一道高中联赛题的几种新证法

1题目如图1，已知两个半径不等的圆O1与圆O2相交于M、N两点，且圆O1与圆O2内切于S、T两点，求证：OM上MN的充要条件是S、N、T三点共线（满分50分，命题组供题）这是1997年全国高中联赛第二试中第一大题，命题组为改卷提供的参考答案只有一种证法【’］．其实，平面几何问题，常无定法，从不同角度去思考，往往可以发现多种途径，有的还是很简捷的证法．本文除了给出几种不同于上述参考答案的新证法以外，还用根轴的知识给出了一个最简证法．2充分性证明的简化在证充分性时，需要先证OO．NOZ是平行四边形原证法是利用面OISN，凸OZ…     

组合数公式的变形与组合数数列求和

组合数公式的变形与组合数数列求和胡岩火（浙江省永康二中３２１３００）高中代数课本第三册介绍了组合数公式：以及直接利用它求值、证明简单恒等式的例子．本文深入探研此公式的功能，通过对它的恒等变形，挖掘它在组合数数列求和方面的应用，从而使我们对组合数公式的...     

一道分式不等式的新证及改进

一道分式不等式：设文［1」、［Zj曾给出证明．本文将原不等式改进为再给出两种证法．先看三个引理：引理1设α1≥α2≥…≥αn＞0，0＜证明可参见［3」．引理2设αi、bi．证明可见[4]．引理3设αi、简证依引理2，并注意到幂平均不等注由题知，易得n—a＞0，而（此处由n（xf十送十…十米）＞（x；十Q＋…＋1）‘，知nb＞a‘，或nb—a‘＞0．）证法2P同证法1．不妨设x；＞x，＞…＞x－＞0，方知于是依弓l理1及幂平均不等式一道分式不等式的新证及改进@孙建斌$福建省泉州市永春县科委!3626001李长明.的灵活运用.中学数学(湖北),1996,2 2…     

对一道猜想题的进一步加强

文[1]曾提出如下猜想，即Shc43（b）在ABC中，证明或否定其中ma、mb、mc、ra、rb、rc分别表示BC、CA、AB边上的中线及旁切圆半径．（1）式是成立的，笔者在寻求不等式（1）的证明过程中，注意到即有4mbmc≤2a2＋bc，类似还有两式，由此得到了较（1）更强式：今证（2）式．由对称性，不妨设a≥b≥c，应用旁切圆半径公式及半角三角函数有关公式，得到由对称性，不妨设a≥b≥c，则（2）式获证．由于（2）式kb（1）式强，故知（1）式成立．对一道猜想题的进一步加强@褚小光$江苏省吴县市外贸公司!2151281刘健.100个待解决的三角形不等式问题…     

对一个问题的探究

张永栋老师在《巧作“抽屉”妙证一赛题》（见《中学数学月刊》98年第1期）一文中巧妙地解决了如下问题：在1～100这一百个自然数中，任取18个，证明一定存在四个数，其中有两个数之差等于另两个数之差（这里规定：差是大数减去小数之差）作者并提出了一个未解决的问题：对任取18个数，能否再减少些仍使命题成立？本文作出了肯定的回答，并给出了它的一般定理为叙述方便起见，先从这个实例谈起例在1～100这一百个自然数中，任取16个，证明一定存在四个数，其中有两个数之差等于另两个数之差（这里规定：差是指大数减去小数之差）．证国1—10…     

一道三角不等式的简证

1996年，湖北周永良在全国第三届初等数学研究学术交流会论文集中提出了一对十分有趣的不等式：在锐角上△ABC中，有等号成立当且仅当△ABC为正三角形．1997年，江西辛秋生对（1）式又给出了一种漂亮的证法[1]．受其启发，笔者发现了（2）式的一个简单的证明．兹介绍于下．证明因在关于正数x、y、z的常见不等式（等号成立当且仅当x＝y＝z）中取x＝tgB＋tgC，y＝tgC＋tgA，z＝tgA＋tgB，即知（3）式成立．从而，（2）式成立．一道三角不等式的简证@宋庆$江西省永修一中!3303041辛秋生．一道三角不等式的新证法．中学数学（湖北），1997…     

一道课本习题的教学思考

一道课本习题的教学思考５５３４００贵州省六枝特区一中王尚江问题提出高中《代数》下册Ｐ１３２第３１题第（１）小题：用数学归纳法证明：证法分析这是一道看似平淡无奇，实则是回味无穷的好题．在进行综合复习时，学生也许会问，除了用数学归纳法证明此题之外，还可用...     

97年考研数学试卷(一)第六大题(2)的多种证法

此题满分为8分，根据评卷抽样结果，陕西考生平均只有2.9分，得分率是0．36．这个成绩居十个大题中得分车倒数第二位。本文介绍的四种证法，其中第一种是原标准答案。第六题（本题满分8分）证明（1）lima。存在；（2）级数证明（l）因A故如。｝单调递减有下界。所以！ima。存在。不难求得limeqCI．（2）证法1利用比较审敛法。由（l）知因为lima．＋；＝l，故tims．—2—1—1，所以级数】（a。－a。＋；）一l，收敛。日回归——问1伎～目一1因此由比较审效法知，级数XI干L一fi收敛。证法2利用比值审敛法及极限运算法则。又由（1）知人、l…     

一类组合数和的求法

一类组合数和的求法王惠明（浙江省鄞县姜山中学３１５１９１）高中代数第三册Ｐ８３有这样一道习题：证明．这道习题实质上就是求左边这些组合数的和，而这些组合数前面的系数往往有一定的规律．本文拟对这类组合数求和问题的解法进行一些探讨．如果组合数前面的系数成常...     

一个不等式的简证

一个不等式的简证５４３２００广西岑溪县第二中学苏进文此题是苏州大学《中学数学）１９９２年第５朗Ｐ．１０上的一道习题，原证法是通过构造三角形证明的，但很繁杂．本刊在１９９３年第６期Ｐ．５又介绍了此题一仲较简便的复数证法．这里将再给出一种极为简捷的直接证...     

关于三角形中线的一个不等式链

关于三角形三中线和与三边长关系，笔者最近又得到一个有趣的不等式，即以下定理设△ABC三边长为BC＝a，CA＝b，AB＝c，其对应边上的中线分别为m_a、m_b、m_c，则当且仅当△ABC为正三角形时，（1）、（2）两式取多号（以上Σ表示循环和，下同）．证明先证（1）式．根据三角形中线公式，很容易得到以下恒等式：（这里△表示△ABC的面积）．由此得到类似还有两式．于是有由此可知，要证（1）式，只需证因此④式成立，（）式获证，由证明中易知，当且仅当凸＊＊C为正三角形时（）式取等号．这时顺便指出，上述①式在证明三角形中线不等…     

巧用卢卡斯数列解题

卢卡斯数列其通项公式为：该数列性质丰富，应用广泛．本文巧妙地利用它来解题，简洁明快、别具一格．例1化简（数学通报1993年第3期《根式的化简》一文例1）故原式注：此题运用了卢卡斯数列的性质例3试证：对任意的自然数n，数1＋能被2~n整除（［x］表示x的整数部分）．（第17届全俄中学生数学竞赛题第3阶段试题）证明注：类似地还可以证明：兰nR正整数的，大于（3＋、了）‘”的最山整数能被2’。整除．（1987沃苏州高中数学亮慕题〕巧用卢卡斯数列解题@李显权$四川省富顺师范学校!643200     

竞赛题的另证

本人阅读了吕建恒老师的《中学生数学》2008年9月上（高中）的《一道加拿大奥赛题的证明思路及方法》受益非浅,现我补充下列证法供同学们交流与参考．为了方便,录入原题如下：     

调和级数sum from n=1 to ∞(1/n)发散性的两种简单证法

引理1设有两个收敛级数：则级数也收敛,其和为引理2收敛级数在不改变各项顺序下加括弧号后所成的新级数仍收敛于原来的和．引理3若级数收敛,则组数（k为常数）也收敛,以上三个引理的证明见一般高数教材．下面用反证法给出调和级数发散性的两种证明．（2）式-（1）式,再结合引理1知这等式显然矛盾．故发散的．证法。设2上收敛分别是否“的前n项与前2顶之和．由收敛的定义知由极限保序性知最后再指出一种用几何平均值与算术平均值的关系的证明方法．是发散的调和级数sum from n=1 to ∞(1/n)发散性的两种简单证法@周世国$郑州工业大学@成…     

构造模型 巧妙证题

构造模型巧妙证题林鸿熙（福建莆田高专３５１１００）构造模型证题是一项重要的创造性思维活动，当常规证法难以解决问题时，可根据题设条件、结构、数量关系、欲证结论，合理地构造模型使问题转化，借助对模型的研究，使问题得以证明．它不仅可以打破常规、创新情境、另...     

用不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|解题

（事实上，也成立，证明略）在高中《代数》下册不等式一章给出，教材主要研究了它在绝对值不等式证明中的运用．而在其它方面的运用几乎没有涉及．有关资料一般也未作探讨，为了强化《考试说明》中提及的这一重要基础，下面就其运用举例说明．1证明不等式例1用数学归纳法证明：（1985年全国高考上海试题）证明（1）n=1时，不等式显然成立．（2）假设成立，那么n＝k十1时，＜Silk。OSSI＋ICOSk。i。l＜ksinxl＋Dsinx【＝（k＋1）Isinx【．不等式成立．综合（1）、（2）有lsinn6I。nlsin8I．NZ已知a、b、c是实数，函数（1996年全国（3…     

转变观念拓广思路证题

证明与自然数有关的等式或不等式 ,一般用数学归纳法 ,但用此法证有时会碰壁或运算繁杂或效果欠佳 .若转变观念 ,跳出定势思维的束缚 ,采取求异思维 (即发散思维 ) ,积极探索别的证题途径 ,往往会得到新颖、简捷的证明 .1　构造数列例 1　求证 1· 2 · 3 2 · 3·4 … ｎ(ｎ 1 ) (ｎ 2 ) =14ｎ(ｎ 1 ) (ｎ 2 ) (ｎ 3) (高中代数课本下册Ｐ1 32 ) .分析　课本上用数学归纳法证 .是否有其它证法呢 ?观察此数列有 3个特点 :(1 )共有ｎ项 ,各项的因数个数相同 ;(2 )各项的第一、第二、第三个因数分别组成公差相同的等差数列 ;(3)从第 2项起 …     

凑配均值不等式常用的变形技巧

（a1，a2，…，an是正数，n∈且≥2）解证有关不等式问题，常常无法直接解决，而是先将解证的不等式进行适当的变形，凑出均值不等式的条件，再用均值不等式解决．这时，恰当的变形便成为解题的关键．下面介绍七种常用的变形技巧．1补项例1已知X＞-1，且x≠0，n∈N，求证：（1＋x）n＞1＋nx．证明例2设x1，x2，…，xn。都是正数，证明：2拆项例3已知a、b∈R ，且a≠b，求证：证明a5＋b5例5已知a、b、c∈R ，且a＋b＋c＝1，求证：证明例8已知a＋b＋c—1，＄证：rt‘＋b‘＋C‘MM．证明”．”1一（a＋b＋c）‘一a‘＋b’＋c’＋Zab＋Zbc＋…     

用组合数解数列求和问题

数列求和是数列中很重要的一项内容,求和的方法也是多种多样．现谈一下用组合数求数列和的一类问题,先看两个例题．例1 已知数列{an}通项为an=n(n 1), 求前n项和Sn．分析我们一般习惯应用错位相减法,但对于这种求和也可以应用组合数．     

从一道不等式的证明谈由基础到能力的培养

1997年全国高考数学理科第（24）题，是一道综合性较强的压轴题，此题考生的得分率极低：得0、1、2分占绝大多数；极少学生得满分（12分）．其根本原因恐怕还是基本知识、基本方法没有真正掌握或掌握得不牢（不熟练）．事实上，用二次函数及方程根与因式分解的关系的知识，便易有由此式用证不等式的基本方法：比差法，即有标准答案的解答；或者，直接由基本知识：求根公式和根与系数的关系，用比差法，稍作变形也易得证（考卷情况分析表明：考生证出此题的，大多是用此方式获得的）．由干篇幅所限，此不赘述，可参阅各中数期刊的有关文章．…