正四面体外接球面上点的有趣性质

本文介绍正四面体外接球面上点的一个有趣性质,其论证过程十分巧妙。 性质 正四面体外接球面上任一点,到各顶点距离平方和为定值。 已知A—BCD是棱长为a的正四面体,P是其外接球面上任一点。     

奇妙的定值

文[1]、文[2]中分别证明了正四面体的同心球(球心为正四面体的中心)上任一点到该正四面体每个顶点、每个面的距离的平方和均为定值.对此,笔者进行了探究和引申,得到了几组关于正多面体的命题.命题1已知O为正多面体B1-B2B3…BV-1-BV的中心(V为正多面体的顶点数),点P为正多面体同心球上的任意一点,若→OP与→OBi(i=1,2,3,…,V)所成的角分别为     

一个定值命题的再推广

文[1]将一个定值命题的系列研究([2]～[4])的结论进一步推广至多边形和多面体中,即有命题1在同一平面内的线段A1B1,A2B2,…AnBn相交于O,且均被点O平分.以O为圆心的圆半径为r,则该圆上任一点与多边形A1A2…AnB1B2…Bn各顶点连线段长度的平方和为定值.命题2不在同一平面内的线段A1B1,A2B2,…,AnBn相交于O,且均被点O平分.以O为球心的球半径为r,则该球面上任一点与多面体A1A2…AnB1B2…Bn各顶点连线段长度的平方和为定值.     

正棱锥的一个有趣性质

正棱锥的一个有趣性质４１４１１３湖南岳阳县六中李抗强阅读文［１］深受启发．得到正核准的一个有趣性质，奉献给读者．定理正棱锥Ｖ—Ａ１Ａ２…Ａ．Ｏ为高线ＶＯ上使ＶＯ：ＯＯ＝ｎ的点．Ｐ为以Ｏ为球心以Ｒ为半径的球面上任意一点．则Ｐ点到正棱锥各顶点的距离平方和...     

正方体外接球面上点的两个性质

正方体外接球面上点的两个性质１５７０４１牡丹江农业学校姜卫东，于桂萍定理１正方体棱长为ａ，Ｐ为其外接球面上任意一点，则Ｐ到正方体各顶点距离的平方和为正方体表面积的２倍．证明如图建立空间直角坐标系．则有Ａ（０，ａ，０），Ｂ（ａ，ａ，０），Ｃ（ａ，０，０...     

一类定值问题在圆锥曲线中的推广

文[1]将一些特殊平面图形或空间几何体的定值性质的一系列研究([2]?[4])结论推广到三角形、四边形、正多边形、四面体的“重心圆(或重心球)”,即命题1[1]以三角形(平面四边形、平面正多边形、四面体)的重心为圆(球)心的任意圆周(球面)上的点到三角形(平面四边形、平面正多边形、四面体)各顶点的距离的平方和为定值.     

正四面体外接球的几个不变量

本文给出了正四面体外接球面上点的三个性质，得到了三个不变量(定值)，并利用向量给予证明．     

正多边形的两个优美定值

文[1]中的定理1如下： 若正三角形的边长为a,以其中心为圆心的圆半径为r,则该圆上任意一点与该正三角形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均为定值．     

一个有趣性质的拓广

读贵刊1994年第2期《矩形外接圆周上点的有趣性质》(以下简称《有趣性质》)一文,笔者发现文中结论仍是一种特殊情形,很容易拓广为更一般的结论.《有趣性质》一文主要证得了一个引理及一个定理,即命题1　矩形外接圆周上任一点,到各顶点距离的平方和为定值.命题2　矩形外接圆周上任一点,到各边中点距离的平方和为定值.这两个结论告诉我们:矩形外接圆周上任一点到矩形四条边的端点及中点的距离的平方和均为定值.很容易提出:矩形的四条边上的其它点是不是也具有这样的性质?还可提出:是不是仅仅是矩形外接圆周上的点才具有这样的性质?定理1　P为…     

一个有趣性质的再推广与证明

《数学通报》2 0 0 0年第 6期《一个有趣性质的拓广》中的命题 1　矩形外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .命题 2　矩形外接圆周上的任一点到各边中点的距离的平方和为定值 .可作进一步的推广 .命题 1′　关于原点成中心对称的多边形的外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .证明　如图所示 ,设ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 为关于原点成中心对称的图形 ,点Ｐ(ｘ ,ｙ)为其外接圆上的任一点 ,角θｉ- 1 为有向角 ,记θｉ- 1 =∠Ａ1 ＯＡｉ,｜ＰＡｉ｜为点Ｐ到点Ａ的距离 .则∑ｎｉ=1｜ＰＡｉ｜2= ｘ-Ｒｃｏｓθｉ- 1 2 …     

多边形与多面体的优美定值

文[1],[2]分别给出了正三角形和正四面体、正方形和正方体的定值性质.文[3]将结论做了进一步推广,给出了平行四边形和平行六面体的类似定值性质.笔者在此将上述结论作更进一步推广,并就文[2]和文[3]性质的证明中笔者认为值得商榷的地方作一说明.     

平行四边形与平行六面体的两个性质

性质1若平行四边形的两条对角线长为定值且相交于点O,以O为圆心的圆半径为r,则该圆上任意一点与平行四边形各顶点连线的距离平方和为定值.证明如图1,不妨设AC=2a,DB=2b,则OA=OC=a,OB=OD=b,PO=r.     

Rn空间中单位球面覆盖的半径问题

Banach空间X中的一个闭球族B是X的球覆盖，如果B中的任一元素不包含原点作为其内点，且B中元素之并覆盖了X的单位球面炙．一个球覆盖B称为是极小的当且仅当B的势小于或等于X中所有球覆盖的势．文献[1]证明了在R^n中球覆盖的极小势为n＋1，本文重点利用文献[4]所给出的n维空间中n-单形与其外接超球面间的若干关系，证明了在有限维欧氏空间R^n中极小球覆盖的最小半径为n/2，且当极小球覆盖中（n＋1）个球的球心恰好为球面詈＆的内接正则n-66单形的顶点时可以取到．     

矩形外接圆周上点的有趣性质

矩形外接圆周上点的有趣性质刘清阁（吉林省白城地区教育学院１３７０００）引理矩形外接圆周上任一点，到各顶点距离的平方和为定值，已知：如图１，Ｐ为矩形ＡＢＣＤ外接圆周上任一点，Ｏ半径为Ｒ．求证：ＰＡ２＋ＰＢ２＋ＰＣ２＋ＰＤ２＝８Ｒ２．证由勾股定理易得结论...     

正多边形的一个性质

文[1]给出了“正三角形各顶点到其外接圆上任意一点的切线的距离之和为定值”这一结论的推广.本文将其推广到一般情形. 引理 设自然数n≥3,a为实常数,记     

评析2007年安徽省高考(理科)数学试题

2007年安徽文、理科高考数学试卷中出现了不少创新题,这些题目立意新,情境新,构思精巧,背景公平,令人耳目一新,值得玩味.现撷取几道试题,以飨读者.第(8)小题半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点,则A与B间的球面距离为()(A)arccos(-53).(B)arccos(-63).(C)arccos(-13)     

正多边形一个优美定值的研究性学习

普通高中课程标准实验教科书数学选修4—4人教A版《坐标系与参数方程》第26页习题2．1第3题，是一道证明正三角形外接圆上的任意一点到三个顶点的距离的平方和为定值的题目，该题短小精悍、背景深远、内涵丰富，是引导学生进行探究性学习的好素材，通过此案例的研究性学习.     

四面体的内心和旁心的坐标公式

笔者在文 [1]中给出了三角形特殊点的一般坐标公式 ,本文将给出四面体的内心和旁心的坐标公式 .四面体的内切球心是和各面的距离相等的一点 ,它是各二面角的平分面 (共 6个 )的交点 .引理　四面体的二面角的平分面与对棱的交点把对棱分成两段的比等于该二面角的两面面积的比 .证明　如图 1,四面体 ABCD中 ,二面角B— AD— C的平分面ADP1交对棱 BC于 P1,我们将证明 BP1P1C=S3S2 .　 1图 1其中 S2 、S3是顶点 B、C的对面的面积 .类似地 ,顶点 A、D的对面的面积用 S1、S4 表示 .令 P1到面 S3、S2 的高为 h3、h2 .∵　 BP1P1C=VB…     

外莫莱三角形的一个性质

将ABC的各外角三等分，每两个外角的相邻的三等分角线相交得DEF，称之为西ABC的外莫莱三角形．由文[1]知AD、BE、CF相交于一点．对于△ABC的外莫莱三角形△DEF,有如下性质．定理△ABC与其外莫莱三角形△DEF对应顶点连线AD、BE、CF共点于西ABC的内心的充要条件是bABC为正三角形．记bABC的三内角为A、B、C，定理的证明需用到如下事实：，＿。。＾．＿＿。＿，L—B、－1引理1在西ABC中，有sinz（士丁Q）＜十，同理可证其它两丸定理的证明：必要性容易证明，这里从略，下证充分性．本文绘出了文［2］提出的一个猜想的证明…     

共球有限点集重心的一个性质——“数学问题”第1753题的推广

1 引言及有关定义 <数学通报>2008年第9期刊登的"数学问题"第1753题是: 求证:正四面体各顶点到其外接球的任一切面的距离之和为定值. 问题提供人在解答过程中用到了下面的距离公式[1].