无字的证明四则

1 sin(2九十l)0一sin()十Zsino义c璐2功皿创.口2一口.‘皿目的口里口,肠.口日泣.莽二拼几州—卜—州2,+2十…十,一冬、(,+1) 乙13十23+…十沪=(喜。(。+l)): 乙{“{:艺X盆一3 x3,推夏.x二.(.+1夕3交错平方和一三角数,‘2一(。一l)2十…十(一l)一‘(l)2 门__凡,,_1、。‘二_,.、2一—‘一J、lj、,,几j— 杏日(,,)(召十1) 2撰一尸4·个反止切恒等式和一个反止切级数},一2寸,草+一”l户尸,孟,,.J匕‘‘r‘I司l一 甲1 .中卜生一护+n宁丫.,泞一·一︻宁几!!!N口)亡-叫1一t nZ净告)、l.厂、二一, ,、习井.。aretan粗十are扭n 1护十升十1~arctan…     

一道习题的联想与再推广

〔原命题〕已知。·b·c=l,且。b+。+1共。,则: a .be几-下一.一犷一丁十不一甲了一下二十一一:一一~甲~了=口O十口十1 OC+O十1 CO十C十1 这是一道有关初中数学竞赛资料中常有的一题,它的证明技巧胜很强.学)91年1期《一道习题的推广及应用》一文,把该题推广为如下命题: (.)浙江《中学教研》(数[推广I]若Ilx,一,,且f(k)二x*:*·,…x·x:xZ一x卜:+‘*x。·,…x·‘,xZ”’‘,一,+“’劣杯‘·‘+二‘+1(j(k)笋0)则:艺漏一,拓二l-L推广11」若兀,,=A护0,_且f(l)二x,xZ…二。一,+x lx2…z,一:+一+二,:2+,.+l,f〔k)=二.公.,,…之,劣:才:…x,…     

一道征解题的推广

《中学数学有这样一道题:1034年第3;件门题与解答栏中设(1十x工:).二ao+a lx一{a:x名+…+a:。x“口,吐明a。=aZ一{一a,一:一a一i-a3十ae+…二al一!一a一+a,+,二…=3一1。现在我们将其推,’‘到一般清形:设(l一x一。x么又卜文).二‘。一卜a lx+a:x“+…+a:(、_,)工.(“),则a。+a‘·”二al+ak+1十a么k+1十,·‘二’·‘二ak_1十一,,a:七十a zk_l+a:、_:十…=k一‘.这.里n,幻寸自然数,且k》乳 证明:一戊们知达x“=l的k..根为eos(2敝/k)十葱5 in(2二兀厂k)(m=0,1,2,…,k一1入如呆记., 弓=‘o:(’二/k)一卜1 51”(见二/k), 则cos(几一,:二,k)一…     

一个与一元二次方程有关的递推式及其应用

因为。、b是一元二次方程护一(。十b):十动~0的两个根,设S。一a0十b0,S,一。 b,则 吕2二。2 乙2,月2一(a b)51 ab月。~0 名。=a3十乙3,53一(a 乙)82 汕S,~0 5.~a’十b’,S。一(a b)S.一‘十动价一:二0即有当、)2时,有递推式S一(a b)S一, ab^9一2一0(,) 因为递推式由一元二次方程推出,结果又与一元二次方程极其类似,所以它与一元二次方程同样有较大用途,下举数例说明. 例l若,,‘,=,,‘ l,。’一。 l、且,,‘共、,则1,l” 沪一(江苏省第四届初中数学竞赛试题). 解由,,‘,~,,‘ l,、,=n l,且,,‘护n知:1。,、是一元二次方程二,一二一1一0的…     

证明不等式的“逐步调整法”

由k个数组成的数组::,x:,…,‘k,平均数。=令(二1十x名十…十轰、),各数与平均数口的差的平方和S二(x:一。)“+(x:一。)“+…‘(x、一a)“=砖+对+二‘成一ka“. 刘数组作如下调整:以x,、、:的平均数==S一(x萝十砖)十远之全犷 4娜些过工必 4义互+义z 2代粼,介,以=小迎言业x’i=s一住三卫运犷 2;S:=x,l‘2十:,z’2十二十:,x’’一去。“s,一电立兰逻 25一士〔(二:一:2)“+(x二一:二)忿〕,劣。(‘钾1,2),得到数组(1)x’l,式,一,八;依次类推,可得 S。二S一士〔(x,一x:)“+(x二一乙)2+…十再以,二、:沈平均数丛粤丝代换:;,;:,记 乙(二盖“一’)…     

吉林大学一九八四年硕士研究生入学试题

J目.J.J不‘孟‘‘斌.,,邵汤气r日了梦孙、叮弓七』:卜.J今JJ‘2〔一’考虑边值问题 g:,,,口“子_‘。八口“u、口f,,.八口u、._,__、__,,__、 龟去‘二贡t乞气叭万)介方一j一兰一lb〔x)芒井}+c‘二):=厂(x),0蕊x(l, 1口x‘\口x‘,口x\口x/ 才‘,_日U_。、,,,_八1 了“二卫二一“O。当x=0 .1。 又口x‘一‘这里a(x)任C“(〔0,l」),西(x)任C‘(〔0,l]),C(x扩(x)任C“(巨0,l〕),a(x))a。>0,。。几级一‘数,b(x),c(x))0.试给出并证明和它相应的极小位能原理.(20分)二、试确定求积公式 J{。,‘X)dX澎‘{·,(一,卜。,(。卜·,(、)}中的系数…     

线性规划的新解法

号1准备工作在展开线性规划问题的新解法的讨论之前,先将要用到的工具,提前说明或证明出来。引理1在E·中,任意。十1个矢量日,武…尿 .有下述代数恒等式成立:艺(一l)‘〔a.,一,今~咔及2…在k_‘a*,a* .,…a。十t〕a*“0换言之其中:当〔a、,aZ…a。〕手。时,有a。,.“艺j,a,占*=(一l)二〔鼠,矶,a卜‘,a‘-武、:…砚 :〕/〔拭,矶,…斌(证明略去)在E”中,矢量斌,·澎构成一个n阶矩阵,记为:口一,口之一alZ,…a.。CZ之,一aZ,(a,,aZ,a,l,a.2一‘”a。,这里a‘- 当斌 口,。)a。是尸卜独立矢量时有且必有det(鼠,矶,…,武)羊。. 竹. ‘..a。 , 自…     

關於單葉函數的偏差定理

毅奇函教叔约=C十艺。。C一2“’在co>}C}>1内是正4lJ且翠案.戈鲁泽「王]、夏道行「21曾覆明镇}氢客式‘’og以匕)一F(C:’) 匕一C了 匕+吠尸(C二)+F(C二,)(艺:二补1oz乙,+1孔,一1艺:了衫(1),一v诊=1,__己己+lIUg一二万屯万厂一二尸, ‘v‘,,一1匕一匕喀客‘厂‘ogF(C二),一r(乙了), 打一C份2《、、,/ 一住,拼,砰t=l_,,/,1、Y二“09、‘一,音万万万少、艺刃衫l,,‘=1乙份乙(2) 下.艺 成1艺一‘·丫”。gI卜.v=1卫义力一F(乙,) 乙,一二 C,+CvF(C,)+F(C,)l。。(;-}、《艺a,,·下二下·109C,万,+1乳乙一l(3)”,v=l艺a,,,丫二丫,l。g…     

調和級数之和

十1一a定理 1a一卜汀+三、一_ “汁一艺汪十一十na,‘一,+(,,一1)S,a,,一Zd+(,‘一卜丽石:认,一2、S,田‘一3沪十二 a(a卜1+Sla一竺d一卜十(n一:十1)Sr一1 an一尸dl’一1十…凡砂一“砂+…十2又:一。a动乙一2+况:一1岔1一l+sr一:a“一r产一‘十…十戈:一:a砂卜“十况:一1才‘一‘)(1)(共中:n为硕数;51表示(a十的(a+2哟…〔a十(。一1)司中第二项砂一Zd之系数,凡表示第三项an一”尹之系数…).征川数学归钠法:当n~1等式(1)的左端-右端一生.所以等式(1)成立.假毅n“人时1 1 .1—十—十一二一叹几aa十d卒十艺比十…十 1a十(k一1)d人a无一1+(左…     

一类反应-扩散方程解的 Blow up

本文讨论如下的问题(A)的光滑解的川。w up问题:一燕最(一(·,箭一+,)1。。一0,)+‘(“,,“x‘。,T,, “一夕如一a,[a仿(A)“(x,t)},.~。.(二).其中。是砂中的有界区域,其边界。口适当光滑.钧(幻~价,(幻是口上的连续函数.对实的夸一(乡,…,‘),有习、igl夸,),艺}条}’,!>0. 。,、L*。一一。。口“2,足笨法戏力l川,冈J灭一 O公一习a‘,口“,、。、~,。、。,、‘.、上一:丁一称、,月~气月1,.’.,月.)龙0“阴早征夕卜法l叫。oxi口〕04期邓聚成:一类反应一扩散方程解的BlowuP 由于Blow叩问题有一定的实际意义,所以引起不少作者进行研究.但他…     

第三届全国中学生数学冬令营试题及解答

把③代入上式,得信厅〕l即艺厅)l由④{‘为得玄 “1由柯西不等式中,⑤r卢二l当且仅当二二 赴一二::必一二时, 龟人 一一八一a,, 一一 一一。一。 一一n一al 第一天(1988年元月22日) ‘一、设“.,必,…,。。是给定的不全为。的实数,。,九,…,。是实数,如果不等式 。(x,一a:)+。(赴一。)+…+。(x,一a.) ‘丫二行+二孑+…+二孑一了。了+。了+…+。矛时任何实数x:,力,…,石成立,求。,。,…,。的值。 解:令x二0(i=l,2,…,n) 则一(。al+乃.+一+。a。) ‘一了“产+“孑+.二+。:等号成立. 故令.。二又。(k=。。,舀时①把上式代入③,得风艺 令x,户“:…     

e的各种连分数表达式

引理1如果}a。{乒z(n=1,2,…),则有一1-+工十…+卫一十a 22a Zff一x…二二一一a 12_…(1) .口l证设一利用一l 口l千口么 1 Gf+l 1 口. 1a,+b, :、1Q二(i=注,2扒”al+aZ)安则外二叮一二,:认而请a么+aa as+a,+1了a。一x+a:1一内王a么ax一’价.么一a未a盆+a之夕乃al+处怨J2 ,︸如以aQ土a。*一,一=一1+一共一卜 a‘宁O,!尹’ 0.毛一一二幸勺.-a,扩节花,十q:曰声卫‘_ 口备 a 12a:+42暇+05含.尸声一般地,+一里一十.,.+01a,a.=二__一华生一 。,d:扩取二:.二吐红 卜,一磷十a.。丫{“·‘)l,上边产碑 在(z)中取a=知!,、当叭军吐吟举则有居卜 1 仁…     

用富里埃级数的正的线性和迫近连续函数

设f(,)是以2二为周期的连续周期函数,记作f〔q,.以。(f,:)表示了(x)的连续性模.如果实数的三角行列又+={又,,、I交一1,2,…,n;又n,。~0;移~1,2,…满足条件1+2艺‘。,,eos友劣)0(,~l,2,…),则称 u,(f,x,又+)为少(幻的富里埃级数艺又。,*(a,eos友x+b*sin左x)(,一l,2,…)+a0一2 一一f(二)一粤+又(a,。05天二+占、sin天x) 艺元百玉(1)的正的线性和.我们称A言 max Iv。(f,x,又+)一f(二)l~乎p I七C,,[r万、 .、I,一) \刀/是犷的迫近系数.固定n,迫近系数A言是适合,U·(‘,一“,一,(·,,‘M二(,,~1,2,…)二、 n/而与f无关的最小的数M”. 利用【3…     

第十八届美国数学奥林匹克试题与解

对于每一个正整数:,.定义 。二1 .1 .1S。=1+.令+令十…十,土. ‘气·一’2,3”n’饥=S:十召2十S:十…+S益_Tl 2卜臀价+.二+,登 户卜 邓声U试求使T,,屯。,”a改:。s。一b和Ul。。。二e习:。8,一d几o相似文献   

又一个对数换底公式

设N,>0,a‘>o,a‘笋l(i二1,2,…刀),b、,bZ,…,b。是a,,a:,…,a。的任一排列,则: 1 09。、N 1 1 09。2 NZ’“’1 09。.N。一10“。、N,10“,2N2.‘’10“,.N,(浓) 证明:因b,,bZ,…,b。是a,,“2,一,“,的任一排列,故:l:a,loaZ…loa.一lgb,lgbZ…仅b,这样(浓)式左边 lgN]19无方lgN。一lga x lgaZ“’lga。二右边. 公式(浓)表明:几个对数相乘,任意交换它们的底数,其积不变.计算‘·g:矗‘·93音‘口、,;原式=10只,,·92告lo;3杳例解一10955一210922一310933一2‘二(一2)(一3)(一2)二一12gfJZ计算10、。910:2,4910:,25109。2·解:原式一…     

关于L~1收敛的若干定理

引言设S。(x)=习akeo。欠:,D。(x)=生+2艺eos欠x,“(.’’(x)=击燕“兮’‘x),其中 斗氏一2s梦,(x)==艺七’ak 西.备0,e。,(、二十华),当s。(x)收敛时;己其极限为,(x),假如存在。>。,使 、乙/”一口”、les.…l甘.lse、.flwelesesl.esl沙BV一,)那末称数列(q户是拟单调的。对r=卜,:客“·,么一,相似文献   

第五届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答

第一天 (1990年l月12日8:30一13:30) 一、如图,在凸四i互形月刀CD中,.4刀与CD不平行,圆O、过,4声目.与边CD相切于P,圆O:过C、D且与边月刀相切于Q,圆O:与圆O:相交于刀、厂。求证:石尸平分线段尸口的充分<令(附一刀d)(,Ic一耐)二0、艺一:(显然了、·“,·必要条件是刀C犷通D. 证:如图,设尸Q与石F相交于K,延长PQ交圆O孟于P,,延长口p交圆口2于口,,则刃K·K尸二尸人{.K尸, 二口K·K口,(1) <卜今,.J.O沙刀C 二、设二是一个白然数,若一串自然数厂。=l,x:、二2、…,二,一,,、‘二x,亨两足:‘一,<:‘,二‘一:J:‘,i=l,2,…,l,则称{二。…     

北京市一九九0年高一数学竞赛复试试题及解答

一、(满分30分)填空题 1.若(3二一l)7=a7:, aoz凡 a拼‘ a.:‘十。,x, aZ:2 a:: 。:。求a。 a: a; a。”? 2.已知f(二)=x, (lga 2) :十18乙且f(一l)二一2,又了(二))2:又寸一节:任R都成立。求。十乙一? 3.二平行平面a与声问的距离为8。线段汉’二a,线段仪’二刀.若A刀~8,CD一10.1劝一戎’一6.求异面直线月刀与cD之间的距离。 4.设1990一2‘. 2。: …十2。、,其中a.,a,,…,a.为彼此两两不等的非负整数,求a,十a,一十… a一? 5.已知(:· 。)·与(二· t)(酝· I)恒等。(其中1;‘、,。均为正整数)求}。十乙 日二? 二、(满分15分)设平面a与刀相…     

S·N·Bernstein型插值算子的收敛阶

设二*一。o,丝,、一石万,为第二类Chebyshev多项式(l一x’)认(x)的零点,以《x*}为插值结点的B。习stein型插值算子为)1一41一4114X一一二=只(f,肠(x)俨,(x)俨*(x)=艺f(x*)俨*(x) k~O(2 1.,(x) l,(x))(21。(x) 21,(x) l:(x))(l*、(x) 21*(x) l*、(x)),k=2,n一2毋一‘x’一寺〔‘·、‘x’ “l一‘x’ “‘·‘x”,·‘x’一寺“一(x’ 2‘·‘x,,乙(x)-l*(x)=犷。(x)(x)=(一1)”衬Zn(x一l) V. 厂。(x)Zn(工十1(一1)k衬(x)k=l,n一ln(x一x*) ‘....,,、.....、‘......老...t中中其其犷,(x)二(l一尸)u。(x),l、(x)称为Lagmllge插值基函数. …     

高等数学选登

一”悠(,十劲”存在性证明\/“’a““’“”‘’毛山十向十’”咔一‘+七 那十l〔广州师院张映东,安徽铜凌四中张晓铭分别供稿)利用不等式(a‘李0)并令‘二。、,b=,:二a:““一‘十、,可得翻+1丫,丁‘竺土竺色“口“~邢十1(1) 2”_2”一2_”一IJ由(1一A)有In”=In一万一多2不反了二2石耳一i吸件(1一E)从而用。二l以及b“1十上代入(1),就知为自然数。.丫(‘+劲”(1+告)”簇(,毛丝生卫邪十l 1=1+不百-r.一)”“”=1时等号成立)艺In*)2艺些二卫左+1h=1k=1”十这说明/。一(1+勃”是单调上升且递增的, r二,:、、即’n(川)多2}山_、‘一石飞/!…