具有最大控制数的连通图的刻画

设Ｇ为一个Ｐ阶图,γ（Ｇ）表示Ｇ的控制数．显然γ（Ｇ）≤［ｐ／２］．本文的目的是刻画达到这个上界的连通图．主要结果：（１）当ｐ为偶数时,γ（Ｇ）＝ｐ／２当且仅当Ｇ≈C₄或者Ｇ为某连通图的冠;（２）当ｐ为奇数时,γ（Ｇ）＝(p-1)/2当且仅当Ｇ的每棵生成树为定理３．１中所示的两类树之一．     

边剖分、点扩张与图的最大亏格的可约性

设γM（G）是连通图G=（V，E）的最大亏格，记EM^-（G）={e∈E(G)|G\e连通，且γM（G\e）=γM（G）}。若EM^-(G)≠0，则称G是γ（G）-可约的；否则称G是γM（G）-不可约的。本文证明了边的剖分不改变图的最大亏格可约性，点的扩张不改变上可嵌入图的最大亏格可约性；并给出了两类满足EM^-（G）=E（G）的非4-边连通图。     

图的{P4}——分解

一个图G的路分解是指一路集合使得G的每条边恰好出现在其中一条路上．记Pl长度为l-1的路，如果G能够分解成若干个Pl，则称G存在{Pl}——分解，关于图的给定长路分解问题主要结果有：（i）连通图G存在{P3}-分解当且仅当G有偶数条边（见[1]）；（ii）连通图G存在{P3，P4}-分解当且仅当G不是C3和奇树，这里C3的长度为3的圈而奇树是所有顶点皆度数为奇数的树（见[3]）．本文讨论了3正则图的{P4}--分解情况，并构造证明了边数为3k（k∈Z且k≥2）的完全图Kn和完全二部图Kr,s存在{P4}-分解.     

连通的欧拉生成子图

本文证明了：若G是一个p顶点的、2－边－连通简单图，其边数，q≥(p-4↑ 2) 7，则除K2，5外，G有连通的欧拉生成子图。当q=(p-r↑ 2）＋6和κ′（G）＝2时，本文给出了全部6个极图。     

p阶临界2-边连通图的最大边数

设G=(V,E)是2-边连通图,若对每个点v∈V,G-v不是2-边连通图,则称G是临界2-边连通图. 本文证明了p阶临界2-边连通图的最大边数是 7, P=6; (1/8)(P~2+4p) p=0(mod 4); f(p)= (1/8)(P~2+2p+13) p=1(mod 4); (1/8)(P~2+28) p=(2mod 4),p≠6 (1/8)(P~2+2p+9) p=3(mod 4)。并且给出了达到最大边数的极值图.     

4p阶三度点传递图

一个图称为点传递图或对称图如果它的自同构群分别在点集或点集有序对上传递.设P为素数,给出了4p阶连通三度点传递图分类(徐明曜等在[Chin.Ann.Math.,2004,25B(4):545-554]中分类了4p阶连通三度对称图).确定了4p阶互不同构的连通三度点传递图的个数f(4p);当P=2,3,5,7时,f(4p)分别为2,4,8,6;当P≥11且4|(p-1)时,f(4p)=5+p-3/2,当P≥11且4|(p-1)时,f(4p)=3+p-3/2.     

局部连通图的群Z_3-连通性

本文研究了局部连通图的群连通性的问题.利用不断收缩非平凡Z_3-连通子图的方法,在G是3-边连通且局部连通的无爪无沙漏图的情况下,获得了G不是群Z_3-连通的当且仅当G是K_4或W_5.推广了当G是2-边连通且局部3-边连通时,G是群Z_3-连通的这个结果.     

图Gn的优美表示

将给出三个结果：（i）如果图G是SZ（｜S｜=n≥2）上的整数和图,那么0∈S当且仅当图G至少有一个（n-1）度顶点;（ii）图G（G≠K2）是至少有两个零点的整数和图当且仅当G■K2·Gn;（iii）设图G（G≠K2）是SZ上的整数和图,｜S｜=n＋2,n∈N＋.若图G至少有两个零点,则S={mx｜m=-1,0,1,2,…,n;x∈Z且x≠0}.     

图是超限制性边连通的充分条件

设G=（V,E）是连通图.边集S E是一个限制性边割,如果G-S是不连通的且G—S的每个分支至少有两个点.G的限制性连通度λ＇（G）是G的一个最小限制性边割的基数.G是λ＇-连通的,如果G存在限制性边割.G是λ＇-最优的,如果λ＇（G）=ζ（G）,其中ζ（G）是min{d（x）＋d（y）-2：xy是G的一条边}.进一步,如果每个最小的限制性边割都孤立一条边,则称G是超限制性边连通的或是超-λ＇.G的逆度R（G）=∑_（v∈V） 1/d（v）,其中d（v）是点v的度数.我们证明了G是λ＇-连通的且不含三角形,如果R（G）≤2＋1/ζ-ζ/（（2δ-2）（2δ-3））＋（n-2δ-ζ＋2）/（（n-2δ＋1）（n-2δ＋2））,则G是超-λ＇.     

图的最大亏格的一个性质

本文所考虑的图均指有限元向图，没有解释的术语和记号同[1]．一个图称为简单图如果不含重边及环．曲面S这里指一个紧的，连通的，2－维闭流形（定向或不可定向），其亏格记为g（S）．连通图G在曲面S上的一个2－胞腔嵌入意指存在一个1－1连续映射h：G→S使得S＼h（G）的每个连通分支与圆盘拓扑同胚．连通图G的定向亏格γ（G）（或不可定向亏格γ（G））是指最小的整数k使得G在亏格为k的定向（或不可走向）曲面S上有2－胞腔嵌入；而图G的最大定向亏格，也常称之为最大亏格，记为γM（G）,是指最大的整数k使得G在亏格为k定向曲面S上有…     

2-(v,6,1)设计的可解区传递自同构群

设G是一个2-（v,6,1）设计的可解区传递自同构群,且G非旗传递,则：（1）v＝91,G=Z91×Zd,这里3|d|12;（2）v=pm,G≤AL（1,pm）,之一成立．其中p≠2．当p＝3时,4|m见且m＞4;当p＞5时,pm≡1（mod30）。     

关于Sumner-Blitch猜想的一个注记

设G是一个图。G的最小度，连通度，控制数，独立控制数和独立数分别用δ，k，γ，i和α表示，图G是3－γ-临界的，如果γ=3，而且G增加任一条边所得的图的控制数为2.Sumner和Blitch猜想：任意连通的3－γ临界图满足i=3，本文证明了如果G是使α＝k 1≤δ的连通3－γ-临界图，那么Sumner-Blitch猜想成立。     

一类16p阶群的三度Cayley图的正规性

有限群G的一个Cayley图X=Cay(G,S)称为正规的,如果右乘变换群R(G)在AutX中正规.研究了一类16p阶群G=〈a,b|a^(8p)=b(8p)=b²=1,a2=1,a^b=ab=a^(4p-1)〉的3度无向连通Cayley图的正规性,其中p为奇素数,并得到该群的正规与非正规的Cayley图     

K1,4-受限图的路可扩性

图G中同构于K1,p的子图叫G的p-爪(p3).如果G中任意一个p-爪中1度顶点之间边的数目p-2,则称G为K1,p-受限图,它是无爪图(p=3时)的推广.本文证明了:连通、局部3-连通的K1,4-受限图是路可扩的.     

若干并图的优美标号

证明了,对任意大于1的自然数m,n,p,非连通图(■ V ■)∪K_(n,p)是优美图;当k≤p,m=kn+3或m=kn+1时,非连通图(P_2 V ■)∪K_(n,p)是优美图;当p≥2,m=3k+1时,非连通图(P_2 V ■)∪K_(3,p)是优美图;对任意正整数n,p,非连通图(P_1 V P_(2n+2))∪_(n,p)是优美图.     

广义超特殊p-群的自同构群

确定了广义超特殊p-群G的自同构群的结构.假设｜G｜=p^2n＋m,｜ζG｜=p^m,其中n≥1,m≥2,（1）当p是奇数时,记AutG＇G={α∈AutG｜α在G上作用平凡},则（i）AutG＇G Aut G,Aut G/AutG＇G=～Zp-1;（ii）如果G的幂指数是p^m,那么AutG＇G/InnG=～Sp（2n,p）×Zp^m-1;（iii）如果G的幂指数是p^m＋1,那么AutG＇G/InnG=～（K×Sp（2n-2,p））×Zp^m-1,其中K是p^2n-1阶超特殊p-群.特别地,当n=1时,AutG＇G/Inn G=～Zp×Zp^m-1.（2）当p=2时,（i）如果G的幂指数是2^m,那么Out G=～Sp（2n,2）×Z2×Z2^m-2.特别地,当n=1时,｜Aut G｜=3·2^m＋2,Aut G的Sylow子群都不是正规子群,并且Aut G的Sylow 2-子群都同构于HK,其中H=Z2×Z2×Z2×Z2^m-2,K=Z2.（ii）如果G的幂指数是2^m＋1,那么OutG=～（ISp（2n2,2））×Z2×Z2^m-2,其中I是一个2^2n-1阶初等Abel 2-群.特别地,当n=1时,｜AutG｜=2^m＋2并且Aut G=～HK,其中H=Z2×Z2×Z2^m-1,K=Z2.     

图的上可嵌入性与独立顶点的度和

设G=（V,E）是2（或3）-边连通的简单图,独立数为α,围长为g,n=｜V｜.若下列条件之一成立：（1）独立数α＆lt;3g2（或6g-21）;（2）对G中任意含有m=3g2（或6g21）个顶点的独立集{v1,v2,...,vm}V,当g为偶数时,im=1dG（vi）n＋4（或n-11）;当g为奇数时,im=1dG（vi）n2（或n＋1）.则G是上可嵌入的.     

上可嵌入性，边独立数与围长

结合边连通性,研究边独立数与上可嵌入性之间的关系,得到如下结果：设G为七一边连通图,围长为g,若α＇（G）≤（（k-1）^2＋2）[g/2]＋1-（-1）^g/2（（k-1）（k-2）＋1）-1,其中k=1,2,3,α＇（G）表示图G的边独立数,则G是上可嵌入的,且上界是最好的．这推广了相关结果．     

关于正则图直径上界的加强

设G为n阶κ正则简单连通图（κ≥2)，λ是图G的次根，d(G)是图G的直径，如果G不是二部图，且d(G)≠2，则d(G)≤[log(n-1)/log(κ/λ)]，并且当G≌时，这一上界可达．     

λ（m）≤ξm（G）的一般充分条件

已经证明，当m≤3时，λ（m）-连通图G满足λ（m）（G）≤ξm（G）。当m≥4时，Bonsma等人指出不等式λ（m）（G）≤ξm（G）一般不再成立。最近，欧见平证明阶大于等于11的λ4-连通图G满足λ4（G）≤ξ4（G）.本文通过研究满足λ（m）（G）〉ξm（G）的λm-连通图所具有的结构性质，不仅易得以上结论，还得到如下一般结论：当m≥5时，阶大于m（m-1）的λm-连通图G均满足λm（G）≤ξm（G）.最后，通过构造例子说明本文给出的条件是最好的.