Mixed convection similarity solutions of a non-Newtonian fluid on a horizontal surface

The mixed convection boundary layer flow on a horizontal stationary or moving plate to a power-law non-Newtonian fluid is analyzed. An exact similarity solution is given for the case of a wall temperature that is inversely proportional to the power-law of the distance from the leading edge of the plate. It is shown that such a solution does not exist if the boundary parameter is smaller than a certain critical value. The effects of the flow index, buoyancy parameter and modified Prandtl number on the velocity and temperature profiles as well as on the global heat transfer and displacement thickness are discussed.

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Ähnlichkeitslösungen für die Mischkonvektion von einem Nicht-Newton'schen Fluid auf einer horizontalen Oberfläche

Zusammenfassung Hier ist die Mischkonvektion von Grenzschichtströmungen auf einer horizontal stillstehenden oder beweglichen Platte für einen Potenzansatz der Nicht-Newton'schen Fluide analysiert worden. Eine genaue Änlichkeitslösung ist für den Fall, daß die Wandtemperatur entgegengesetzt proportional zum Potenzansatz des Abstandes von der Vorderkante der Platte ist, gegeben worden. Es ist gezeigt worden, daß eine solche Lösung nicht existiert, wenn der Grenzparameter kleiner als ein bestimmter kritischer Wert ist. Die Einwirkungen des Strömungsindex, Auftriebsparameter und modifizierter Prantlzahl auf die Geschwindigkeitsund Temperaturprofile sind genauso intensiv besprochen worden, wie die globale Wärmeübertragung und die Verdrängungsdickte.

     

MHD flow and heat transfer over a stretching surface with prescribed wall temperature or heat flux

The flow and heat transfer over a stretching sheet with a magnetic field in an electrically conducting ambient fluid have been studied. The effects of the induced magnetic field and sources or sinks have been included in the analysis. Both non-isothermal wall and constant heat flux conditions have been considered. The governing equations have been solved numerically using a shooting method. It is observed that for the prescribed wall temperature the skin friction, induced magnetic field at the wall and heat transfer are enhanced due to the magnetic field, but in general, they reduce as the reciprocal of the magnetic Prandtl number increases. For constant heat flux case, the temperature at the wall reduces as the magnetic field increases, but it increases with the reciprocal of the magnetic Prandtl number. The heat transfer is strongly affected by the Prandtl number, wall temperature and sink. Whenm<–2 andPr>2.5 the unrealistic temperature distributions are encountered. The present analysis is more general than any previous investigation.

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MHD Strömung und Wärmeübertragung über eine gedehnte Oberfläche mit vorgeschriebener Wandtemperatur oder Wärmestrom

Zusammenfassung In dieser Studie ist die Strömung und Wärmeübertragung über eine gedehnte Fläche mit magnetischem Feld in einem elektrisch leitenden Fluid untersucht worden. Der Einfluß des induzierten magnetischen Feldes und der Quellen oder Senken sind in die Untersuchung einbezogen. Die beiden Fälle, nicht-isotherme Wand und konstanter Wandwärmestrom, sind betrachtet worden. Mit dem Eliminationsverfahren sind bestehende Gleichungen numerisch gelöst worden. Es ist beobachtet worden, daß für eine vorgeschriebene Wandtemperatur die Oberflächenreibung, das induzierte magnetische Feld und die Wärmeübertragung aufgrund des magnetischen Feldes verbessert sind. Aber im allgemeinen reduzieren sie sich im umgekehrten Maß wie die magnetische Prandtlzahl ansteigt. Für den Fall des konstanten Wärmestromes sinkt die Wandtemperatur, wenn das magnetische Feld stärker wird. Die Temperatur steigt jedoch reziprok zur magnetischen Prandtlzahl an. Die Wärmeübertragung ist sehr stark von der Prandtlzahl, Wandtemperatur und der Senke beeinflußt. Bei Werten vonm<–2 undPr2.5 sind unrealistische Temperaturverteilungen eingetreten. Die gezeigte Analyse ist allgemeiner als jede vorhergehende Untersuchung.

     

Das Druckströmungsfeld in zylindrischen Fließkanälen mit beliebigem Querschnitt)

Zusammenfassung Es wird eine Näherungsrechnung behandelt, die es in vielen Fällen ermöglicht, die zweidimensionale stationäre Strömung Newtonscher Flüssigkeiten in zylindrischen Fließkanälen mit beliebigem Querschnitt zu berechnen. Für die gesuchte Funktion der Geschwindigkeitsverteilung wird ein Lösungsansatz gewählt, der eine Anzahl unbestimmter Parameter enthält. Dieser Ansatz wird in die die Bewegung beschreibenden Differentialgleichungen eingesetzt. Die freien Parameter im Lösungsansatz werden nun so bestimmt, daß die Differentialgleichung und ggf. die vorliegenden Randbedingungen möglichst gut erfüllt werden. Dies geschieht mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate, die die Summe der Fehler bzw. Fehlerquadrate zum Minimum macht. Die Geschwindigkeitsverteilung liegt damit in Form einer Funktion der Ortskoordinaten vor, mit der ggf. in einfacher Weise weitergerechnet werden kann. Das Verfahren wird an einigen Beispielen erläutert.Vortrag auf dem Darmstädter Kunststoff-Kolloquium am 21. März 1969.Alle numerischen Rechnungen wurden an der elektronischen Datenverarbeitungsanlage TR4 des Rechenzentrums der Universitgt Stuttgart durchgefiihrt.Für die Erm6glichung und Diskussion dieser Arbeit danke ieh Herrn Prof. Dr.-Ing. G. Sehenkel.Herrn Dr.-Ing.E. Steck sei an dieser Stelle für wertvolle Hinweise und Diskussionen gedankt.     

Particle-fluid heat/mass transfer: Newtonian and non-Newtonian fluids

A new model based on the boundary layer analysis is developed for particle-fluid heat/mass transfer. The proposed model enables a unified consideration of spheres in granular beds as well as isolated spheres. Comparison of results with data for Newtonian and non-Newtonian fluids indicates that the proposed model provides a good prediction of particle-fluid heat/mass transfer.

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Partikel-Fluid Wärme- und Stoffübertragung newtonscher und nichtnewtonscher Fluids

Zusammenfassing Ein neues, auf einer Grenzschicht-Analyse beruhendes Modell für die Partikel-Fluid Wärme- und Stoffübertragung wird entwickelt. Das vorgeschlagene Modell ermöglicht eine einheitliche Betrachtung von Sphären in körnigen Schichten sowie von isolierten Sphären. Ein Vergleich der Ergebnisse mit Daten für newtonsche und nichtnewtonsche Fluids deutet darauf hin, daß das vorgeschlagene Modell eine gute Vorhersage der Partikel-Fluid Wärme- und Stoffübertragung ermöglicht.

     

Untersuchungen über turbulente Strömungen in nicht kreisförmigen Rohren

Zusammenfassung Die Aufgabe der vorliegenden Arbeit war, die Sekundärbewegungen in Rohren mit nichtkreisförmigem Querschnitt auf Grund systematischer Versuche zu klären. Zu diesem Zweck wurden turbulente Strömungen in solchen Rohren untersucht, und zwar in Rohren 1. von dreieckigem Querschnitt: a) gleichseitig, b) gleichschenklig-rechtwinklig und c) ungleichschenklig-rechtwinklig, 2. von trapezförmigem Querschnitt und 3. von kreisförmigem Querschnitt: a) mit einer Nute und b) mit zwei Nuten. Die Arbeit zerfällt in zwei Teile: Im ersten Teil sind die Geschwindigkeitsverteilungen gemessen und in Form von Isotachen dargestellt worden. Die Isotachenpläne zeigen ganz deutlich, daß in den Ecken der Rohrquerschnitte die Flüssigkeit einströmt, sich dort in zwei Teile teilt und zurückkehrt. So entstehen Wirbel in den Querschnittsecken. Ferner ist nachgewiesen, daß die Geschwindigkeit längs der Winkelhalbierenden mit der 5/7-ten Potenz des Abstandes von der Winkelspitze wächst. Aus den Geschwindigkeitsverteilungen und dem Druckgefälle ist die Schubspannungsverteilung an der Wand über den Umfang des Rohrquerschnittes errechnet und graphisch dargestellt. Auch der Widerstandskoeffizient für alle Rohre ist bestimmt worden.Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit photographischen Methoden, um die Sekundärbewegungen in nichtkreisförmigen Rohren nachzuweisen. Zu diesem Zweck wurden von der turbulenten Ausbreitung von stromaufwärts eingeführter Milch im dreieckigen und kreisförmigen Rohre Photographien hergestellt, die durch Ausmessen der Helligkeiten zur Herstellung der Isophoten dienten. Die Isophoten zeigen ganz deutlich, daß im dreieckigen Rohr die Sekundärbewegungen vorhanden sind, während im kreisförmigen Rohr keine auftreten. In diesem zeigt sich dagegen die schnellere Ausbreitung parallel den Isotachen als senkrecht dazu.     

Über den ebenen Fließzustand zäher und zähplastischer Stoffe mit druckabhängiger Zähigkeit

Zusammenfassung Die bei viskosen und viskoplastischen Stoffen beobachtete Druckabhängigkeit der Zähigkeit kann in die Stoffgesetze dadurch aufgenommen werden, daß der die Zähigkeit der Stoffe beschreibende Stoffparameter als vom örtlich herrschenden mittleren Normaldruck abhängig angenommen wird.An Strömungsfällen, die einen ebenen Fließzustand ermöglichen, werden die Auswirkungen untersucht, die die Einführung eines druckabhängigen Zähigkeitsparameters in die Stoffgesetze derNewtonschen und derBinghamschen Flüssigkeit besitzt. Die erweiterten Stoffgesetze führen auf Differentialgleichungssysteme, aus denen durch Reihenansätze bei geringer Abhängigkeit der Zähigkeit vom Druck lösbare Rekursionssysteme linearer, partieller Differentialgleichungen gewonnen werden können.Mit den so gewonnenen Gleichungssystemen werden zwei Beispiele, nämlich die Strömung der zähen Flüssigkeit mit druckabhängiger Zähigkeit infolge eines Druckgefälles zwischen parallelen Platten und die überlagerte Scher- und Druckströmung einer zähplastischen Flüssigkeit mit druckabhängiger Zähigkeit zwischen parallelen Platten untersucht.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin-Dahlem vom 7.–10. Juni 1966.     

Magnetic effects on the flow with a great magnetic reynolds number by the presence free convection and mass transfer

An analysis of the effects of a magnetic field on the flow past an infinite plate by the presence free-convection and mass transfer is considered when the magnetic Reynolds number of the flow is not small. The influence of magnetic parameterM on the velocity and the skin-friction is discussed with the help of graphs, when the plate is being cooled by the free convection currents.

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Magnetische Einflüsse auf eine Strömung mit großen magnetischen Reynolds-Zahlen unter Anwesenheit freier Konvektion und Stoffübertragung

Zusammenfassung Es werden die Einflüsse eines magnetischen Feldes auf die Strömung an einer unendlichen Platte mit freier Konvektion und Stofftransport analysiert, wobei die magnetische Reynolds-Zahl der Strömung nicht klein ist. Diskutiert wird der Einfluß des magnetischen ParametersM auf die Geschwindigkeit und die Oberflächenreibung mit Hilfe graphischer Methoden, wobei die Platte durch die freie Konvektion gekühlt wird.

     

A laminar boundary layer model of heat transfer due to a nonuniform planar jet impinging on a moving plate

A theoretical model is developed of planar jet impingement heat transfer on a moving plate. Boundary layer equations in their integral forms are used in order to include, both near and away from the stagnation line, the effects of surface motion directed perpendicular to the jet plane, an arbitrary surface temperature variation, and nonuniform jet discharge velocity profiles. The validity and accuracy of the approximate solution is assessed by comparison to an exact solution restricted to regions near the stagnation line. Results indicate that the influence of a nonuniform jet discharge velocity decreases with distance from the stagnation line. Surface motion affects heat transfer at regions away from the stagnation line, but has little influence near the stagnation line when the surface temperature is constant.Ein theoretisches Modell für die Wärmeübertragung beim Auftreffen eines ebenen Strahls auf eine bewegte Platte wird hier entwickelt. Es werden Grenzschichtgleichungen in Integralform benutzt um, sowohl in der Nähe als auch in einiger Entfernung der Staulinie, die Effekte der Oberflächenbewegung senkrecht zum Strahl, bei willkürlichen Veränderungen der Oberflächentemperatur und ungleichmäßigen Strahlgeschwindigkeitsprofilen zu beschreiben. Die Gültigkeit und Genauigkeit der approximativen Lösung wird beurteilt in dem sie mit der exakten Lösung für den Bereich in der Nähe der Staulinie verglichen wird. Die Ergebnisse zeigen, daß der Einfluß einer ungleichmäßigen Strahlaufprallgeschwindigkeit mit zunehmenden Abstand von der Staulinie abnimmt. Bewegungen der Oberfläche beeinflussen den Wärmeübergang in Bereichen außerhalb der Staulinie, aber haben einen kleinen Einfluß in der Nähe der Staulinie wenn die Oberflächentemperatur konstant gehalten wird.     

Die ebene Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt

Zusammenfassung Die Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt wird mit Hilfe der konformen Abbildung berechnet. Zuerst wird die Abbildungsfunktion der geknickten Platte mit Spalt so dargestellt, daß die numerische Auswertung für kleine Spalte besonders einfach wird. Durch Hinzunahme weiterer Abbildungen kann man schrittweise von der Strömung um Skelette übergehen zur Strömung um dünne Flosse und profiliertes Ruder und um Flosse und Ruder mit Wölbung und Dicke. Für alle diese Kombinationen wurden die Druckverteilungen berechnet. Es zeigt sich, daß die Rechnungen für Skelette schon recht gute Werte für die Gesamtkräfte liefern. Jeder Schritt in dem Annäherungsprozeß an Formen, wie sie der Wirklichkeit entsprechen, wurde wenn möglich einer entsprechenden Messung gegenübergestellt, um so den Einfluß der Form auf die Druckverteilung klar erkennen zu können. Zum Schluß ergibt sich, daß die Potentialtheorie alle wesentlichen Eigenschaften der Strömung um das geknickte Profil mit Spalt gut wiedergibt.     

Unsteady free convection flow under the influence of a magnetic field

Summary The unsteady free convection boundary layer at the stagnation point of a two-dimensional body and an axisymmetric body with prescribed surface heat flux or temperature has been studied. The magnetic field is applied parallel to the surface and the effect of induced magnetic field has been considered. It is found that for certain powerlaw distribution of surface heat flux or temperature and magnetic field with time, the governing boundary layer equations admit a self-similar solution locally. The resulting nonlinear ordinary differential equations have been solved using a finite element method and a shooting method with Newton's corrections for missing initial conditions. The results show that the skin friction and heat transfer coefficients, andx-component of the induced magnetic field on the surface increase with the applied magnetic field. In general, the skin friction, heat transfer andx-component of the induced magnetic field for axisymmetric case are more than those of the two-dimensional case. Also they change more when the surface heat flux or temperature decreases with time than when it increases with time. The skin friction, heat transfer andx-component of the induced magnetic field are significantly affected by the magnetic Prandtl number and they increase as the magnetic Prandtl number decreases. The skin friction andx-component of the magnetic field increase with the dissipation parameter, but heat transfer decreases.

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Instationäre freie Konvektionsströmung unter dem Einfluß eines magnetischen Feldes

Übersicht Untersucht wurde die instationäre freie Konvektionsgrenzschicht am Ruhepunkt eines zweidimensionalen und achsensymmetrischen umströmten Körpers bei vorgegebenem Wärmefluß bzw. bei vorgegebener Temperatur an der Oberfläche. Das magnetische Feld wird parallel zur Oberfläche angelegt, und der Einfluß des induzierten magnetischen Feldes wurde berücksichtigt. Es stellt sich heraus, daß bei bestimmter, zeitlicher Potenzgesetzverteilung des Wärmeflusses bzw. der Temperatur und des magnetischen Feldes an der Oberfläche die geltenden Grenzschichtgleichungen örtlich eine selbstähnliche Lösung erlauben. Die sich ergebenden nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichungen wurden mittels einer Finite-Element-Methode und einer Shooting-Methode mit Newtonschen Korrekturen für fehlende Anfangsbedingungen gelöst. Die Ergebnisse zeigen, daß die Oberflächenreibung und die Wärmeübergangskoeffizienten sowie diex-Komponente des induzierten magnetischen Feldes an der Oberfläche mit dem angelegten magnetischen Feld zunehmen. Im allgemeinen sind die Oberflächenreibung, der Wärmeübergang und diex-Komponente des induzierten magnetischen Feldes im achsensymmetrischen Fall größer als die entsprechenden Werte im zweidimensionalen Fall. Außerdem verändern sich diese Werte beim zeitlichen Abfallen des Wärmeflusses an der Oberfläche bzw. der Temperatur in höherem Maße als bei der zeitlichen Zunahme dieser Werte. Die Oberflächenreibung, der Wärmeübergang und diex-Komponente des induzierten magnetischen Feldes werden durch die magnetische Prandtl-Zahl erheblich beeinflußt; sie nehmen mit abfallender magnetischer Prandtl-Zahl zu. Die Oberflächenreibung und diex-Komponente des magnetischen Feldes nehmen mit dem Wärmeableitungsparameter zu, der Wärmeübergang jedoch fällt ab.

     

Heat transfer to non-Newtonian power-law fluid past a continuously moving porous flat plate with heat flux

The analysis of heat transfer to the non-Newtonian power-law fluid flow past a continuously moving flat porous plate in presence of suction/injection with heat flux has been presented. We have obtained the solution using the method of successive approximations, starting with zero approximation. It has been observed that the results obtained forn=1 are in good agreement with the corresponding results for Newtonian fluid. For various values of flow indexn and the suction/injection parameter, temperature profiles and rate of heat transfer have been presented graphically. The effect of suction is to decrease in temperature and the rate of heat transfer, while reverse nature occurs for injection.

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Wärmeübertragung bei Nicht-Newton'schen Fluiden, die dem Potenz-Ansatz gehorchen, entlang einer stetig bewegten, flachen, porösen Platte mit Wärmestrom

Zusammenfassung Hier ist die Berechnung der Wärmeübertragung bei Nicht-Newton'schen Fluiden entlang einer sich stetig bewegenden, flachen Platte mit Wärmestrom dargestellt worden, bei der die Grenzschicht abgesaugt bzw. eingeblasen wird. Die Lösung erhielten die Verfasser mit dem Verfahren der sukzessiven Approximation, beginnend mit der Nullapproximation. Es ist festgestellt worde, daß die erhaltenen Ergebnisse fürn=1 mit den Ergebnissen für Newton'sche Fluide übereinstimmen. Für verschiedene Werte des Strömungsindexesn und des Absaug-/Einblasparameters sind die Temperaturprofile und die Wärmeübertragungsraten graphisch dargestellt worden. Beim Absaugen ergibt sich eine Erniedrigung der Temperatur und der Wärmeübertragungsrate, während genau das Gegenteil beim Einblasen eintritt.

     

Second-order boundary-layer effects for the unsteady laminar incompressible three-dimensional stagnation-point flow

All the second-order boundary-layer effects on the unsteady laminar incompressible flow at the stagnation-point of a three-dimensional body for both nodal and saddle point regions have been studied. It has been assumed that the free-stream velocity, wall temperature and mass transfer vary arbitrarily with time. The effect of the Prandtl number has been taken into account. The partial differential equations governing the flow have been derived for the first time and then solved numerically unsteady free-stream velocity distributions, the nature of the using an implicit finite-difference scheme. It is found that the stagnation point and the mass transfer strongly affect the skin friction and heat transfer whereas the effects of the Prandtl number and the variation of the wall temperature with time are only on the heat transfer. The skin friction due to the combined effects of first- and second-order boundary layers is less than the skin friction due to, the first-order boundary layers whereas the heat transfer has the opposite behaviour. Suction increases the skin friction and heat transfer but injection does the opposite.

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Grenzschichteffekte zweiter Ordnung für laminare inkompressible dreidimensionale Staupunktströmung

Zusammenfassung Es wurden Grenzschichteffekte zweiter Ordnung bei instationärer laminarer inkompressibler Strömung am Staupunkt eines dreidimensionalen Körpers, sowohl für knotenartige als auch für sattelförmige Bereiche studiert. Dabei wurde angenommen, daß die Freistrahlgeschwindigkeit, die Wandtemperatur und der Stoffübergang beliebig mit der Zeit variieren. Der Einfluß Prandtlzahl wurde mit in Betracht gezogen. Die partiellen Differentialgleichungen welche die Strömung beschreiben, wurden zum ersten Mal abgeleitet und dann numerisch gelöst, wobei ein implizites finites Differenzverfahren verwendet wurde.Es wurde gefunden, daß die Verteilung der instationären Freistrahlgeschwindigkeit die Natur des Staupunktes und der Stofftransport die Wandreibung und den Wärmeübergang stark beeinflussen, während die Prandtl-Zahl und zeitlich veränderliche Wandtemperaturen sich nur auf den Wärmeübergang auswirken. Die Wandreibung infolge der kombinierten Einflüsse von Grenzschichten erster und zweiter Ordnung ist kleiner als diejenige infolge der Grenzschichten erster Ordnung, während der Wärmetransport umgekehrtes Verhalten zeigt. Eine Absaugung erhöht die Wandreibung und den Wärmeübergang Zublasen hat umgekehrte Wirkung.

     

Umströmung beschleunigter und verzögerter Partikeln

Zusammenfassung Die Bewegung von Partikeln ist in technischen Anlagen fast ausschließlich instationär. Insbesondere dann, wenn die Partikeln in Schwärmen auftreten, muß man aufgrund von Zusammenstößen zwischen den Partikeln oder von Partikeln mit einer festen Wand erwarten, daß im periodischen Wechsel Bewegungsabschnitte mit Beschleunigung und Verzögerung auftreten. Diese Bewegungsvorgänge sind für die Umströmung und folglich auch für damit verbundene Wärme- und Stoffübergangsprozesse sowie chemische Reaktionen von großer Bedeutung.Aus diesem Grunde wurden in Teil 1 dieses Berichtes die instationären Bewegungsvorgänge bei Beschleunigung näher untersucht. Besonderes Augenmerk sollte auf die Entstehung und die weitere Entwicklung der Wirbel gerichtet werden, die hinter den Partikeln auftreten.Die mathematische Beschreibung des Strömungsfeldes erfolgt für den Fall der linearen Partikelbewegung unter Vernachlässigung der Schwerkraft. Die numerische Lösung der Differentialgleichungen erfolgte mit Hilfe der Methode der finiten Elemente.Die berechneten Stromlinienfelder vermitteln einen umfassenden Einblick in die Umströmung der Partikeln. Sie lassen bei der Beschleuigung aus dem Ruhezustand die hinausgezögerte Entstehung und dann folgende Entwicklung der Wirbel erkennen. Sowohl die Länge der Wirbel als auch der Ablösepunkt der Strömung von der Partikeloberfläche wurden in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt. Ferner wurde der Widerstandsbeiwert bestimmt. Die entsprechenden Ergebnisse für die verzögerte Bewegung von Partikeln werden in Teil 2 dieses Berichtes diskutiert.

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Fluid flow around accelerated and decelerated particlesPart 1

Fluid flow around particles or the motion of particles in a fluid is in general of unsteady state. Therefore the relative fluid motion around a particle with spherical shape has been studied applying theoretical-numerical methods.Unsteady state motion of the particles is due to collision when moving in swarms or when they collide with a wall. Prior to collision particle motion is decelerated and after collision they will be accelerated because of elastic properties of particle and wall materials. In many cases particle motion occurs in combination with heat transfer.It is well known, that, for steady state conditions, behind a particle vortex formation is observed. Vortex formation is expected to occur for unsteady state conditions in a different way. When the particle is accelerated, vortex formation is expected to be delayed. With decelerated motion vortex formation is expected to take place at a much smaller relative velocity and the vortex should envelope the particle for certain values of deceleration.The theoretical investigation is based on several assumptions. The particle is assumed to move with prescribed velocity on a linear path prior to constant acceleration or deceleration. Finite element methods are applied for solution of the differential equations describing the unsteady state motion.Streamlines give a comprehensive picture of the studied fluid motion. They reveal the expected delay of vortex formation for the case of acceleration and premature formation for the case of deceleration, when motion occurs at a Reynolds-number beyond a certain value. In this case, the vortex will move around the particle and finally completely envelope it. Below this value of the Reynolds-number the vortex, established under unsteady state motion, prior to onset of deceleration, will decade.From the determined fields of streamlines the length of the vortices and the angle of detachment of the fluid from particle surface have been determined for several values of acceleration and deceleration. From the calculated velocity fields the local shear stress and the local and mean values of the resistance factor have been derived.The paper is presented in two parts. The first part includes the physical fundamentals of unsteady state motion of particles, the numerical methods applied for the solution of the problems, and a discussion of results obtained for accelerated particles. The second part includes the discussion of results obtained for decelerated particles.

     

Nonsimilar incompressible laminar boundary-layer flows in micropolar fluids

Summary The solution of the steady laminar incompressible nonsimilar boundary-layer problem for micropolar fluids over two-dimensional and axisymmetric bodies has been presented. The partial differential equations governing the flow have been transformed into new co-ordinates having finite range. The resulting equations have been solved numerically using implicit finite-difference scheme. The computations have been carried out for a cylinder and a sphere. The results indicate that the separation in micropolar fluids occurs at earlier streamwise locations as compared to Newtonian fluids. The skin friction and velocity profiles depend on the shape of the body and are almost insensitive to microrotation or coupling parameter, provided the coupling parameter is small. On the other hand, the microrotation profiles and microrotation gradient depend on the microrotation parameter and they are insensitive to the coupling parameter.

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Zusammenfassung Es wird die Lösung des stationären Grenzschichtproblems inkompressibler mikropolarer Flüssigkeiten für den Fall der Nichtähnlichkeit bei zweidimensionalen und achsensymmetrischen Körpern vorgelegt. Die dem Problem zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichungen werden durch Einführung neuer Koordinaten auf ein endliches Gebiet transformiert. Die so erhaltenen Gleichungen werden mit Hilfe eines impliziten Differenzenverfahrens numerisch gelöst. Die Rechnung wird für den Zylinder und die Kugel durchgeführt. Die Ergebnisse zeigen, daß die Grenzschichtablösung früher erfolgt als bei vergleichbaren newtonschen Flüssigkeiten. Wandreibung und Geschwindigkeitsprofile hängen von der Gestalt des Körpers ab und sind nahezu unempfindlich gegen Mikrorotation und Kopplungsparameter, vorausgesetzt, daß der letztere klein ist. Dagegen hängen das Profil und der Gradient der Mikrorotation vom Parameter der Mikrorotation ab und sind ebenfalls unempfindlich gegen die Kopplungsparameter.

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With 6 figures     

Untersuchungen zur statischen Druckmessung in turbulenter Strömung

Zusammenfassung Statische Drucksonden versagen wegen ihrer Richtungsempfindlichkeit im allgemeinen bei der Messung in stark turbulenten Strömungen. In der vorliegenden Arbeit wurde versucht, die auftretenden Fehler als eine Turbulenzabhängigkeit des Eichfaktors der Sonde aufzufassen, die bei der Auswertung der Messungen in Rechnung zu ziehen ist. Es wurde für die Untersuchungen eine Sonde benutzt, die lediglich auf die turbulenten Schwankungen in einer einzigen Richtung senkrecht zur Hauptströmungsrichtung reagiert. Zur Messung dieser Querschwankungen wurde eine besonders für ebene Strömungen brauchbare Turbulenzsonde entwickelt. Durch Ausmessung der Mischzonen zweier Luftströme von verschiedenem Querschnitt mit der statischen Sonde, der Turbulenzsonde und einem Pitotrohr wurde die Abhängigkeit des Beiwertes der statischen Sonde von den turbulenten Querschwankungen in einer Eichkurve festgelegt. Dabei waren die zugrunde gelegten statischen Drücke nach der Tollmienschen Theorie für das ebene Mischgebiet eines unendlich ausgedehnten Luftstromes mit der angrenzenden ruhenden Luft berechnet. Es war durch Kombination der Messungen mit den drei genannten Sonden auf Grund der Eichkurve möglich, den statischen Druckverlauf in dem durch ein Gitter aus äquidistanten zylindrischen Stäben hervorgerufenen Strömungsfeld zu erhalten. Die Messungen wurden in zwei Versuchsreihen durchgeführt: erstens im Freistrahl, zweitens zur Vermeidung einer dort auftretenden Kontraktion in einem geschlossenen Kanal.Um eine Beurteilung der hinter dem Gitter gemessenen Drücke zu ermöglichen, wurde die hier auftretende Strömung auf Grund des Prandtlschen Mischungswegansatzes in erster und zweiter Näherung aus den hydrodynamischen Bewegungsgleichungen berechnet. Die so erhaltene Theorie gibt die wirklichen Verhältnisse hinter dem Gitter in einer Entfernung von viermal Gitterteilung ab gut wieder.Göttinger Dissertation. Referent: Prof. Dr.L. Prandtl.     

Einige Beispiele zur Stabilitätstheorie von Strömungen an konkaven und erwärmten Wänden

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die von H. Görtler aufgezeigte Analogie zwischen der Instabilität laminarer Strömungen an konkaven und erwärmten Wänden gegenüber longitudinalen Wirbeln untersucht. Im Rahmen einer linearisierten Störungstheorie und bei Beschränkung auf kleine Wandkrümmungen und kleine Temperaturdifferenzen erweisen sich die Stabilitätstheorie der Strömungen an konkaven Wänden und die Theorie der thermokonvektiven Stabilität als völlig analoge Fragestellungen. Konkave Krümmung bzw. Wanderwärmung wirken destabilisierend, konvexe Krümmung bzw. Wandkühlung dagegen stabilisierend; dabei kann die stabilisierende Wirkung des einen Effekts durch die destabilisierende Wirkung des anderen überboten werden.Die Analogieaussage wird unter geringen Einschränkungen in Strenge bewiesen. Ferner werden numerische Ergebnisse für den Fall der Strömung zwischen zwei koaxialen, rotierenden Zylindern, der Strömung in einem gekrümmten Kanal und der Grenzschichtströmung an einer konkaven Wand mitgeteilt. Zum Schluß wird die Strömung über eine gegen die Horizontale geneigte und erwärmte Platte untersucht. Die theoretischen Ergebnisse über die instabilste Wirbelanordnung werden mit den experimentellen Werten von T. Terada verglichen. Es ergibt sich für nicht zu dicke Flüssigkeitsschichten gute Übereinstimmung.Aus dem Institut für angewandte Mathematik der Universität Freiburg und dem Institut für angewandte Mathematik und Mechanik der DVL an der Universität Freiburg. Diese Untersuchung wurde vom Wirtschaftsministerium des Landes Baden/Württemberg gefördert.     

Genäherte Berechnung von Wärmespannungen mit Hilfe der Variationsprinzipien der Elastostatik

Zusammenfassung Mit Hilfe von einfachen Näherungsansätzen, die in die, einem jeweiligen Problem zugehörigen Variationsintegrale eingeführt werden, kommt man im allgemeinen zu ausgezeichneten Approximationen. Neben der dem Ritzschen Verfahren entsprechenden Methode, Näherungsansätze bis auf willkürliche Konstanten vorzugeben, die dann aus Extremalbedingungen berechnet werden können, scheint vor allem das im letzten Abschnitt geschilderte Verfahren, das auf einfach lösbare Differentialgleichungen für die Näherungsfunktionen führt, eine besondere Bedeutung auch für andere Probleme der Elastizitätstheorie zu haben.Gekürzte Fassung einer von der Technischen Universität Berlin, Fakultät für Bauingenieurwesen, genehmigten Habilitationsarbeit. Der Verfasser spricht hiermit den Berichtern, Herrn Prof. I. Szabó und Herrn Prof. A. Teichmann seinen Dank aus.     

Zur Berechnung der kritischen Geschwindigkeit der reibungs- und relaxationsfreien thermochemischen Gasströmung durch Rohr und Düse

Zusammenfassung Die kritische Geschwindigkeit der Rohr- bzw. Düsenströmung eines chemisch veränderlichen Gasgemisches wird unter den Annahmen des permanenten chemischen Gleichgewichts, der Reibungslosigkeit und stationärer Verhältnisse nach der Stromfadentheorie berechnet und mit der Schallgeschwindigkeit verglichen. Es zeigt sich, daß die kritischen Geschwindigkeiten mit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit niederfrequenter Schallwellen über-einstimmen, in denen das chemische Gleichgewicht der Zustandsänderung ohne Verzögerung folgt.Die Rechnung wird am Beispiel der Strömung von CO₂ bei 2000° K und l Atm. unter Dissoziation in CO und O₂ erläutert. Hierbei ist die Schallgeschwindigkeit bei konstanter chemischer Zusammensetzung um etwa 0,5% höher als die kritische Strömungsgeschwindigkeit, was man mit dem höheren Wert der spezifischen Wärmen im Falle des Dissoziationsgleichgewichts erklären kann.     

Wärme- und Stoffübergang im Wasser/Ammoniak-Rieselfilm an glatten und rauhen Rohroberflächen

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird der Wasser/Ammoniak-Rieselfilm an vertikalen Verdampferrohren betrachtet. Wärme- und Stoffübergangskoeffizienten bei der Desorption an glatten, sandgestrahlten und gerändelten Rohren sowie an einem Stachelrohr werden experimentell ermittelt und mit Literaturwerten verglichen. Die Experimente decken den laminar-welligen Strömungsbereich und Konzentrationsbereiche zwischen 45 und 70 Gew.% Ammoniak ab. Verglichen mit anderen Stoffpaaren wurde am glatten Rohr ein deutlich erhöhter Stoffübergang festgestellt. Der Wärmeübergang unterscheidet sich demgegenüber nicht wesentlich von Meßwerten in anderen Stoffsystemen. Der Einfluß aufgerauhter Oberflächen führt in erster Linie zu einem verbesserten Wärmeübergang. Erst eine direkte Störung der gasförmig-flüssigen Phasengrenze beschleunigt den Stofftransport durch den Film.

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Heat and mass transfer in water/ammonia falling films at smooth and rough tubes

The present paper studies the water/ammonia film falling down along evaporation tubes. Heat and mass transfer coefficients with smooth, sandblasted, knurled and spine tubes were measured and compared to values found in literature. The experiments cover the laminar-wavy flow range and the concentration range between 45 and 70 weight percent of ammonia. Compared to other working mixture pairs the mass transfer with smooth tubes is clearly higher in the water/ammonia film. The heat transfer, however, does not vary substantially compared to the values of the other liquid mixtures. Knurling the wall improves primarily the heat exchange. But only a direct disturbance of the gaseous-liquid interphase did result in a considerably accelerated mass transfer through the film.

     

Conjugate natural convection between horizontal concentric cylinders filled with a porous medium

A conjugate problem of natural convection between two horizontal concentric, isothermal cylinders filled with a fluid-saturated porous medium is studied. The flow field and energy equations are solved under the conditions of equality in temperature but with jump in heat flux at the fluid-solid interface. Numerical results by a finite-difference technique are presented for a large variation in the parameters entering the problem. A comparison of the solution with non-conjugate problem is also given.Das konjugierte Problem der freien Konvektion zwischen zwei horizontalen, konzentrischen, isothermen Zylindern, die mit einem fluid-gesättigten porösen Medium gefüllt sind, wurde hier untersucht.Das Strömungsfeld und die Energiegleichung sind unter den Bedingungen gelöst worden, daß die Temperatur gleich ist, aber ein Wärmeflußsprung am Übergang von der Flüssigkeits- zur Festphase stattfindet. Die numerischen Ergebnisse werden mit dem Finite-Differenzen-Verfahren für viele Parametervariationen dargestellt. Zudem wurde ein Lösungsvergleich mit einem nicht konjugierten Problem gegeben.