Die Wärmeleitgleichung bei Wärmespannungen

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Wärmespannungen bei einem nichtlinearen Elastizitätsgesetz

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Genäherte Berechnung von Wärmespannungen mit Hilfe der Variationsprinzipien der Elastostatik

Zusammenfassung Mit Hilfe von einfachen Näherungsansätzen, die in die, einem jeweiligen Problem zugehörigen Variationsintegrale eingeführt werden, kommt man im allgemeinen zu ausgezeichneten Approximationen. Neben der dem Ritzschen Verfahren entsprechenden Methode, Näherungsansätze bis auf willkürliche Konstanten vorzugeben, die dann aus Extremalbedingungen berechnet werden können, scheint vor allem das im letzten Abschnitt geschilderte Verfahren, das auf einfach lösbare Differentialgleichungen für die Näherungsfunktionen führt, eine besondere Bedeutung auch für andere Probleme der Elastizitätstheorie zu haben.Gekürzte Fassung einer von der Technischen Universität Berlin, Fakultät für Bauingenieurwesen, genehmigten Habilitationsarbeit. Der Verfasser spricht hiermit den Berichtern, Herrn Prof. I. Szabó und Herrn Prof. A. Teichmann seinen Dank aus.     

Instationäre Wärmespannungen in einer Hohlkugel

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Stationäre Wärmespannungen mit temperaturabhängigen Stoffwerten

Zusammenfassung Die in Ziffer 4 untersuchten Beispiele zeigten, daß sich bei Vorhandensein eines ungleichmäßigen Temperaturfeldes im Bereich höherer Temperaturen nicht nur die reinen Wärmespannungsfelder gegenüber denjenigen, die unter der Voraussetzung unveränderlicher Stoffwerte berechnet werden können, ändern, sondern daß auch eine Veränderung der durch rein mechanische Einwirkungen hervorgerufenen Spannungsfelder auftritt. Diese lassen sich bei Systemen aus Stahl i. a. (sofern nicht extreme Temperaturunterschiede im System vorhanden sind) vernachlässigen bis auf die Klasse derjenigen Probleme, bei denen die Spannungen am verformten System von denjenigen am unverformten System wesentlich verschieden sind (z. B. bei der Längskraft-Biegung). In diesen Fällen können sich auf Grund der gegenüber der Theorie unveränderlicher Materialwerte größeren Verformungen auch erhebliche Änderungen der Spannungszustände einstellen, so daß man hier die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte berücksichtigen sollte. Die Änderung der reinen Wärmespannungsfelder gegenüber denjenigen, die mittels unveränderlicher Materialwerte bestimmt werden können, ist in der Regel, d. h. wenn die Temperaturunterschiede innerhalb des Systems nicht extrem groß sind, noch nicht allzu groß, so daß man sich auch im Bereich höherer Temperaturen mit der Theorie unveränderlicher Materialwerte E und _t, begnügen können wird, vor allem dann, wenn man die einer mittleren Systemtemperatur entsprechenden Werte benutzt. Dies ist aber, wie der Verfasser schon früher gezeigt hat, i. a. nur dann vertretbar, wenn man der Spannungsberechnung das genaue, die Temperaturveränderlichkeit der Wärmeleitzahl berücksichtigende Temperaturfeld zugrunde legt, da dieses in manchen Fällen von dem mit konstanter Wärmeleitzahl berechneten merklich abweichen kann.     

Instationäre Wärmespannungen in Hohlzylindern mit Kreisringquerschnitt

Ohne ZusammenfassungGekürzte Fassung einer von der Technischen Universität Berlin-Charlottenburg genehmigten Dissertation. Der Verfasser ist den beiden Berichtern, Herrn Prof. Dr.-Ing. I. Szabó und Herrn Prof. Dr.-Ing. A. Teichmann sehr zu Dank verpflichtet.     

Wärmespannungen in Hohlzylindern mit temperaturabhängigen Stoffwerten

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Beitrag zum Problem der Wärmespannungen in Scheiben

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Vergleich von Korrelationen zum Wärmeübergang beim unterkühlten Sieden

Zusammenfassung Es werden Experimente zum Wärmeübergang beim unterkühlten Sieden von R12 (CCl₂F₂) in einem senkrechten Kupferrohr bei Aufwärts- und Abwärtsströmung vorgestellt. Die Wärmeübergangskoeffizienten werden mit Korrelationen aus der Literatur verglichen. Für einige Korrelationen werden Änderungen in den Konstanten vorgeschlagen, um eine bessere Übereinstimmung mit den experimentellen Daten zu erreichen. Ein deutlicher Einfluß der Strömungsrichtung — aufwärts oder abwärts — auf den Wärmeübergangskoeffizienten konnte für Flüssigkeitsgeschwindigkeiten von 0,5 bis 1,75 m/s nicht festgestellt werden.

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Comparison of heat transfer correlations in subcooled boiling

Experimental results of subcooled boiling heat transfer of refrigerant R12 (CCl₂F₂) in a vertical copper tube in upflow and downflow are reported. The results are compared with different correlations given in literature. The constants of some correlations are adjusted to yield better agreement with the experimental data of R12. A clear effect of flow direction — upwards or downwards — cannot be observed for liquid flow velocities of 0.5 to 1.75 m/s.

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Formelzeichen A _C Querschnittsfläche des Strömungskanals - c _p spezifische Wärmekapazität - C ₁...C ₄ Konstanten - D Durchmesser - Massenstromdichte - p Druck - Wärmestromdichte - R _p Rauhigkeit - T _S Sättigungstemperatur - T _F Fluidtemperatur - T _W Wandtemperatur - v spezifisches Volumen - Volumenstrom - w Geschwindigkeit - Wärmeübergangskoeffizient - dynamische Viskosität - Wärmeleitfähigkeit - Dichte - Oberflächenspannung - h _V spezifische Verdampfungsenthalpie - T _U Unterkühlung - Siedekennzahl - Ja =c _p T _U /h _V modifizierte Jakobzahl - Nu = D/ Nusseltzahl - Pr = c _p / Prandtlzahl - Reynoldszahl - St=/(wc _p ) Stantonzahl Indizes B Sieden (boiling) - f Flüssigkeit - g Dampf - K Konvektion - pb Behältersieden (pool boiling) - S Sättigung - W Wand     

Nichtstationäre Wärmespannungen in ausgemauerten Behältern und die Berechnung der Ausmauerung an Hand eines Temperatur-Schaubildes

Ohne ZusammenfassungEin Teil der von der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Karlsruhe genehmigten Habilitationsschrift des Verfassers.     

Die maximale Wärmestromdichte beim Behältersieden an einem waagerechten Draht

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wurde die maximale Wärmestromdichte für Kältemittel R13, R114, und R115 durch Messungen an einem waagerecht eingespannten Platindraht (d=0,1 mm) bestimmt. Die Messungen erstreckten sich in einem großen Druckbereich (p*=p/p _k=0,005 bis 0,96). Die Meßergebnisse zeigen, daß die relative Druckabhängigkeit vonq _max aus eigenen Messungen am Draht mit der für Rohre recht gut übereinstimmt. Auch die absoluten Werte vonq _max am Draht lassen sich mit einer für Rohre aufgestellten Beziehung gut wiedergeben.

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The maximum heat flux in pool boiling on a horizontal wire

In the present study the maximum heat flux of refrigerants R13, R114 and R115 in pool boiling was obtained experimentally on a horizontal platinum wire (d=0.1 mm). The measurements are performed in a wide pressure range (p*=p/p _c=0.05 to 0.96). The experimental results show that the relative pressure dependence of the maximum heat flux obtained on the wire is the same as that on tubes. Also, the absolute values ofq _max for the wire can be well represented by a relation established for tubes.

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Formelzeichen d Drahtdurchmesser - g örtliche Fallbeschleunigung - h _v Verdampfungsenthalpie - K ₁ Konstante - p Druck - p* normierter Druck (p/p _k) - q Wärmestromdichte - q _max maximale Wärmestromdichte - T thermodynamische Temperatur - Wärmeübergangskoeffizient - Differenz - Celsius-Temperatur - Flüssigkeitsdichte im Sättigungszustand - Dampfdichte im Sättigungszustand - Oberflächenspannung Indices D Draht - F Flüssigkeit - k kritischer Zustand Herrn Prof. Dr.-Ing. E. Hahne zum 60. Geburtstag gewidmet     

Analytische Berechnung von Wärmeübertragern mit nachträglicher Berücksichtigung temperaturabhängiger Wärmekapazitäten

Zusammenfassung Für konstante Wärmekapazitäten gültige, analytische Lösungen können auch bei temperaturabhängigen Wärmekapazitäten verwendet werden, wenn man hypothetische Temperaturen und einen scheinbaren Wärmedurchgangskoeffizienten einführt.Die Berücksichtigung veränderlicher Wärmekapazitäten reduziert sich auf die Berechnung des scheinbaren Wärmedurchgangskoeffizienten, der durch eine Korrektur des wahren Koeffizienten erhalten wird.

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Analytical calculation of heat exchangers with subsequent consideration of temperature dependent heat capacities

Analytical solutions valid for constant heat capacities can also be applied to cases with temperature dependent heat capacities, if hypothetical temperatures and an apparent overall heat transfer coefficient are introduced.Consideration of variable heat capacities reduces to the calculation of the apparent coefficient through a correction of the true overall heat transfer coefficient.

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Bezeichnungen A Austauschfläche - c _p spezifische, isobare Wärmekapazität - h spezifische Enthalpie - k Wärmedurchgangskoeffizient - m Massenstrom - Q Wärmestrom - q Wärmestromdichte - T Temperatur des Mantelstroms beim 1, N-RWÜ - t Temperatur des Rohrstroms beim 1, N-RWÜ - W Wärmekapazitätsstrom - endliche Differenz - Temperatur Indizes 1, 2 Stoffstrom 1, 2 - 1/2 mittlere Stützstelle bei der Integration nach Simpson - I, II Stützstellen bei der Integration nach Gauß - a, b Enden des Gleich- und Gegenstromwärmeübertragers - B Bezugspunkt - i i-ter Durchgang des 1, N-RWÜ - i-1,i Eintritt ini-ten Durchgang des 1, N-RWÜ - i, i + 1 Austritt ausi-tem Durchgang des 1, N-RWÜ - M Mittelwert Hochzeichen ()^* hypothetisch (Temperatur), scheinbar (Wärmedurchgangskoeffizient) - () Eintritt - () Austritt Herrn Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Hans Dieter Baehr zum 60. Geburtstag gewidmet     

Verbessertes Diagramm zur Berechnung von Wärmeübertragern

Zusammenfassung Die bekannten Wärmeübertragerdiagramme, in denen die dimensionslosen Temperaturänderungen beider Stoffströme auf den Koordinatenachsen aufgetragen sind, werden modifiziert, um die Nachteile der bisherhigen Darstellung zu vermeiden. Diese neuen Diagramme werden für einige einfache Stromführungen angegeben und mit anderen gebräuchlichen Diagrammen verglichen. Anhand von Beispielen wird die Anwendung erläutert.

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Improved chart for heat exchanger design

The known heat exchanger charts with dimensionless temperature changes of both fluid streams as coordinate axes are modified to eliminate the disadvantages of the previous representation. Graphs are presented for some simple heat exchanger configurations. The new chart is compared to other usual charts. The application is illustrated by examples.

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Formelzeichen A Austauschfläche - F Korrekturfaktor für die logarithmische mittlere Temperaturdifferenz; F=I_M/I_LM - k Wärmedurchgangskoeffizient - NTU Anzahl der Übertragungseinheiten (number of transfer units);NTU _i = k A/ _i - P dimensionslose Temperaturänderung - Pe Pecletzahl - R Kapazitätsstromverhältnis;R ₁ = ₁/ ₂;R ₂ = ₂/ ₁ - Kapazitätsstrom - I_M mittlere Temperaturdifferenz - I_LM logarithmische mittlere Temperaturdifferenz - dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz - I_M Temperatur Indizes 1, 2 Stoffstrom 1, 2 - am Eintritt - am Austritt Herrn Prof. Dr.-Ing. K. Stephan zum 60. Geburtstag gewidmet     

Neue Näherungsgleichung zur einheitlichen Berechnung von Wärmeübertragern

Zusammenfassung Es wird eine für alle Stromführungen einheitliche Näherungsgleichung mit drei oder vier anpaßbaren Parametern zur Berechnung des Korrekturfaktors für die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz angegeben. Die anpaßbaren Parameter wurden für etwa 50 verschiedene Stromführungen durch Ausgleichsrechnung bestimmt. Die Genauigkeit der Gleichung ist für die Berechnung im praktisch wichtigen Bereich mehr als ausreichend.

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New approximate equation for uniform heat exchanger design

An approximate equation with three or four empirical parameters for the uniform calculation of the LMTD-correction factor of all heat exchanger configurations is proposed. The empirical parameters have been determined for about 50 different flow configurations using least squares estimation. The accuracy of the equation is more than sufficient for practical design purposes.

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Formelzeichen A Übertragungsfläche - a, b, c, d Parameter der Näherungsgleichung - Wärmekapazitätsstrom - F Korrekturfaktor für die logarithmische mittlere Temperaturdifferenz - k Wärmedurchgangskoeffizient - m, n Zahl der Durchgänge oder Einzelapparate - NTU Anzahl der Übertragungseinheiten (number of transfer units); NTU_i=kA/ _i - P dimensionslose Temperaturänderung - R Wärmekapazitätsstromverhältnis;R ₁=₁/₂;R ₂=₂/₁ - relativer Fehler - Mittelwert von NTU₁ und NTU₂ Indizes 1, 2 Stoffstrom 1, 2 - G Gegenstrom - s Schätzwert Herrn Prof. Dr.-Ing. E.h. K. Stephan zum 65. Geburtstag gewidmet.     

Wärmeübergang von stehendem Wasserdampf bei Tropfenkondensation

Based on the assumption of a smallest nucleation radius of a droplet being able to exist, an equation is developed which describes the thickness of a characteristic layer with variable subcooling on a condenser surface. In a somewhat simplified manner the condenser surface consists of a part of an area being free of droplets and another one being occupied by droplets. At the non-occupied spots heat is transported to the condenser surface and droplets are formed. At the spots which are occupied by droplets, heat is taken away due to the rolling down movement of the droplets.Using the energy balance between added and deduced heat, a differential equation can be formulated which describes the temporal change of this part of the area, which is occupied by non-active large droplets. For steady state conditions one gets an equation for the heat transfer at the condenser surface as a function of the subcooling and of the saturation temperature. The differential equation is also solved for the non-steady case, the start up of the process. Equations are presented describing the heat transfer with droplet condensation at saturation temperaturesT _s= 296K up toT _s=413 K, corresponding to saturation pressures from 0.03 bar to 4.0 bar. The maximum subcooling is T=15K.

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Wärmeübergang von stehendem Wasserdampf bei Tropfenkondensation

Zusammenfassung In Anlehnung an den kleinstmöglichen existenzfähigen Keimradius eines Tröpfchens in der Dampfphase wird eine Gleichung für eine charakteristische Schichtstärke bei einer variablen Unterkühlung an der Kühloberfläche angesetzt. Die Kühloberfläche besteht vereinfacht aus einem Flächenanteil, der frei von Tropfen ist und einen von Tropfen besetzten Flächenanteil. An den freien Stellen wird Wärme an die Kühloberfläche zugeführt, wobei sich Kondensat bildet. An den von Tropfen besetzten Stellen wird Wärme durch die abrollenden Tropfen abgeführt.Durch Aufstellen einer Bilanz zwischen zu- und abgeführte Wärmemenge kommt man zu einer Differentialgleichung, die die zeitliche Veränderung des Flächenanteils beschreibt, der mit inaktiven, großen Tropfen besetzt ist.Für den stationären Fall erhält man eine Gleichung für den Wärmeübergang an der Kühloberfläche als Funktion der Unterkühlung und der Sattdampftemperatur. Die Differentialgleichung wird auch für den instationären Fall, den Anfahrzuständen gelöst. Gleichungen für den Wärmeübergang bei Tropfenkondensation werden angegeben bei SattdampftemperaturenT _s=296 K bisT _s=413 K das entspricht Sattdampfdrücken von 0, 03 bar bis 4, 0 bar, die Unterkühlung Tist max. 15 K

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Formelzeichen Bi Biotzahl,h _i R _max/_L - Nu Nußelt'sche Zahl - Pr Prandtlzahl - Re _x Reynoldszahl - _k Thermokapillare Kräfte/Viskosität, _L T/ _L v _L ² Lateinische Bezeichnungen C=CT _s Funktion der Sattdampftemperatur - c Konstante - C _p spezifische Wärme des Kondensates - f zeitlicher Mittelwert des Anteiles der Kühloberfläche, der mit aktiven Tropfen besetzt ist (wird in erster Annäherung zur freien Fläche gezählt) - g Erdbeschleunigung - h Wärmeübergangszahl bei Tropfenkondensation bezogen auf die Gesamtfläche - h _fg Verdampfungswärme - h _i Grenzflächen-Wärmeübergangszahl - h _L lokale Wärmeübergangszahl aus den neu freiwerdenden Flächenteilen - k Konstante - K Proportionalitätsfaktor - n Koeffizient, 1n > - q Wärmefluß - q _L lokaler Wärmefluß an den freiwerdenden Flächenteilen - R Gaskonstante - R _max Tropfengröße bei Abrollen - ₁=2 _L/h _i Tropfen kleiner alsr ₁ sind für den Wärmeübergang aktiv (Grenzwert bis zu dem in erster Annäherung die Fläche noch als frei betrachtet werden kann) - S neu freiwerdende Fläche - t Zeit - T _s Sattdampftemperatur des Dampfes - T Unterkühlung, Temperaturdifferenz zwischen Sattdampfund Kühloberflächentemperatur - V Volumen des Kondensates aufS - v _g spezifisches Volumen des Dampfes - v _L spezifisches Volumen des Kondensates Griechische Bezeichungen wirklicher Kondensationskoeffizient - Temperaturkoeffizient der Oberflächenspannung - _L Wärmeleitzahl des Kondensates - v _L kinematische Zähigkeit des Kondensates - _L charakteristische Schichtstärke - _L Dichte des Kondensates - Oberflächenspannung der Tropfen - Anteil der Flächeneinheit, der mit Tropfen mit dem Radius größer alsr ₁ besetzt ist (in erster Näherung gilt nur dieser Flächenanteil mit Tropfen besetzt) = 1—f     

Über einen einfachen Sonderfall zur Berechnung der Temperaturverteilung in Wärmespeichern beim Wärmeaustausch mit strömenden Gasen

Zusammenfassung Für die Temperaturverteilung in einem festen Körper (Wärmespeicher) bei Aufheizung durch einen erhitzten Gasstrom wird eine geschlossene Lösung unter folgenden Voraussetzungen mitgeteilt: Vernachlässigung der Wärmeleitung parallel zur Gasströmungsrichtung im Gas und im festen Körper; Wärmeleitung senkrecht zur Gasströmungsrichtung im festen Körper endlich und damit wesentlich bestimmend, im Gas unendlich groß (also auch Wärmeübergangszahl unendlich groß); unendliche Ausdehnung des festen Körpers senkrecht zur Gasströmungsrichtung.     

Einige Beispiele zur Stabilitätstheorie von Strömungen an konkaven und erwärmten Wänden

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die von H. Görtler aufgezeigte Analogie zwischen der Instabilität laminarer Strömungen an konkaven und erwärmten Wänden gegenüber longitudinalen Wirbeln untersucht. Im Rahmen einer linearisierten Störungstheorie und bei Beschränkung auf kleine Wandkrümmungen und kleine Temperaturdifferenzen erweisen sich die Stabilitätstheorie der Strömungen an konkaven Wänden und die Theorie der thermokonvektiven Stabilität als völlig analoge Fragestellungen. Konkave Krümmung bzw. Wanderwärmung wirken destabilisierend, konvexe Krümmung bzw. Wandkühlung dagegen stabilisierend; dabei kann die stabilisierende Wirkung des einen Effekts durch die destabilisierende Wirkung des anderen überboten werden.Die Analogieaussage wird unter geringen Einschränkungen in Strenge bewiesen. Ferner werden numerische Ergebnisse für den Fall der Strömung zwischen zwei koaxialen, rotierenden Zylindern, der Strömung in einem gekrümmten Kanal und der Grenzschichtströmung an einer konkaven Wand mitgeteilt. Zum Schluß wird die Strömung über eine gegen die Horizontale geneigte und erwärmte Platte untersucht. Die theoretischen Ergebnisse über die instabilste Wirbelanordnung werden mit den experimentellen Werten von T. Terada verglichen. Es ergibt sich für nicht zu dicke Flüssigkeitsschichten gute Übereinstimmung.Aus dem Institut für angewandte Mathematik der Universität Freiburg und dem Institut für angewandte Mathematik und Mechanik der DVL an der Universität Freiburg. Diese Untersuchung wurde vom Wirtschaftsministerium des Landes Baden/Württemberg gefördert.     

Bestimmung des Wärmeübergangs im unbenetzten Teil von Verdampferrohren unter Berücksichtigung zweidimensionaler Wärmeleitung im Wandmaterial

Zusammenfassung Es wird eine auf dem Relaxationsverfahren basierende Methode zur zweidimensionalen Analyse von Wärmeübergangsversuchen mit einseitig beheizten oder nicht vertikal durchströmten Verdampferrohren vorgestellt. Damit können die notwendigen Daten zur Bestimmung des Post-CHF-Wärmeübergangs teilweise benetzter Heizflächen zur Verfügung gestellt werden. An Hand von zwei Beispielen - einem horizontal durchströmten und einem einseitig beheizten Verdampferrohr - wird die Anwendung des Verfahrens gezeigt. Die Ergebnisse der einund zweidimensionalen Analyse werden verglichen.

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Determination of heat transfer in non-wetted parts of evaporator tubes taking into account two-dimensional heat conduction in the tube material

A method based on a relaxation procedure is presented which enables the two-dimensional analysis of heat transfer experiments carried out with non-uniformly heated or non-vertically installed evaporator tubes. With this method all data necessary for the determination of post-CHF-heat transfer from partly wetted heating surfaces to the flow can be provided. With two examples - describing the effects in a horizontal and in an oneside heated evaporator tube - the application of the method is demonstrated. The results of the two-dimensional analysis are compared with those obtained by an one-dimensional evaluation of the tests.

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Bezeichnungen q Wärmestromdichte - q Wärmequellstärke - Wärmestrom - r Radius - Wärmeübergangskoeffizient - Temperatur - Wärmeleitfähigkeit - Umfangswinkel Indizes H stark beheizte Seite - K schwach beheizte Seite - m Mittelwert - o oben - s seitlich - u unten - satt Sättigung - 1 eindimensional - 2 zweidimensional Herrn Prof. Dr.-Ing. U. Grigull zum 75. Geburtstag gewidmet     

Abstoßende Wirkung von Wänden in reibungslosen Scherströmungen

Ohne Zusammenfassung     

Vergleich der Wärmebilanz bei der diskontinuierlichen und der kontinuierlichen Herstellung von Kohleelektroden

Zusammenfassung Es wird die Wärmebilanz bei der kontinuierlichen Formgebung grüner Elektrodenmasse auf einer 4-spindeligen Schneckenpresse betrachtet und gezeigt, daß es nicht möglich ist, bei kurzer Verweilzeit der kalten Mischung über die Mantelfläche so viel Wärme zuzuführen, als für die Überführung in einen formbaren Zustand notwendig ist. Durch die Umwandlung der von dem Motor aufgenommenen elektrischen Energie in Reibungswärme erhält die durchgesetzte Masse die Wärmemenge, die sie benötigt. Werden noch die Energieverluste berücksichtigt, die an den Kupplungen, in den Getrieben und in den Lagern entstehen, so befindet sich zwar das System in einem thermischen Gleichgewicht, denn es wird soviel Wärme verzehrt, als erzeugt wird. Aber der Ablauf in der Presse ist nicht isotherm, sondern die Gut-Temperatur steigt vom Eintragsende bis zu einem Maximum von ca. 135°C am Schneckenende an und fällt in dem Mundstück wieder um 10 bis 20°C ab.Zu Beginn wird die kontinuierliche Herstellung mit der diskontinuierlichen Arbeitsweise auf hydraulischen Strangpressen verglichen. Hier spielt das Problem der Wärmeübertragung nicht die entscheidende Rolle wie bei den kontinuierlichen Verfahren; die langen Verweilzeiten reichen aus, um die erforderliche Wärmemenge an das Einsatzgut heranzubringen.Allen meinen Mitarbeitern sci an dieser Stelle berzlich gedankt.