美国中学数学教材中的函数概念及特点分析

函数是中学数学中的重要概念，同时又是近代数学的重要基础．由于它的意义比较抽象，所以就我国目前中学数学教材来看，所采用的函数定义，基本上还是属于在函数概念的发展史上，第三次扩张的“对应关系”的函数概念．而在美国的数学教材中对函数概念的处理则另辟蹊径，采...     

现代数学思想下的函数概念

一、引言“函数”是数学中最基木也是最重要的概念之一.它反映和刻划了客观物质世界中各种事物的“运动”过程及其相互依赖关系。它的形成和发展经历了漫长的历史过程,是从特殊到一般,从具体到抽象,一步一步地抽象概括得来的。由于函数概念比较抽象,长期以来,为便于教学,把它分为三个阶段,在初中阶段,采用对应关系描述性的函数定义;在高中阶段,则采取映射方式的函数定义;直到大学阶段才给出一般集合上的函数定义。整个过程,战线冗长,占据了大量的教学时间,而且学生对函数概念的认识相当模糊,知其然而不知其所以然,没有真正理解函数的概念。因此.很有必要对中学数学中函数的传统定义方式以及教村结构进行反思。能否另辟捷径,采取另一种方式来给函数下定义,使函数概念更精确、更简洁、更便于教学呢?     

中学数学教材中能否给出曲线渐近线定义

众所周知,现行中学数学教材中没有给出曲线的渐近线的定义.而事实上,从初中数学中学习反比例函数图象的知识起,已经涉及到曲线的渐近线这一概念.但就是到了《全日制普通高级中学教科书(必修)·数学》(第二册·上)中“圆锥曲线”部分,对双曲线的渐近线的定义也是描述性的(见上述     

谈映射概念——中学数学笔谈之十八

映射概念是现代数学中最基本的概念之一.在中学数学教学中引进它是很有好处的,正如高级中学试验课本《数学Ⅰ》(人民教育出版社,1993年版)和全日制普通高级中学教科书(试验本)《数学第一册(上)》”(人民教育出版社,1996年版)中所做的那样.在这两本教材中,映射概念是这样定义的:“设Ａ,Ｂ是两个集合.如果按照某种对应法则ｆ,对于集合Ａ中的任何元素,在集合Ｂ中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应叫做集合Ａ到集合Ｂ的映射,记作ｆ:Ａ→Ｂ.”在给出这个抽象定义之前,两书都先给出了一些具体例子,如ｆ为“开平方”法则、“求平方”法则、“…     

是一般的换元法吗?

复合函数是中学数学中的一种很重要的函数,特别是自1989年在高考题中出现以来,在各类中学数学书刊中时常出现.但由于现行中学数学课本(含新教材)没有给出复合函数的严格的定义,给中学数学教学带来了不少困惑.     

谈谈初等函数的定义

在高等数学或数学分析课教材。主要参考书中都要给出初等函数的定义(中学里已讨论了基本初等函数)。就我所知,关于初等函数的定义,基本上有两种规定方法:一是把它规定为“由基本初等函数经过有限次四则运算与复合步骤所得到的函数”,另一种是把它规定为“由     

说函数（第一课时）

1　教材分析函数是中学数学的主线 ,也是整个高中数学的基础 .在中学教学中 ,函数的教学大致可分为两个阶段 ,第一阶段在初中 ,学生初步掌握了函数的传统定义以及函数的表示法 ,并讨论了一些常见函数 ,对函数有了一定的感性认识 ;第二阶段在高中 ,学生学习了集合、映射等有关概念之后 ,运用集合、对应的思想概括出函数的近代定义 ,让学生掌握函数的实质 ,实现从感性认识到理性认识的飞跃 .函数概念与中学课程的其他内容 (如 :幂指对数函数、三角函数、数列、不等式、方程等 )有着非常密切的联系 .学好函数有关概念 ,是学好上述内容的基础 ,…     

抽象函数的复习

抽象函数是指没有明确给出具体的函数的解析表达式或图象,只是给出一些函数符号及其满足条件的函数,它是中学数学函数部分的难点.在近几年的高考试题中经常出现.这类试题既能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以受到命题者的青睐.     

谈平行概念——中学数学笔谈之一

谈平行概念——中学数学笔谈之一路见可（武汉大学数学系４３００７２）在初中平面几何教材中就已明确定义：“在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线”，那还有什么可谈的呢？且慢，我们来看下面这个定理：“如果两直线都和第三条直线平行，那么这两直线也互相平行...     

中学数学教材中的一一对应与一一映射

“一一对应”这个词广泛出现在中学数学教材和教学之中 .例如 ,代数教材说复数集Ｃ和复平面内所有的点所成集合一一对应 ,又与复平面内所有以原点为起点的向量所成集合一一对应 .解析几何教材中说二元一次方程的解集和直线上所有点的集合一一对应 .在《曲线与方程》一段描述曲线Ｃ上的点与二元方程ｆ(ｘ ,ｙ) =0的实数解的关系 ,其实也就是两个集合之间的一一对应关系 .但是 ,什么是两个集合之间的一一对应 ?似乎高中教材并没有给出明确的定义或说明 .也许认为这是一个直观的、不需要多加说明的概念 ,学生很容易理解 .如果教材中不出现“一…     

热传导方程初边值问题的注记

与一般教材不同的是,不是首先转化问题,而是通过直接运用极值原理,讨论了对热传导方程具第三类初边值问题的解的估计.接下来又通过深入分析一般教材中一端具第二类初边值问题的解的估计中辅助函数的构造,给出了两端都具第二类边界条件的解的估计的实现方法.     

高中新教材中函数概念教学思考

1问题的存在与思考根据过去掌握的教学情况,为了贯彻新教材的基本理念及其对“函数”的教学要求,我抽样调查了高二、高三学生对函数概念的认识及把握情况,结果始料不及:不仅高二,就连高三学生对函数的定义实质大多模糊不清,对于x、y的对应关系,对于问题“y=±2x是否函数”及判断方程y2=4x的曲线是否函数的图像,有过半的学生或答错或不置可否.对简单应用题“求用一条长1米的铁丝折成的矩形的最大面积”,解出率不足70%.函数是中学数学的主要内容之一,函数思想作为基本的数学思想,贯穿于中学数学教学的始终.那么,我们应该怎样从函数概念的重要…     

均衡度公理化定义的改进

研究均衡度概念的公理化定义及其构造问题.首先,借助实例说明现有均衡度定义存在的问题;随后,在分析均衡度概念的特点和典型均衡度函数的图形的基础上,给出一种新的均衡度公理化定义.接着,讨论均衡度函数的构造问题,给出四类常用的均衡度函数,证明了均衡度函数与一类单调函数的复合仍是均衡度.最后,讨论了新的均衡度定义与原定义之间的关系以及四类常见均衡度函数之间的关系.     

复变函数史话

<正> 复变函数中许多术语,如“单值函数”、“多值函数”、“分支”、“支点”、“单叶曲面”、“单连通区域”以及“复变函数”本身,都是黎曼(Riemann)1851年首先开始使用的。单元复变函效的定义是柯西(Cauchy)1821年在他的第一部教材《分析代数教程》中给出的。1825年柯西引进了复变函数的积分定义,并且讨论了形如     

《普通高中课程标准实验教科书(必修)·数学1(A版)》中函数概念的教学分析与建议

函数一直以来都是高中数学教学的重点内容,函数思想也一直贯穿于整个高中数学教学.为此,在人民教育出版社2004年7月出版的《普通高中课程标准实验教科书(必修)·数学1(A版)》(以下简称为(实验教材)对函数概念的教学作了较大幅度的调整.通过实验教材的学习,笔者就自己对实验教材中函数概念的学习体会并结合《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称“新课标”)做一些分析与建议.1注重知识背景“新课标”中指出:“…,考虑到多数高中生的认知特点,为了有助于他们对函数概念本质的理解,不妨从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手,引导…     

谈高中数学“新定义”题型的解题策略

在近几年全国、各省的高考数学命题中,"新定义"问题越来越受到关注和重视.所谓"新定义"问题,是相对于高中教材而言,指在高中教材中不曾出现过的概念、定义.它的一般形式是:由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则,或者给出一个抽象函数的性质等,然后让学生按照这种"新定义"去解决相关的问题."新定义"问题总的来说题型较为新颖,所包含的信息丰富,能较好地考查学生分析问题、解决问题的能力.掌握好下列几种解题的思路与方法,为我们在宏观上把握这类题型提供了思维方向.     

关于First-return积分

给出了定义在单位区间上实值函数的first-return积分的性质及其证明,并用first-return极限概念给出了Baire-1类函数的特征.     

极限与连续性问题

<正> 函数极限的概念,在一般的高等数学教科书中先是引入数列极限的“ε—N”定义。而后给出函数极限的“ε—δ”定义,非常抽象。这既是重点又是难点,往往几经反复才能真正     

应重视初中数学的概念教学

一、强调概念,明确前提“中学数学教学大纲”中指出:“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提”。这里明确指出了掌握数学概念的重要性,教学实践告诉我们:学生解题的错误多来源于概念不清,没有真正     

我校在数学教学中改革教材体系的尝試

北师大师生在党的領导下,首先提出了新的中学数学体系。我們学习了有关北师大九年一貫制教材与省編五五制试用教材后,一致认为以函数为綱,能把旧的算术、代数、几何、三角、解析几何的材料融合在一个系统之中;数形結合正是客观世界的真实反映,足以更深刻地揭露数学本貭,把代数方法与几何方法互相渗透;而概念与計算相結合的教學不仅貫彻了实践—理論—实践的精神,而且也是知识技能熟巧统一的过程。通过一学期以来的教学实践,初步取得一些成績,现将具体做法撮述于后: 一、加强现行数学教材中函数概念的教学,以函数为纲,介紹一些解析几何的初步知识,丰富和补充学生对函数关系的认识,适当提高中学数学水平在初中代数教材中,重视了代数式的引进,并一直把整式、分式的研究联系着多項式函数与分函数。因此在讲述每一个新的恆等变換以后,都回到关于决定这些“有理代数式的值”的练习上去,并将学生們的注意力引向在計算数值的时候,首先按照可能性来簡化