Algebre Booleane e loro struttura interna analitica (funzionale e matriciale) e geometrica (metrica e topologica)

Sunto In un'algebra booleana finita si presenta il fatto nuovo che molte delle strutture in essa costruibili a partire dai suoi elementi, sono intimamente connesse, si da essere aspetti diversi della stessa cosa. Si rileva che funzioni intere (cioè quelle che si ottengono operando su una variabile booleana con le operazioni booleane) matrici, ideali, filtri (e le formazioni più ampie che sono gli intervalli) e classi di equivalenza, mostrano appunto questo allacciamento. Inoltre, ognuna di queste formazioni dà in sostanza origine ad altre algebre booleane o a queste isomorfe, o di queste qiù ampie. Quindi, in un certo senso, il campo booleano è completo, riproducendosi in sè per quasi tutte le strutture in esso fattibili. Ma vi è di piu. Se nella formulazione del concetto di misura si abbandona l'idea del numero, quale ? misura di estensione ?, riesce possibile stabilire un concetto di ? di stanza booleana ? di due elementi booleani, la quale soddisfi alla fondamentale relazione triangolare e alla condizione di annullarsi quando e solo quando gli elementi coincidono. Potremo perciò parlare di una metrica intrinseca di un'algebra diBoole; e attraverso opportune definizioni si può estendere questa metrica anche ad aggruppamenti di tre o quattro o più elementi. Ma definita che sia questa metrica ? interna ? viene anche definita, oltre la struttura algebrica, e quella di geometria metrica, una struttura topologica interna. Ed è appunto quanto esprimiamo im questo lavoro, ricollegandoci ad altri precedenti (*) A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico     

Korovkin-type theorems for positive functionals in spaces of continuous affine functions

Si stabiliscono dei risultati concernenti la convergenza di reti di forme lineari positive verso una prefissata forma lineare positiva nel contesto di spazi di funzioni continue ed affini definite su un insieme convesso compatto. Si presentano degli esempi e delle applicazioni in spazi di funzioni continue, inC ^*-algebre di operatori su spazi di Hilbert e in spazi di Banach reticolati.     

m-functions and Floquet exponents for linear differential systems

Sunto Si definisce un esponente di Floquet per certe equazioni differenziali lineari nonperiodiche, la parte immaginaria del quale rappresenta una «rotazione» delle soluzioni di dette equazioni. Inoltre si discute la relazione fra l'esponente di Floquet e le funzioni m di Weyl-Kodaira, e fra la rotazione e certi problemi spettrali.

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The author would like to thank Dr. RichardCushman for stimulating conversations on the subjects considered in this paper.     

Iperpiani ad inflessione di poligoni

Sunto Si definiscono iperpiani ad inflessione di poligoni dello spazio reale proiettivo L_n di dimensione n e si dànno relazioni fra queste singolarità e gli spazi osculatori dei poligoni. Come applicazione dei risultati si dimostra che esiste un poligono unico d'ordine n i cui vertici sono n + 3 punti dati in posizione generica in L_n. Alla memoria di Guido Castelnuovo, nel primo centenario della nascita.     

L'indicatrice proiettiva dei funzionali lineari e i predotti funzionali proiettivi

Sunto. Poichè le funzioni di più variabili complesse presentano particolarità profondamente differenti da quelle di una variabile, si studiano i funzionali analitici lineari delle funzioni di più variabili mediante la loro ? indicatrice proiettiva ?, specialmente adatta a metterne in luce le più intime proprietà. Il valore del funzionale lineare per una funzioney viene così espresso mediante una nuova formazione (il ? prodotto funzionale proiettivo ? dell'indicatrice proiettivap per la funzioney variabile indipendente), la quale dipende bilinearmente e simmetricamente dalle due funzioni, e inoltre gode della notevole proprietà di restare invariata di fronte a tutte le coppie di trasformazioni proiettive duali che si effettuino contemporaneamente nei due spazi ove le due funzioni sono rispettivamente definite. Si mostra poi come il prodotto funzionale proiettivo possa calcolarsi, nel caso che le funzioni si decompongano in fattori, e infine si studiano alcuni operatori lineari (? monovalenti ?) e alcuni funzionali lineari (? abeloidi ?) particolarmente interessanti. Questi funzionali abeloidi, caratterizzati dal fatto di avere indicatrice proiettiva razionale, si calcolano infatti mediante integrali abeliani multipli e permettono l'integrazione di quasi tutte le equazioni a derivate parziali della fisica matematica (di quelle lineari e a coefficienti costanti). L'argomento di questa Memoria è stato sviluppato in una parte del mio corso di Alta Analisi del 1940–41, presso il Reale Istituto Nazionale di Alta Matematica.     

Soluzioni quasi-periodiche,o limitate,di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici,o limitati

Sunto Si dimostra, per i sistemi quasi-periodici non lineari, un teorema di esistenza di soluzioni quasi-periodiche, estendendo un risultato diJ. Favard, relativo ai sistemi lineari. Successivamente si studia il comportamento asintotico degli integrali dell'equazione X″ = − AX − φ(X′) + F(t), tipica nella teoria delle oscillazioni non lineari, con un numero qualsiasi di gradi di libertà, supponendo la funzione F(t) limitata, o quasiperiodica. Si ottiene così, tra l'altro, una applicazione del teorema di esistenza precedentemente provato. A Mauro Picone nel suo 70^mo compleanno. Istituto Matematico del Politecnico di Milano.     

Descrizioni geometriche sintetiche di geometrie proiettive con caratteristicap >0

Sunto è ben noto che, per gli spazi proiettivi basati sopra un corpo commutativo, vale il teorema di Pappo e che, viceversa, per mezzo di questo teorema tali spazi possono essere coordinatizzati con un corpo commutativo K. Il teorema di Fano ci dice quando K non può essere di caratteristica p=2. Un altro teorema è: In piani proiettivi sopra corpi K con p=2, e soltanto in questi, si ha che: Le tangenti d'una conica, costruita nel modo sintetico consueto, passano per un punto fisso. Teoremi del genere per p ≠2 sembrano mancare finora, ma sono necessari per una costruzione pure sintetica della geometria algebrica. Il lavoro seguente conterrà siffatti teoremi. Entrata in Redazione il 14 giugno 1976.     

Gelfand spaces and pseudodifferential operators of infinite order in ℝn

The aim of this work is to study a class of symbols of infinite order and to develop a global calculus for the corresponding pseudodifferential operators. In particular, we obtain results of boundedness for the operators and of global regularity for the solutions of the associated equations in the Gelfand spaces.

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Sunto Lo scopo di questo lavoro è studiare una classe di simboli di ordine infinito e sviluppare un calcolo globale per gli operatori pseudodifferenziali corrispondenti. In particolare, otteniamo risultati di continuità per gli operatori e di regolarità globale per le soluzioni delle equazioni associate negli spazi di Gelfand.