Bargmann空间中无界Gribov-Intissar算子的谱逼近（英文）

在[Adv.Math.(China),2015,44(3):335-353]中,我们研究了经典Bargmann空间Bo中的非自伴算子H_μ:H_μ=S_μ+H_λ,其中S_μ=μz d/(dz),H_λ=iλ(z(d~2)/(dz~2)+z~2 d/(dz)),i~2=-1,参数μ,λ都是实数.我们给出了H_μ的谱分析和H_μ的广义特征向量的渐近分析.设ek(z)=(z~k)/((k!)~(1/2)),k=1,2,…是B0的正交基.算子H_μ可以被一列三对角矩阵逼近,此三对角矩阵的主对角线元素为β_k=μk,次对角线元素α_k=iλk(k+1)~(1/2),1≤k≤n,n∈N.对于μ∈C和λ∈C,本文主要研究上述矩阵的特征值z_(k,n)(μ,λ)的局部化,它是多项式P_(n+1)~(μ,λ)(z)的零点,P_(n+1)~(μ,λ)(z)满足三项递推关系:若"∈R和λ∈R,则上述矩阵是复对称的.在这种情况下,我们证明了R上有界变分复值函数∈(z)的存在性,它使得权重为∈(z)的多项式P_n~(μ,λ)(z)是正交的.我们也考虑了H_μ的扰动H_λ'=S_λ'+H_λ,其中S_λ'=λ'z~2(d~2)/(dz~2)+S_μ,λ'∈R,H_λ可以被矩阵(h_(jk)~λ)_(j,k=1)~∞表示.证明了可以通过S_λ'的特征值和有限矩阵(h_(jk)~λ)_(j,k=1)~n的特征值的组合来逼近H_λ'的特征值.     

(0,1)实对称矩阵特征值的图论意义

A为元素只取 0 ,1且主对角线元素均为 0的 n阶实对称方阵 ,n维列向量 J=( 1 ,1 ,1 ,… ,1 ) T ,且 AJ=( d1,d2 ,d3,… ,dn) T。若 λi 是 A的特征值 ,试证明 :∑ni=1λ2i =∑ni=1di ( 0 )　　这是一道典型的线性代数中关于实对称矩阵特征值方面的问题。对它的求解如下 :设 n维非零向量 x是 A的对应于特征值λi 的特征向量 ,则有 Ax=λix.两边同时左乘 A,得A2 x =A(λix) =λi( Ax) =λ2ix ( 1 )而上式说明 λ2i 即方阵 A2 的特征值。由 [1 ],对任一 n阶方阵 A=[aij]n× n,若 λi 是 A的特征值 ,则有 ∑ni=1λi=tr( A) =∑ni=1aii 。…     

一类二阶完全非线性抛物型方程的第一边值问题

本文研究一类二阶完全非线性抛物型方程f(—u_t,λ(D~2u—σ(x,t,u)))=ψ(x,t)的第一边值问题,其中σ是实对称矩阵,λ是 D~3u—σ的特征值,f 是凹函数.利用辅助函数的方法和矩阵特征值的知识得到了解的 C~(2,1)先验估计,并借助隐函数定理证明了解的存在唯一性定理.这个工作将抛物型:Monge-Ampére 算子的结果推广到了一般情形.     

一类2n阶具有转移条件的对称微分算子的特征值问题

研究了具有边界条件及转移条件的2n阶对称微分算子的特征值问题.首先构建了新的Hilbert空间使得所研究的微分算子在新的Hilbert空间中是自共轭的.然后利用微分算子谱分析经典方法,得到了λ是边值问题的特征值的充要条件,并给出了边值问题特征值的某些特点.     

实对称矩阵的两类逆特征值问题

§gi.两类逆特征值问题先说明一些记号.R~(m×n)是所有m×n实矩阵的全体,R~n=R~(n×1),R=R~1;SR~(n×n)是 所有n×n实对称矩阵的全体;OR~(n×n)是所有n×n实正交矩阵的全体;I~((n))是n阶单位矩阵;A~T是矩阵A的转置;A>0表示A是正定的实对称矩阵.?(A)是矩阵A的列空间;A~+是矩阵A的Moore-Penrose广义逆;P_A=AA~+表示到?(A)的正交投影.λ(A)是A的特征值的全体;λ(K,M)是广义特征值问题K_x=λM_x的特征值的     

一类二阶完全非线性抛物型方程的第一边值问题

本文研究一类二阶完全非线性抛物型方程 f(-u_t,λ(D~2u-σ(x,t,u)))=ψ(x,t) 的第一边值问题,其中σ是实对称矩阵,λ是D~2u-σ的特征值,f是凹函数。 利用辅助函数的方法和矩阵特征值的知识得到了解的C~(2,1)先验估计,并借助隐函数定理证明了解的存在唯一性定理。这个工作将抛物型Monge-Ampére算子的结果推广到了一般情形。     

Mn(C)中的不可约性

对于Mn(C)(所有n×n矩阵的全体)中的不可约矩阵得到以下结果:对于任意A∈Mn(C),设λ1,λ2,…,λm为A的所有特征值,这里m≤n而且当i≠j时,λi≠λj.则A是不可约的当且仅当任意P∈A'(A),P*=P=P2,有σ(P|ker(A-λ1))=σ(P|ker(A-λ2))=…=σ(P|ker(A-λm))为单点集.     

带有有限个转移条件的高阶微分算子特征函数系的完备性

研究一类正则的具有混合边界条件并带有有限个转移条件的高阶不连续微分算子特征值问题以及特征函数系的完备性问题.通过结合转移条件定义的新的内积,把问题转换成一个新的Hilbert空间上的对称微分算子的特征值问题.使用分段定义的微分方程的基本解,给出了满足特征方程的特征值是一个整函数的零点,证明了问题的特征值至多可数,得到特征值的充要条件.在此基础上,结合紧算子的谱理论以及逆算子的相关性质,得到了Green函数,证明了特征函数系是完备的.     

带有有限个转移条件的高阶微分算子特征函数系的完备性北大核心CSCD

研究一类正则的具有混合边界条件并带有有限个转移条件的高阶不连续微分算子特征值问题以及特征函数系的完备性问题.通过结合转移条件定义的新的内积,把问题转换成一个新的Hilbert空间上的对称微分算子的特征值问题.使用分段定义的微分方程的基本解,给出了满足特征方程的特征值是一个整函数的零点,证明了问题的特征值至多可数,得到特征值的充要条件.在此基础上,结合紧算子的谱理论以及逆算子的相关性质,得到了Green函数,证明了特征函数系是完备的.     

边界条件都含有特征参数的四阶微分算子特征值的依赖性

本文考虑了区间[a,b]两端四个边界条件都含有特征函数的四阶微分算子特征值的依赖性问题,证明了特征值不仅连续依赖而且可微依赖于问题的各个参数(系数函数,权函数,区间端点,边界条件系数矩阵),并且给出了相应的微分表达式.特别地,给出特征值关于特征参数依赖的边界条件系数矩阵的Frechet导数.     

代数特征值反问题之解的稳定性分析

考虑如下代数特征值反问题: 问题 G(A;{A_k}_1~n;λ).设 A=(a_(ij)),A_k=(a_(ij)~((k))),k=1,…,n是n+1个n×n的实对称矩阵,λ=(λ_1,…,λ_n)是n维实向量且λ_i≠λ_j,i≠j.求n维实向量c=(c_1,…,c_n)~T,使矩阵A(c)=A+sum from k=1 to n (c_kA_k)的特征值是λ_1,…,λ_n. 这一问题是经典加法问题的推广.当A_k-e_ke_k~~T(e_k是n阶单位阵的第k列)时,     

关于Kahan定理的一个注记

设A∈C~(n×n),B∈C~(k×k)均为Hermite矩阵,它们的特征值分别为{λ_j}_(j=1)~n和{μ_j}_(j=1)~k(k≤n);Q∈~(n×k)为列满秩矩阵.令 (1) 则存在A的k个特征值λ_(j_2),λ_(j_2),…,λ_(j_k),使得 (2) 其中σ_k为Q的最小奇异值,||·||_2表示矩阵的谱范数.这是著名的Kahan定理·1996年曹志浩等在[2]中将(2)加强为 (3) 这是Kahan的猜想.在本文中,我们讨论将Kahan定理中“B为k阶Hermite矩阵”改为B为k阶(任意)方阵后,特征值的扰动估计,有以下结果. 定理 设A∈C~(n×n)为Hermite矩阵,其特征值为{λ_j}_(j=1)~n,B∈C~(k×k)的特征值为{μ_j}_(j=1)~k,而Q∈C~(n×k)为列满秩矩阵.则存在A的k个特征值λ_(j_1),λ_(j_2),…,λ_(j_k),使得     

QR分解与非线性特征值问题

考察m×n矩阵A(λ),其中元素a_(ij)(λ)均为复(实)变量λ的解析(至少有一阶导数)函数.称此类矩阵为泛函λ-矩阵。特别,当a_(ij)(λ)是λ的多项式时,A(λ)就是熟知的λ-矩阵.给定A(λ)∈C~(n×n)(m=n),有时需确定其非线性特征值及其相应的特征向量,即求满足     

Hermite矩阵与可对称化矩阵特征值之间的扰动上界

正1引言矩阵特征值的扰动问题,就是研究矩阵元素的改变对矩阵特征值的影响.设矩阵A,B为n阶复矩阵,矩阵B为矩阵A经过扰动之后的矩阵,且λ(A)={λ_i},λ(B))={μ_i},研究矩阵特征值的扰动就是研究λ(A)与λ(B)之间的差距,一般用2范数和Frobenius范数来描述它们之间的差距.矩阵特征值问题是由于处理数据时存在误差而引起的,使得到的特征值往往是经过     

SSOR与Jacobi迭代在一类p-弱循环矩阵下特征值之间的关系

它给出了很大一类p-弱循环矩阵条件下Jacoli迭代矩阵的特征值μ与相应对称超松驰迭代(SSOR)矩阵的特征值λ之间的函数关系式。(A)式是[1]中给出的函数关系的推广。此外,本文还建立了一种新的行列式不变性(见引理)。无疑地,关系式(A)在研究SSOR松驰因子的选取时将会起极为重要的作用。     

由谱数据数值稳定地构造实对称带状矩阵

§1.引言 设r,n是正整数并且0r有a_(ij)=0.     

单位球面上仿Blaschke张量的特征值为常数的超曲面

设x:M~n→S~(n+1)是(n+1)-维单位球面上不含脐点的超曲面,在S~(n+1)的Moebius变换群下浸入x的四个基本不变量是:一个黎曼度量g称为Moebius度量;一个1-形式Φ称为Moebius形式;一个对称的(0,2)张量A称为Blaschke张量和一个对称的(0,2)张量B称为Moebius第二基本形式.对称的(0,2)张量D=A+λB也是Moebius不变量,称为浸入x的仿Blaschke张量,其中λ是常数,仿Blaschke张量的特征值称为仿Blaschke特征值.李海中和王长平(2003)研究了满足如下条件的超曲面:(i)Φ=0;(ii)存在可微函数λ和μ,使A+λg+μB=0.他们证明了λ和μ都是常数,并且给出了这类超曲面的分类,也就是D的特征值全相等的超曲面的分类.本文对满足如下条件的超曲面进行了分类:(i)Φ=0,(ii)对某一个常数λ,D具有两个互异的常数特征值.     

矩阵反问题解的稳定性

首先说明一些记号.C~(m×n):所有m×n复元素矩阵的全体,C_r~(m×n):C~(m×n)中所有秩为r的矩阵的全体.A~H:矩阵A的转置共轭.I~((n)):n行列单位矩阵.A>0表示A是正定Hermite矩阵,λ_(max)(A)与λ_(min)(A)分别表示Hermite矩阵A的最大与最小特征值,σ_(max)(A)与σ_(min)(A)分别表示矩阵A的最大与最小奇异值.A~+:A的Moors-Penrose广义逆.|| ||_2:矩阵的谱范数,|| ||_F:矩阵的Frobenius范数.     

某类四阶非对称微分子算子的同构与扩张同构

文[1]通过考虑四阶非对称微分算子A(K(i,j),|·|H4)→(AλK(i,j),|·|L^2)(诸定义见如下的一定义与问题)相应于λ的一对一性,处理了边值问题Aλy=f,y∈K(i,j),∈c[0,l]相对于λ 的y对于 f的唯一性问题.这恰好描述了某一类飞行器飞行的平稳性状之一.即飞行器不振动的情形,值得指出,由于Aλ非对称,及上述的二个空间即使在扩张意义下也不是同一个Hilbert空间,因而难以用自伴算子的技巧 来处理Aλ的一对一与同构.故文[1]的结论实际上是引入F.沙特林[2]中的带算子内积(Aλy,z),并对Re(Aλy, y)进行先验估计而得到的.本文将进一步处理对刻划飞行器飞行平稳性状更为重要的正则性.即边值问题Aλy=f中y与f互相连续地依赖的情形,等价地,如上的算子Aλ相应于λ同构的情形.除了避免使用自伴算子技巧外,我们知道.文[1]中的方法也不再适用,从形式Re(Aλy,y),可以想到采用或模仿单调算子的技巧,但Aλ并不是单调算子,此外即使将算子Aλ分为实部与虚部考虑,对于某些 λ成为单调算子,充其量只能得到带有扰动算子的满射性结果,^[3]因为无法得到使极大单调线性算子成为同构的强制性条件,故本文采用对|Aλy|^2La进行 下界估计的方法.通过较为复杂的先验估计,本文得到了使|Aλy| 2L2≥ε^20|y|2H4成立的λ的条件,从而对于这些λ,得到了同构Aλ.(K(i,j),|·|H4)≈→ (AλK(i,j),|·|L2)及其扩张同构^∽Aλ.(─K(i,j)|·| H^4,|·|H^4)≈→(──AλK(i,j)|·|L^2,|·|L^2),更有趣的是,通过泛函分析的方法尤其是逆算子定理,上述的同构还可以转化为更为精细的同构Aλ:(K(i,j),|·|c^4)≈→(AλK(i,j),|·|c).     

Levi族的Lax组非线性化

文[1]研究Levi族的Lax表示.今进一步讨论其Lax组的非线性化.设λ_1…,λ_N是Levi特征值问题的N个不同的特征值,那么φ_j(?)(φ_(1j),φ_(2j))~T是相应于特征值λ_j的特征函数,j=1,…,N.(?)=(?)/(?)x,q、r为势函数,x在所论区间Ω内变化. 浓缩(1)为向量形式: