关于合数的一个问题

法国数学家费尔马在1640年提出了如下这个著名定理(通称为费尔马小定理): 费尔马小定理:如果P为素数,且gcd(a,p)=1,则     

费尔马小定理在解竞赛题中的应用

法国数学家费尔马(1601-1665)所提出的猜想:当n是大于2的整数时,不定方程 x~n+y~n=z~n没有整数解。通常,人们称这个至今未获解决的问题为“费尔马大定理”。数论中还有一个被广泛应用的费尔马小定理:若p为素数,则 a~p=a (mod p)。推论:若p为素数,且(a,p)=1,则 a~(p-1)≡1 (mod p)。费尔马小定理在解决数学竞赛的问题中     

费尔马伪素数及其奇妙性质

1　费尔马数与伪素数1640年法国数学家费尔马发现 :F0 =3,F1=5,F2 =17,F3=2 57,F4 =65537都是素数 .据此费尔马猜想 :任何费尔马数 Fn=2 2 n 1都是素数 .然而 ,1732年瑞士数学家欧拉举出反例 :F5=641×670 0 4 17是合数 !从而推翻了费尔马猜想 .180 1年 ,德国数学家高斯证明了当且仅当 n为如下形式的数时 ,才能等分圆周 :( 1) n =2 m ;　 ( 2 ) n =Fm 为费尔马素数 ;( 3) n =2 mp1p2 … pk,其中 pi 为相异的费尔马素数 .虽然高斯完满地解决了等分圆周问题 ,但关于费尔马素数的判别却引起了人们的关注 .到目前为止 ,数学家们只发现前 5…     

一类含平方数因子的伪素数

笔者曾构造出一类表示伪素数的公式 [1] ,张善立在文 [3]中指出这一类中存在含平方数因子 1 0 932 的伪素数 ,有没有含其它平方数因子的伪素数呢 ?本文将从文 [1 ]给出的公式中找出含平方数因子 1 0 932 和 351 1 2 的伪素数 (本文中字母为正整数 ,p为奇素数 ) .引理 1　设 A≥ 2 ,( p,A) =1 ,满足 ( p,2 A - 1 ) =1及 A 2 A( 2 A( p-1) - 1 )2 A - 1则　 n =2 Ap - 12 A - 1 是伪素数[1] .引理 2　 2 Q1- 1 | 2 Q1Q2 - 1 [1] .引理 3　设使同余式 :2 r ≡ 1 ( mod m)成立的最小正整数为 r,则 2 a≡ 1 ( mod m)成立的充要条件是 r| a[3…     

关于居加猜测与费马数为素数的充要条件

如何判断一个大的自然数p是否为素数,这是人们甚为关心的一个问题。1950年,居加(G.Giuga)猜测:     

又一类含平方因子的伪素数

文[1]构造一类表示伪素数的公式,进一步研究可得到:定理1 n为奇素数或伪素数,A≥2,(n,A)=1,满足(n,2A-1)=1及A(2A(2A(n-1)-1))/(2A-1),则 n′=(2An-1)/(2A-1)是伪素数.由此可见,伪素数的结构要比素数复杂得多.类似文[2],有     

侧面向底面展开图是特殊四边形的三棱锥

文 [1 ]研究了表面展开图为四边形的四面体 ,已经得到下面定理 :定理 1　四面体表面展开图为四边形的充要条件是任意两顶点上的三面角之和均为1 80°(即文 [1 ]中的定理 1 ) .定理 2　任意四边形ＡＢＣＤ ,若ＡＢ =ＡＤ ,且ＡＢ <ＡＣ ,∠ＢＤＣ与∠ＤＢＣ均小于90° ,则四边形一定可以翻折成四面体 (即文[1 ]中的定理 4) .本文将讨论三棱锥的侧面向底面展开图为特殊四边形的情形 ,并给出其充要条件及由特殊四边形折成三棱锥的方法 .1　筝形图 1　定理 3图定理 3　三棱锥侧面向底面展开图为筝形的充要条件是底边三角形有且只有两顶点上的三…     

关于哥德巴赫问题的一点注记

<正> 通过文章[1]、[2]、[6]对L-函数零点分布及算术数列中素数分布两问题的研究,在1989年我们证明了:每一个奇数N≥exp(exp(11.503))都能够表示成为三个素数之和。在此我们将对这些结果的论证作一点修改和说明.我们将沿用文[1]、[2]、[6]中的记号。 (一)主要是由于第二作者的疏忽,在文[2]定理的陈述和证明中出现了一些缺陷.这就是在应用文[2]的引理10来证明定理时,在文[2]的“三、定理的证明”(第857—858     

费尔马小定理的一种推广及其应用

费尔马小定理断言 :对任何素数p和与p互素的正整数m ,p必能整除mp- 1 - 1 ,用标准的数论记号 ,可以记作p｜mp- 1 - 1或mp- 1 =1 (modp) ,后一种表示读作mp- 1 被p除余 1 .欧拉曾把它推广到p不必是素数的情形 ,称为欧拉定理 .由于需要用到数论函数 φ ,不拟在此讨论 .有兴趣的读者可参考任何一本初等数论教材 .本文所要讨论的是另一种推广 :正整数a应该满足什么条件 ,才能使 (ma- 1 )被素数p整除 ,其中m与p互素 .或者更一般地 ,形如ma- 1的正整数能被p整除多少次 ?换句话说 ,我们要求出这样的非负整数r,使得pr｜ma- 1 ,但pr+1 不能整除ma- 1 …     

平面(空间)四边形对角线成0角的充要条件及其应用

文[1]介绍了平面(空间)四边形两对角线垂直的充要条件,给人以启迪。这里介绍平面(空间)四边形对角线成θ角的充要条件。 定理 ABCD为平面(空间)四边形,AB、     

四面体内心与旁心的一个有趣性质

文 [1 ]给出了三角形内心与旁心的一个充要条件 .文 [2 ]与文 [3]将其作了改进 ,文 [3]的结论简洁而明快 .即定理　设a ,b ,c为△ABC的三边 ,则点P为△ABC的内心的充要条件是aPA→ +bPB→ +cPC→ =0 .本文将此性质推广到四面体 .约定 :△表示三角形面积 ,△1 ,△2 ,△3,△4 依次表示四面体ABCD四个顶点A ,B ,C ,D所对的三角形面积 .定理 1　点P为四面体ABCD内心 (内切球球心 )的充要条件是△1 PA→ +△2 PB→ +△3PC→ +△4PD→ =0 .图 1　定理 1图证　如图 1 ,设I为四面体ABCD的内心 .延长AI交面BCD于E .设I,E到面ABC…     

不定方程x4-y4=n的整数解之我见

文 [1]对不定方程　　　　　 x4- y4=n (1)的整数解求法作了探讨 ,笔者认为有必要作一些说明 .容易验证 :奇数的四次方除以 16余 1.n =(x - y) (x +y) (x2 +y2 ) ,n(n >1)必为合数 ;若 (x,y)满足方程 (1) ,则(± x,± y)也满足方程 (1) ,故仅需考虑正整数解 .容易得到 (以下字母为正整数 ) :定理 1　 n =a2 ,2 a2 ,pa2 (p为素数 ,p≡3(mod8) )时 ,方程 (1)无正整数解 [2 ] .定理 2　方程 (1)有正整数解的充要条件是 n =PQ(P 相似文献   

"魔(n,k)方"的广义Fibonacci数列解

文 [1 ]将文 [2 ]中的“魔八方”问题推广为“魔(ｎ,ｋ)方”问题 ,研究不定方程ｘ2 +ｘｙ-ｙ2 +ｋ=0　　 (1 )的广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列解 .结束时 ,提出可以证明“魔 (ｎ ,2 )方”和“魔 (ｎ ,3 )方”不可实现 ,未能方便地给出证明 ,也未能很好地实现进一步的探讨 .本文将在文 [1 ]的基础上 ,得出广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列解的首项的充要条件 ,并应用这个充要条件进行简便求解和证明 ,最后对ｋ进行分类讨论 .为了本文叙述的连贯性 ,先摘录文 [1 ]中的 2个定义和定理 1 .1　广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列和“魔 (ｎ ,ｋ)方”问题定义 1…     

二次曲线内接直角三角形斜边过定点的一个统一结论及推广

文[1]给出了关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件,文[2]给出了关于有心圆锥曲线的弦对顶点张直角的充要条件,读后深受启发．经过研究,笔者把文[1]、文[2]中的三个定理进行了推广合并成一个定理,得到二次曲线内接直角三角形斜边过定点的一个统一的结论,并给出一个比较简洁的证明．     

也谈子不等式从何而来

文[1]介绍了用“子不等式法”证明与自然数n有关的不等式的方法.针对文[1]的遗留问题,文[2]介绍了“子不等式从何而来?”文[2]认为:“一旦证明了子不等式,就……改为非数学归纳法的证明.”但从所举例题来看,“子不等式”均系由数学归纳法的第二步并通过分析法得出,其实质仍为数学归纳法.若要“改为非数学归纳法的证明”,即用“子不等式法”,直接得出“子不等式”并予以证明方可.但子不等式是否存在?能否直接得出?成为解决问题的关键.笔者研究发现,子不等式完全可直接由欲证之不等式直接得出.下面介绍给读者.     

中点弦性质与共轭二次曲线

文 [1 ]介绍了“同轴相似二次曲线”有关中点弦的一组性质 ;文 [2 ]用“位似变换”的高观点解释“相似” ,并用射影几何配极原理再次证实了该结论 ;特别是 ,还指出命题条件应严格表述为“同轴相似有心曲线或同轴同焦参数抛物线” .为什么抛物线特殊 ?此外文 [1 ]还介绍了“同轴相似共轭双曲线”的“外分弦定理” ,它能否与上述性质统一起来 ?都值得进一步研究 .　本文引入一般“共轭二次曲线”的概念 ,不仅给出上述诸性质的统一解释 ,并且得出更一般的结论 .其方法也易为一般中学生理解 .设一般二次曲线ｓ的方程为Ｆ(ｘ ,ｙ) =ａ1 1 ｘ2 2…     

矩阵可对角化的一个充要条件

本文给出矩阵可对角化(即可与对角矩阵相似)的一个充要条件,并推广了文[1]中的一个结果。首先叙述如下: 引理设A,B都是n阶矩阵,则有秩(AB)≥秩A+秩B-n 证明可见[2],这里从略。定理设A是数域F上的一个n阶矩阵,     

Wilson定理之逆的一个简短证明

Wilson定理是初等数论中的著名定理,文[1]证明了其逆定理也成立,但证明较复杂,本文用反证法给出一个简短的证明.Wilson定理之逆:若(p-1)! 1≡0(mod p),则p是素数.证明假设p不是素数,那么p一定可以分解素因数,令p1是p的一个真素因数,则1相似文献   

关于实二次域的类数(Ⅱ)

本文推广了文献[1]的结果,提供了实二次域类数等于1的另一个充要条件,文献[1]是这里的一个特例,特别,对素数p=4n²+1(n>1),域K=Q(p×1/2)的类数等于1的充要条件是这儿ζ_K(s)是域K的ζ-函数.     

求伪素数的一个公式

定义若n是合数，且满足2n－1－1≡0（modn），则称数n是伪素数．从1819年有人发现第一个伪素数341后，更多的伪素数被找出，如561，645等等．伪素数的个数无穷．陈历功和陈君安在上文文[2]中提出了一条直接求伪素数的定理．即：若p是大于5的素数，则n是伪素数．此理论概括了一类伪素数，笔者通过探索发现，还存在另一类伪素数，其公式如下．定理若p是异于3和7的奇素数，则是伪素数．证明设p是异于3和7的奇素数．为整数，数．因异于3和7的奇素数的个数无限，所以，这类伪素数的个数也无穷．文［Zj中猜想："无法找出两个统一的正整数a，m，当…