一個組合問题

有一個問題:“以20冊數學通報任意分配給37個圖書館,有多少種方法?”這個問題的解決,一般說來,與下面所述是完全相同的,即:設有p個正整數r_1,r_2,r_3,…r_p,其中可以有零和相等的,不過,它們之間有一個關係式r_1+r_2+…+r_p=n…(1) 存在,n是一個給定的正整數,則能適合(1)的r_1,r_2,…,r_p的組數為H_n~p=C_(n+p-1)~p。 現在把這結果稍加推廣:設有p個正整數r_1,r_2,…,r_p,其中可以有相等的,但是每一個都不准小於一個給定的正整數a,而且它們之間仍有關係式(1)存在,n是一個給定的不小於p·a的正整數,試求能適合(1)的r_1,r_2,…,r_p的組數。 關於這個問題,我們這樣來討論:依假設,r_1,r_2,…,r_p都不准小於a,也就是說,它們的值至少是a。     

一道面积等分题的变迁

东阳市2003年初二数学考试有这样一道题目:如图1,在五边形ABCDE中,∠B=∠E-90°,AB=CD=AE=BC DE=2. (1)求五边形的面积; (2)求证:CA平分∠BCD,DA平分∠CDE; (3)若ABCDE是菜地:你怎样平分给两户农民? 老师给出的参考答案是:     

關於k進表示法的一個問题

<正> §1.設k>1是一個固定的正整數,則每一個正整數x都可以唯一地表成 x=a_1k~n1+a_2k~n2+…+a_1k~nt,其中n_1>n_2>…>n_t≥0都是整數;a_1,…,a_t也都是正整數且≤k-1.我們令,並令.在k=2的情况,文[1]的作者們證明了     

n維向量間的一個問题

本文是討論4個n維向量問的一個問題,具體地來說,就是定理:設A=(a_1,a_2,…,a_n),B=(b_1,b_2,…,b_n),X=(x_1,x_2,…,x_n)和Y=(y_1,y_2,…,y_n)為4個非零的n維向量,其向量分適合 (1) a_ib_j+a_jb_i=x_iy_j+x_jy_i(i,j=1,2,…,n)之諸關係式:那麼A,B一定分别和X,Y或Y,X成比例,即必有二數λ≠0,μ≠0致A=λX,B=μY,或A=λY.B=μX。 證明:當n=1時,A=(a_1),B=(b_1),X=(x_1),Y=(y_1)。因題設A,B,X,Y均非零向量,故此時應為a_1b_1x_1y_1≠0,故A=λX,B=μY或A=σY,B=γX之4個異於零之數λ,μ,σ,γ之存在甚為顯明,此即示定理對於一維向量來講是成立的——實際上,由於(1)的原故,此時還顯然有λμ=1或σγ=1。今用數學歸納法假定定理對於n-1維向量而言是成立的,而來考察適合關係式(1)的4個n維向量A,B,X和Y。因A為非零向量,故它必至少有一個向量分     

一种求解直角三角形边长问题的公式

<正>众所周知,根据勾股定理,在已知直角三角形两条边的情况下,很容易求解出第三条边.那么如果只知道直角三角形一条边的长度(通常为最短边),且该直角三角形的三条边均为自然数,应如何求解另外两条边的长度呢?我介绍一种很有效的求解公式,设已知的最短边为a,未知的     

單用一圓規作圖問题

本文目的:在闡述單用一圆規所能作的圖形的範圍。本文结论:凡能用直尺圆規作出的點,單用一圆規也能作出。凡能用直尺圆規作出的點都不外乎三種情况:ⅰ.直綫與圆的交點;ⅱ.直线与直线的交點;ⅲ.圆与圆的交點。情况ⅲ可單用一圆規作出其理自明,不必再證;而直线又總是聯结二點作出的。因此,要達到上述結論,只須也是必須證明以下兩點:     

一个初等概率問题

在实际工作中,我們碰到这样一个初等概率問題,下面是它的一个数学模型: 有1000匣球,其中每匣有相同颜色的球10个;而每二匣球的顏色是不同的,今将这1000匣球改裝成200箱,每箱有球50个,并且不准有二个球的顏色是相同的。現在从这200箱中任意除去120箱,在这余下的80箱球中     

二次方程中的物理問题

在現有的各种代数习題集中,除了关于均勻运动的問題外,物理問题所构成的二次方程只有很少的一些。在(?)拉利切夫的习題集中比其他的还稍微多些。但是在他的109个題目中,若不算均匀运动的問題吋,共有9个。下表說明在这几个問題中,是如何采用了物理定律的:     

數学問题解答

下面的問題,提供讀者解答,但解答不必寄来,本期答案将在1960年4月号发表。欢迎讀者提出适合中学数学水平的问题。来信請寄至北京德胜門外北京师范大学数学系轉数学通报数学問題解答栏。 1960年3月号問题 437.解方程(x+7)~5+(x+8)~5=(x+4)~5++(x+5)~5+546。(南昌第四中学王錦和提) 438.証明,三角形ABC的面积等于     

一类边值问题的求解公式

本文利用保角变换给出解决“二边形”的狭里赫利问题,从而为解决这一类边值问题提供了统一的简捷的方法。     

韩信点兵问题的求解公式

韩信点兵问题是研究带有余数的除法问题,有一定难度且比较抽象,其解决需要一定的解题技巧.近期笔者将多个带有余数的除法问题统一起来进行思考,并获得了具有两个余数问题的一个求解公式,统一地解决了该问题.公式的推导采用比较简单的方法,只用到基本的代数运算,该公式适用于一切有关的韩信点兵问题.文中给出了韩信点兵问题有解的条件：各除数两两互质.进一步提出韩信点兵问题和不定方程之间是互相可以转换的.它们实际上是同一个问题的两个方面,只是求解的未知数不同而已.     

Lax方程组的求解公式

本文给出了一些著名的非线性演化方程的Ｌａｘ方程组求解公式．利用这些公式，只需算积分就能不断求得这些方程的解．从而提供了利用Ｌａｘ方程组求解非线性方程的新途径．     

一题多解之求证平方和公式

<正>~~     

一个纵橫排列問题

纵横图是中国古代数学家所发現的。它是指把n~2个連續自然数(特别是1,2,3,4,…,n~2)排列在正方形內,使各行、各列及各对角綫上的数目之和相等。如果略加修改为“把从1起的連續的n~2个自然数排列成方陣,使各行、各列及各对角綫上的数目之和全为素数”,这就成了一个頗为有趣的数論問題。不但如此,我們还可要求得更多一点;除上述条件外,还可使其符合“各行、各列及各对角綫上的数目的平方和全为素数”。符合这种条件的排列是否存在呢?答案是肯定的。下表中給出了从1到25为止的5~2个自然的数     

行列式論中之一問题

<正>§1.1867年Sylvester發表了一篇論文,這篇論文的題目可能是數學文獻中最有趣的一個題目。這篇文章中所討論的問題都引導到去决定:對於那些值n,我們可以造一個n級行列式,其元素完全由±1所組成而且它是直交的,即任意兩個不同行的組合都是0。如果n是奇數,顯然沒有這種行列式存在;Sylvester極簡單地證明了,對於n=2~k(k=1,2,…),確有這種行列式。如果     

关於师范学院的数学教学問题

师范学院的数学教学多方面地决定着中学数学教学的水平,因此它也就密切地联系着今后我国在数学方面的提高,但是我們觉得目前的工作情形是不够令人滿意的。师范学院的数学教学的主要目的在於培养精通初等数学、能严謹地說明基本概念的內容(数,函数,長度,面积,体积,点,線,面等)。能“以高的观点”(即是高等数学的观点)解釋初等数学的原則性問題、能具有广闊的数学眼界的中学教师。从科学水平与科目內容的广度上来看,师院数学的教学大綱是不可能引起爭議。但     

張弛問题的最速下降法

<正> §1.引言 張弛方法對於解決如下的問題是一個極重要的方法:代數方程,微分方程的界值問題,特徵值問題等.R.V.Southwell,L.Fox及其他人用這方法解决了一些重要的實用問題.Temple證明在為一般實用問題所满足的條件下,張弛方法實際地給出正確的解答.他在他的論文裹考慮了兩個方法:     

Hurwitz-Radon問题——等价和約化是处理数学問題的一种基本方法

讀者在处理数学問題可能已經有过这样的經驗:試图直接解决一个数学問題正在一筹莫展的时候,往往是把它化成另一个等价的問題而得到解决;直接解决原問題之所以感到棘手,一方面固然可能由于原問題的确难以直接处理,另一方面也可能是由于对問題的这种表現形式以及解决它所需的知識和工具掌握得不够充分。把一个問題化为另一个等价的問題,就增大了我們已經掌握的工具和知識的利用率;問題采用不同的表現形式,就会因使用的方法不同而增大了解决它的可能性。列举出問題的一切表現形式,以便从中选出一种合适的来处理,从方法論的观点說来,这是十分重要的。本文的目的,一方面固然是介紹Hurwitz-     

用定比分点公式巧解一题

题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a,b,c∈R)的图像经过点(-1,0),且x≤f(x)≤12(x2 1),对一切实数x都成立,求f(x).分析本题显然是一道不等式恒成立问题,利用一元二次不等式恒成立知识点来解决,其运算量较大,如果用定比分点公式来解,求解过程就会变得简单、明了.解设A(x),B(f(x)),C(12(x2 1))为数轴上的三点,则ABBC=,λ由于当x∈R时,总有x≤f(x)≤12(x2 1)恒成立,∵λ≥0,由定比分点公式得f(x)=x λ(x2 12)1 λ,又∵曲线y=f(x)经过点(-1,0),∴0=-1 λ1 λλ=1,∴f(x)=14x2 12x 14.本题若结合1≤f(1)≤1 f(1)=1,又f(-1)=0来求解,其运算量也较…     

求解方程的一类迭代公式

Using the forms of Newton iterative function, the iterative function of Newton's method to handle the problem of multiple roots and the Halley iterative function, we give a class of iterative formulae for solving equations in one variable in this paper and show that their convergence order is at least quadratic. At last we employ our methods to solve some non-linear equations and compare them with Newton's method and Halley's method. Numerical results show that our iteration schemes are convergent if we choose two suitable parametric functions λ(x) and μ(x). Therefore, our iteration schemes are feasible and effective.