由角平分线性质定理可得M P MQ=PF FQ,又MQ=MQ′,∴M P MQ′=PF FQ,所以PFFQ=M PMQ.′证法2设QQ′与x轴…     

“圆锥曲线动弦的一个性质”的再探讨

文 [1 ]给出了圆锥曲线动弦的一条性质 ,我们把它记为命题 1　设P为一圆锥曲线上的一个定点 ,α1,α2 分别是曲线的任两条动弦PA ,PB的倾斜角 ,若条件( 1 )tanα1·tanα2 =定值 ,( 2 )tanα1+tanα2 =定值 ,( 3)α1+α2 =定值中有一个成立 ,则直线AB过定点或定向 .本文将这一命题引申到P(x0 ,y0 )为不在圆锥曲线上的情形 ,再给出一个统一的证明 ,为此 ,我们先证明 :命题 2　设P为一定点 ,过P引直线交圆锥曲线Γ于M ,N两点 ,则曲线Γ的动弦MN的中点轨迹是一条过P点的圆锥曲线 (或者是曲线的一部分 ) ,它与原曲线Γ具有相同的离心率 ,…     

圆锥曲线涉及切割三角形中线段斜率的一组性质

我们把两边与一圆锥曲线相切而另一边所在直线是它的割线的三角形称为此圆锥曲线的切割三角形.关于标准型圆锥曲线一类特别的切割三角形(一边过圆锥曲线对称轴上一定点)中有关线段的斜率之间的关系,有如下定理中的阐述.     

圆锥曲线的一个几何特征

圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线,不仅有各具特色的定义方法和内涵,而且也有和谐统一的定义规则和性质,而对于作为一个有机整体的圆锥曲线,探求其所具有的共同特征应该是一件非常有意义的事情.本文将给出圆锥曲线的切线、对称轴以及顶点在曲线上的三角形之间的一种特有的联系,其中主要的结论如下.定理　设△ABC的三个顶点在圆锥曲线Γ上,则其两边AB和AC与Γ的一条对称轴夹角相等的充要条件是:边BC和切Γ于点A的直线l与Γ的一条对称轴的夹角相等.显然当A点在Γ的对称轴时,定理成立.而当A点不在Γ的对称轴时,且不妨设Γ在直角坐标系下…     

关于圆锥曲线对称割线切线的几个性质

本文所说的对称割线即为交点在圆锥曲线对称轴上关于该对称轴对称的圆锥曲线的割线；观察图1，它好象一把撑开的伞的骨架的投影图，我们发现：如果过x轴上点N的两条对称割线交椭圆于A，B，C，D四点，直线BC(或直线AD)与x轴交于点M，又过点N的另     

《圆锥曲线焦点弦的一个性质》一文的补充和推广

在文 [1 ]中给出如下结论 :定理 1　设AB ,CD是圆锥曲线过焦点F的两动弦 ,弦端点连线AC ,BD交于点M ,则M的轨迹是圆锥曲线的相应准线 .本文对文 ( 1)的证明做些补充并给出定理1的推广形式 .1　补充在文 [1]中给出的定理 1的证明 ,其实是仅证出点M一定在准线上 ,还应补证 :准线上任意一点M ,都存在过焦点的两条弦AB ,CD使AC ,BD的交点为M .补充如下 :设点M( ρ0 ,θ0 )是圆锥曲线E的准线l:ρcosθ=-p上任意一点 ,过点M做直线AC交E于A( ρ1 ,θ1 ) ,C( ρ2 ,θ2 ) ,延长AF ,CF分别交E于B( ρ1 ′,θ1 π) ,D( ρ2 ′,θ2 π)…     

“合分比定理”在解析几何中的应用

<正>在直线与圆锥曲线的相关问题中,同学们常常采用联立直线与圆锥曲线的方法求解,计算量较大．当直线过圆锥曲线对称轴上的定点时,我们给同学们介绍一种设点的方法以简化计算．结合三点共线及交点在圆锥曲线上,利用合分比定理我们证明了“等角定理”．对于有些问题,在“等角定理”的基础上,我们进一步通过合分比定理得到结论．     

在限定条件下椭圆及抛物线内接梯形存在性的探究

众所周知一条圆锥曲线可将平面划分为两部分,其中含焦点的平面区域可约定为圆锥曲线的内部,不含焦点的平面区域为圆锥曲线的外部.为便于研究,我们约定:若点M(x0,y0)满足x20/a2+y20/b2<1(>1),则称点M是在椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的内(外)部;若点M(x0,y0)满足     

圆锥曲线的割线的斜率及其应用

给出圆锥曲线Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0。若B=0,则可写成Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)它表示对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线;若B≠0,则可通过坐标旋转化成(1)的形式。因此下面只讨论不含xy项的圆锥曲线的割线的斜率。     

双曲线切线的存在性及引向

一、《代换法》引出的问题 程龙同志在《代换法则的一些应用》一文中(见数学通报82年第10期)证明了切点弦定理。 定理叙述如下: “设M(x_0,y_0)是二次曲线C:F(x,y)=0外的一点。那么二次曲线C关于点M的切点弦所在的直线方程是:F′_(x_0,y_0)(x,y)=0”     

读"圆锥曲线的一个优美性质"想到的

文[1]:“圆锥曲线的一个优美性质”,其结论如下:定理1设椭圆E:x2a2 y2b2=1(a>b>0)过定点M(m,n)(m2 n2≠0,m2a2 n2b2≠1)的两直线分别交E于A、B、C、D,则直线AC、BD的交点N在直线l:mxa2 nyb2=1上.定理2设双曲线E:x22a-y2b2=1(a>0,b>0)过定点M(m,n)(m2 n2≠0,m2a2-2nb2≠1)的两直     

化韦达定理“无效”为“有效”的策略

在直线与圆锥曲线相交的综合问题中,常常遇到使用韦达定理后式子无法走向解题目标的情形,即出现韦达定理“无效”的情形.本文中利用韦达定理的内部联系,实施通过变式使用韦达定理来实现降幂和消元的策略,化韦达定理“无效”为“有效”,从而使得问题顺利解决.     

二次曲线的切线两种定义的等价性

众所周知,若直线与椭圆仅有一个交点,则称此直线为椭圆的切线,但这一定义对一般曲线来说可能不成立,即若直线与曲线仅有一个交点,此直线与曲线未必相切,因而平面曲线与直线相切的定义应为:设有曲线C及C上一点M,在C上任取一个异于M的点N,作割线MN,当点N沿曲线C趋向点M时,如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.然而当曲线C为平面二次曲线时我们可以断言这种定义在去掉某些特殊情况时(即直线的方向为二次曲线的非渐近方向且M(x0,y0)不是C的奇点)是等价的.本文将对此结论作出证明.首先考虑直线与二次…     

二阶椭圆型方程于全平面上的解

在全平面 E 上解的表示定理与存在定理,作为这些定理的应用,我们还将讨论方程(1.1)在多连通区域上带位移的联结边值问题的可解性.用 G~+表示平面 E 上的有界 N+1连通区域,其边界Γ是 N+1条约当闭曲线Γ_j(j=0,1,…,N),Γ∈C_x~2,0<μ<1,Γ_0包含Γ_j(j=1,…,N)于其内,Γ_j(j=1,…,N)互相外离,G~-=E-G~+,还把 G~±之并简记为 G,又 G_0~1表示Γ_0的外部区域,G_j~-表示Γ_j     

圆锥曲线间的相互变换

文 [1 ]中给出了圆锥曲线间的几个有趣变换 ,并作了推广 .笔者经过深入研究发现 ,文 [1 ]中的定理还可以进一步推广到更一般的情形 ,而且有趣的是 ,圆锥曲线间可以相互变换 ,由一种圆锥曲线可以生成所有的各种圆锥曲线 .定理 1　设椭圆c:x2a2 +y2b2 =1 (a >b >0 ) ,PP′是c上的垂直于x轴的一条弦 ,M(m ,0 ) ,N(n ,0 )是x轴上的两点 ,设直线PM与P′N的图 1　定理 1图交点Q的轨迹为c′ .则1 )当 (m +n) 2 - 4a2>0时 ,c′为椭圆或圆 ;2 )当 (m +n) 2 - 4a2= 0时 ,c′为抛物线 ;3)当 (m +n) 2 - 4a2<0时 ,c′为双曲线 .证　设P (acost,bsint…     

用“去元留参”法解一类含参不等式

何谓“去元留参”法?概括起来即为:“分离变元求最值,保留参数定范围”,去元留参法的应用主要依据如下定理:若f(0)≥g(x)对一切实数x任M恒成立,     

dpda子类之等价性判定问题

§一.定义及简介定义1.1 设M为dpda,若M只有一个状态,则M为S_0-机,S_0-机由空堆栈所接受的语言称为S_0-语言。S_0-机M若没有∈-rule则称之为S-机,相应的有S-语言。定义1.2 一个dpda M=(Q,∑,Γ,δ,q_0,Z_0,F),若Q=Q_0∪Q_1∪……∪Q_m;Q_i∩Q_j=φi≠j;且对q,q′∈Q,δ(q,α,A)=(q′,α)α∈∑∪{∈},α∈Γ     

圆锥曲线的一个有趣性质及若干推论

圆锥曲线是一类美丽、实用的曲线 ,它有许多内涵丰富、引人入胜的性质 ,本文将笔者在研究圆锥曲线中所得的一点成果 (圆锥曲线的一个有趣性质 )奉献出来与读者共赏 .1　几个结论以下分椭圆、双曲线、抛物线三种情形 ,介绍几个结论 .定理 1　给定椭圆x2a2 + y2b2 =1 (a >b>0 ) ,M(m ,0 ) (m≠ 0 ,m≠±a)是x轴上的一定点 ,直线l:x=a2m,过M任意引一条直线与椭圆交于A ,B两点 ,A ,B在l上的射影分别为A′,B′,在x轴上的射影分别为A″,B″,则｜AA′｜｜AA″｜ =｜BB′｜｜BB″｜.图 1定理 2　给定双曲线 x2a2 - y2b2 =1 (a >0 ,b>0 ) ,其…     

浅议双曲线的“盲区”

在解决与圆锥曲线的弦的中点有关的问题时,常常用到结论:(1)抛物线y2=2px(p<0)的弦的中点不可能到达抛物线y2=2px(p<0)上和其左边的点;(2)椭圆的弦的中点不可能到达椭圆上和椭圆外部.上述两个区域我们暂且称之为“抛物线的盲区”和“椭圆的盲区”.那么“双曲线的盲区”是什么呢?是双曲线两支之间,还是两支之外?由“特殊化思想”发现“双曲线的盲区”既不是双曲线两支之间,也不是两支之外,那么如何找到双曲线的弦的中点的“盲区”?图1我们先来看下面的问题:已知双曲线的方程为ax22-by22=1(a>0,b>0),定点M(p,q)在双曲线与其渐近线围成的区域(…