极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件的探讨

从无穷积分∫＋∞ a f（x）dx收敛与无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0之间的关系展开论述,研究在广义积分∫＋∞ a f（x）dx收敛的前提下,无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件．在此基础上,适当减弱条件得到该条件的推广形式,为更好的解决无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的问题提供更一般的方法．     

$L^p$函数的分布函数在端点处的极限性质

We consider the limiting property of the distribution function of L~p function at endpoints 0 and ∞ and prove that for λ 0 the following two equations limλ→+∞λ~pm({x : |f(x)| λ}) = 0, limλ→0+λ~pm({x : |f(x)| λ}) = 0hold for f ∈ L~p(Rn) with 1 ≤ p ∞. This result is naturally applied to many operators of type(p, q) as well.     

关于函数及其导数相互关系的几个结论

讨论由f(x)和f^(n 1)(x)的性质来决定f‘(x),f‘‘(x)……f(n)(x)的相应性质,得到几个结论璧如：设f（x)在区间(a, ∞)有直到(n 1)阶的导数,那么当limx→ ∞f(x)=0且limx→ ∞f^(n 1)(x)=0时,必有limx→ ∞f(x)=0……limx→ ∞f^(n)(x)=0     

如何判定多元函数的可微性--一节习题课片段

如何判定多元函数的可微性 ,理解多元函数全微分的概念 ,以及多元函数可微与偏导数存在、可微与连续之间的关系 ,是多元函数微分学的难点 .为了帮助学生更好地掌握这些知识 ,老师安排了这样一次习题课 .先给出一道习题 :设函数z =f (x,y) =xyx2 y2 　　 x2 y2 ≠ 0　 0　　　　 x2 y2 =0研究全微分 dz| ( 0 ,0 ) 是否存在 ?一位同学这样做 :因为f′x(0 ,0 ) =limΔx→ 0f (0 Δx,0 ) -f (0 ,0 )Δx =limΔx→ 00Δx=0 ,f′y(0 ,0 ) =limΔy→ 0f (0 ,0 Δy) -f (0 ,0 )Δy =limΔy→ 00Δy=0 ,所以全微分 dz在 (0 ,0 )存在 ,且 dz| …     

R上向量场的一个几何性质

本文讨论n维空间上的向量场在其奇点附近的几何性质,主要结果如下列定理所述。定理考虑n维微分系统 x=X(x),x∈R~n (E) 设X∈C~1(R~n),X(0)=0,L=DX(0)。 (Ⅰ) 假定0为(E)的双曲奇点,则下列三点等价: (ⅰ) 矩阵L的所有特征根为实数; (ⅱ) 对(E)的任何解X(t)≠0,只要limx(t)=0(当t→ ∞或-∞时),则极限limx(t)/||x(t)||存在; (ⅲ) 对x(E)的任何解x(t)≠0,只要limx(t)=0(当t→ ∞或-∞时),则极限lim(x′(t)/||x′(t)||)存在。 (Ⅱ) 如果L的特征值均为实数且不为零,则有: 当limx(t)=0时,有lim(x(t)/||x(t)||=-lim(x′(t)/||x′(t)||); 当limx(t)=0时,有lim(x(t)/||x(t)||)=lim (x′(t)/||x′(t)||)     

∫f(x)dx(x∈(a, ∞))收敛与limf(x)=0(x→ ∞)

讨论了当广义积分∫ ∞a f (x) dx收敛时 ,极限 limx→ ∞ f (x) =0的各种条件 .     

∫a＋∞f（x）dx收敛与limx→＋∞f（x）=0

讨论了当广义积分∫a ∞f(x)dx收敛时,极限linx→ ∞f(x)=0的各种条件。     

向径函数上的球面平均及其点态收敛性

设球面平均函数为Mt(f)(x)=∫Sn-1f(x-ty')dσ(y'),则当f∈Lp(Rn)是向径函数,n≥3,1≤p≤n/n-1时,lim t→0Mt(f)(x)=f(x)几乎处处成立.     

抛物型积分算子的弱型极限行为

设0≤βα, q=α/(α-β), f≥0.本文研究带齐次核?的抛物型奇异积分和分数次积分算子的弱型极限行为,建立了如下结果:limλ→0+λqm({x∈Rn:Tα?,βf(x)λ})=1α||?||q q||f||q L1(Rn),以及limλ→0+λqm({x∈Rn:Tα?,βf(x)-?(x)ρ(x)α-β||f||L1(Rn)λ})=0,其中?满足Lqβ-Dini条件,当β=0时,还需满足∫Sn-1?(x′)J(x′)dσ(x′)=0.同时,给出了相应的抛物型极大奇异积分和Marcinkiewicz积分的弱型极限行为.此外,建立了关于Heisenberg群Hn上Hardy-Littlewood极大函数的相应结果.     

1^∞型极限源于重要极限lim（x→0（1＋x）^1/x，又胜于重要极限

举例说明1^∞型极限比重要极限lim（x→0（1＋x）^1/x更重要.     

Existence Results for a Class of Semilinear Elliptic Systems

In this paper, we study the existence of nontrivial solutions for the problem
{-△u=f（x,u,v）＋h1（x）in Ω
-△v=g（x,u,v）＋h2（x）inΩ
u=v=0 onδΩ
where Ω is bounded domain in R^N and h1,h2 ∈ L^2 （Ω）. The existence result is obtained by using the Leray-Schauder degree under the following condition on the nonlinearities f and g：
{lim s,｜t｜→＋∞f（x,s,t）/s=lim ｜s｜,t→＋∞g（x,s,t）/t=λ＋1 uniformly on Ω,
lim -s,｜t｜→＋∞f（x,s,t）/s=lim ｜s｜,-t→＋∞g（x,s,t）/t=λ-,uniformly on Ω,
where λ＋,λ-∈（0）∪σ（-△）,σ（-△）denote the spectrum of -△. The cases （i） where λ＋ = λ_ and （ii） where λ＋≠λ_ such that the closed interval with endpoints λ＋,λ_ contains at most one simple eigenvatue of -△ are considered.     

极限lim f(x)=0 x→+∞的一个充分条件的探讨

从无穷积分∫a+∞f(x)dx收敛与无穷远极限lim f(x)=0 x→+∞之间的关系展开论述,研究在广义积分∫a+∞f(x)dx收敛的前提下,无穷远极限lim f(x)=0 x→+∞的一个充分条件.在此基础上,适当减弱条件得到该条件的推广形式,为更好的解决无穷远极限lim f(x)=0 x→+∞的问题提供更一般的方法.     

三次函数零点个数问题的分类讨论标准

<正>形如f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)的函数称为三次函数.高中阶段需掌握三次函数性质如下:性质1 f(x)恒过定点(0,d).性质2若a>0,当x→+∞时,f(x)=+∞;当x→-∞时,f(x)=-∞.若a<0,当x→+∞时,f(x)=-∞;当x→-∞时,f(x)=+∞.说明:性质1虽然显而易见,却往往是学生画图时经常忽略的前提条件.性质2则是三次函数的无穷大性质,要求图像始终穿过x轴     

一类二阶渐近周期微分方程的正同宿轨道

§ 1　IntroductionIn this note we are concerned with the asymptotically periodic second order equation-u″+α( x) u =β( x) uq +γ( x) up,　 x∈ R,( 1 )where1 相似文献   

正項級数判斂的一个方法

定理.設所考虑的級数有下面的形式: sum from n=0 to ∞ a_n=sum from n=0 to ∞ f(n),a>0,(A)其中f(n)是当x=n时,由某一函数f(x)所确定的值。假設1)当x>c时(c为常数),f(x)連續且有直到m阶的有限导数。2) (?) f(x)=(?) f′(x)=…=(?) f~(m-1)(x)=0。可用对函数f(x)逐次微分的方法来判別級数(A)是收斂或发散的。即,如果对m次导数f(m)(x),存在一冪函数x~(a m)(a>0)使得 lim x~(a m)f~(m)(x)=K (0≤|K|≤ ∞)。(B)那末1) 当a>1,|K|< ∞时,級数(A)收斂;2) 当a≤1,|K|>0时,級数(A)发散。证.对f(x)和1/x~(a m)之比应用洛毕达法则m次,并注意(B)式: 因此也有     

平均值函数的性质及应用

设函数 f (x)在 (-∞ , ∞ )上连续 ,当 x≠ 0时 ,我们称 F(x) =1x∫x0 f (t) dt为 f (x)在 [0 ,x]上的平均值函数 ,本文将介绍平均值函数 F(x)的若干性质并举例说明其应用 .一、F(x)的性质性质 1　 f(x)是 [0 ,x](或 [x,0 ])上的有界函数 ,F(x)也是 [0 ,x]或 [x,0 ]上的有界函数 .性质 2　若 f (x)为奇 (偶 )函数 ,则 F(x)也为奇 (偶 )函数 .性质 3　若 f(x)是周期为 T(T>0 )的周期函数 ,则limx→ ∞1x∫x0f (t) dt=1T∫T0f (t) dt (1 )　　　性质 4　若 f(x)为单调递增 (减 )函数 ,则 F(x)也为单调递增 (减 )函数 .性质 5　若对任意…     

几个可导性问题的讨论

利用导数的定义,结合实例,以问题的形式探讨了f（x）在x0处可导与极限 lim h→0 f（xo＋h）-f（xo-h）/2h或limh→0f（xo＋2h）-f（xo＋h）/h存在的关系。以及f（x）与｜f（x）｜在x0处可导性之关系．     

一个奇异典型弹性梁方程涉及第一特征值的正解

本文研究非线性四阶边值问题u(4)(t)=f(t,u(t)),0π4/16;(ii)∫10lim inf x→+0f(t,x)/x dt>π4/16并且∫10lim sup x→+∞f(t,x)/x dt<π4/16.     

More on stability of almost surjective ε-isometries of Banach spaces

Let X and Y be two Banach spaces,and f:X→Y be a standard ε-isometry for some ε = 0.In this paper,by using a recent theorem established by Cheng et al.(2013–2015),we show a sufficient condition guaranteeing the following sharp stability inequality of f:There is a surjective linear operator T:Y→X of norm one so that ||T f(x)-x||= 2ε,for all x∈X.As its application,we prove the following statements are equivalent for a standard ε-isometry f:X→Y:(i)lim inf_(t→∞) dist(ty,f(X))/|t|1/2,for all y∈S_Y;(ii)τ(f)≡sup_(y∈S_Y) lim inf_(t→∞) dist(ty,f(X))/|t|=0;(iii)there is a surjective linear isometry U:X→Y so that || f(x)-Ux||= 2ε,for all x∈X.This gives an affirmative answer to a question proposed by Vestfrid(2004,2015).     

试证广义积分的一组命题

探讨无穷积分收敛时被积函数极限为零的条件.对于[a, ∞)上的连续函数,若 ∫∞af(x)dx收敛,则limx→ ∞f(x)=0的充分必要条件是f(x)在[a, ∞)上一致连续.