求点关于直线对称点坐标的一种简捷方法

求点P(x0,y0)关于直线l:Ax By C=0(AB≠0)的对称点Q(x,y)的一般方法是解方程组y-y0x-x0.(-AB)=-1A(x x0)2 B(y y0)2 C=0(1)(2)(*)但对学生来说,此方程组列出容易,解起来比较复杂,特别当A、B数值不太凑巧时,出错率较高.笔者在教学过程中,惊喜地发现求点关于直线的对称点坐标可以     

解析几何中的对称问题

1、点关于点的对称问题例1已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标．解设C点的坐标为(x,y),由中点坐标公式有(?),所以(?)所以点C的坐标为(3,-6)．小结点关于点的对称是解答其它对称问题的基础,常用中点坐标公式求解．     

用平移变换巧解一类对称问题

关于直线 ｙ =±ｘ ｂ (ｂ≠ 0 )对称的问题 ,常规思路是直接用“垂线法”求解 ,虽思路自然 ,但运算烦琐 .若通过平移变换 ,转化为关于直线 ｙ′=±ｘ′对称的问题 ,则将减少运算量 ,轻松获解 .例 1　求点Ａ(5 ,3 )关于直线ｌ:ｙ =ｘ 1的对称点Ｂ的坐标 .解　作平移变换　ｙ′=ｙ ,ｘ′=ｘ 1 .在新坐标系下 ,点Ａ的坐标为 (6,3 ) ,它关于 ｙ′=ｘ′的对称点为 (3 ,6) .∴在原坐标系下 ,所求对称点Ｂ的坐标为 (2 ,6) .例 2　已知ｌ1和ｌ2 的夹角的平分线为2ｘ 2 ｙ 1 =0 ,如果ｌ1的方程为 3ｘ - 4 ｙ -1 2 =0 ,求ｌ2 的方程 .解　∵ 2ｘ…     

巧用抛物线的轴对称性解题

<正>抛物线y=ax2+bx+c是以直线x=-b/2a为对称轴的轴对称图形,不难得到如下结论:(1)抛物线上对称两点的纵坐标相等;反之,抛物线上纵坐标相同的两点是对称点.(2)如果抛物线交x轴于两点,那么这两点是对称点.(3)若设抛物线上对称两点的横坐标分别为x1、x2,则抛物线的对称轴x=x1+x22.     

“空间与图形”复习(二)

【图形与坐标】一、重要知识点回顾1.各象限内点的坐标的特征(如图)12.特殊点的坐标特征:(1)x轴上的点纵坐标为0,一般记为(x,0)1(2)y轴上的点横坐标为0,一般记为(0,y)13.对称两点的坐标的特征:(1)点(a,b)关于x轴对称的点是(a,-b)1(2)点(a,b)关于y轴对称的点是(-a,b)1(3)点(a,b)     

曲线的对称性

本文将讨论曲线的轴对称和中心对称。 一、曲线F(x,妇的对称性 定理1(关于已知点的对称点)已知点尸(x,鲜于,则它(1)关于直线x=n.的对称点为p;(Zm一丫,妇; (2)关于直线ax+占刀+‘=。(乙寺。)的对称点 为P:(a,刀),其中a,口满足方程组摆:_”}一又二义 l瓜‘改卜j{之习一口)/(x一a)·(一a/b)=1;a[(x+a),2〕+西[(夕+夕),2」+‘=0. 图3称点为尸‘(一x,夕); :.a二2口一,, 刀=2/)一刃. 于是点刃3的坐标为P抓二a一芳,2凡一对). 推论已知点尸(x,妇,则它 (1)关于之轴的对 (3)关于点(a,b)的对称点为尸:(Za一x’2乡一夕). 证(1)如图1,过点P作直线x=m的…     

P(x,y)关于y=±x+c对称原来可以这样!

在一节关于点和直线对称问题的新课上,同学提出了教师平时很少去深入探究的问题.下面我们一起来看一看:…问题1点P(a,b)关于y=x的对称点P′坐标是__.问题2点P(a,b)关于y=-x的对称点P′坐标是__.学生甲:问题1先设出P′的坐标为(x0,y0),通过对称性可知,线段PP′的中点在直线     

关于斜线对称的点的三种求法

<正>在初中几何压轴题中,通常会遇到求一个已知点关于一条直线对称的点的坐标问题.按照直线在坐标系中所处的位置不同,此类问题可分为两种类型:一类是直线平行于x轴或y轴,另一类是与x轴和y轴都有交点的斜线;本文给出三种求关于斜线对称点的坐标的求法,供同学们参考.     

五个对称结论及应用

对称是高中数学的一个重要内容,分为中心对称和轴对称两大类型,最常见对称有,关于原点、x轴、y轴,直线y=x、直线y=-x等五种,设点P(x,y)或曲线F(x,y)=0,则有以下结论:1.关于x轴对称时,P(x,y)的对称点为P’(x,-y),曲线F(x,y)的对称方程为F’(x,-y)=0,其特点是"纵变,横不变".     

与一次函数结合的中考题

一次函数是初中的重要内容 ,也是中考的热点内容 .其它知识与它结合 ,能构成丰富多彩的综合题 .下面以 2 0 0 2年全国各地中考题为例进行分析说明 ,供大家参考 .一、一次函数与一次函数结合例 1( 2 0 0 2年陕西 )已知一次函数 y =2x +1.( 1)求一次函数与 y轴交点A的坐标 .( 2 )若直线 y=kx +b与直线y =2x +1关于 y轴对称 ,求k与b .解　 ( 1)令x =0 ,y =2× 0 +1=1,∴　直线与y轴交点A的坐标为 ( 0 ,1) .( 2 )∵　直线 y =kx +b与直线y=2x +1关于 y轴对称 ,∴两直线的交点为A( 0 ,1) ,∴b =1,在直线 y =2x +1上任取一点B( 1,3) ,则点B关于 …     

美不胜收湖北试题

甲:对称美,对称美!对称数学就是美!驾驭对称能腾飞,出得考场不后悔乙:考得不错啊,看你这熊样,臭美!甲:你是不知,我感觉今年湖北数学卷半数以上的试题,我都是运用对称法则破解的.效果是出奇地好.”乙:我也有同感.其中最典型的是第4题:将两个顶点在抛物线y2 =2px(p＞0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则A.n=0B.n=1C.n=2D.n=3在这里,抛物线关于x轴对称,内接于这条抛物线的正三角形也是轴对称图形.如果它的1个顶点在对称轴上(不一定是焦点),那么它的另两个顶点必须关于x轴对称.如图1,过焦点F作倾角为30°的直线交抛物线于A,D两点,再作A,D与x轴的对称点B,C那么△FAB和△FCD都是正三角形.所以这样的正三角形有且只有2个,故选C.     

一道赛题的又一简证

<正>题目点A为y轴正半轴上一点,A、B两点关于x轴对称,过点A任作直线交抛物线y=2/3x²于P、Q两点.(1)求证:∠ABP=∠ABQ.(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式(如图).文[1]利用轴对称知识及函数与方程思想进行解答,应该肯定解法很全新,笔者本着一切从学生所掌握的基本知识出发来解答,从三角形角平分线定理入手,解答比较通俗简单,供同学们参考.(1)证明设点A坐标为(0,a),P、Q坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),令直线PQ方程:y=kx+a,再联立y=2/3x2于P、Q两点.(1)求证:∠ABP=∠ABQ.(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式(如图).文[1]利用轴对称知识及函数与方程思想进行解答,应该肯定解法很全新,笔者本着一切从学生所掌握的基本知识出发来解答,从三角形角平分线定理入手,解答比较通俗简单,供同学们参考.(1)证明设点A坐标为(0,a),P、Q坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),令直线PQ方程:y=kx+a,再联立y=2/3x²解得2/3x2解得2/3x²-kx-a=0,则x_1x_2=-3/2a(即a=-2/3x_1x_2),y_1=2/3x_12-kx-a=0,则x_1x_2=-3/2a(即a=-2/3x_1x_2),y_1=2/3x_1²、     

2015年高考北京卷19题的解法、背景与推广

题1 (2015高考北京-19)已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为(21/2)/2,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M. (Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示); (Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.     

中考压轴题中的抛物线平移问题

近年来以抛物线的平移为压轴题的题虽不常见,但武汉市连续两年都有这种题.例1(2012年武汉)如图1,点A为抛物线C1:y=1/2x2-2的顶点,点B的坐标为(1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C.(1)求点C的坐标;(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,平行于y     

对互为反函数图象对称关系的证明过程的注记

关于函数与其反函数的图象间的对称关系有:定理　函数y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.从教材[1]上对其证明过程来看,证明了两个结论:1.函数y=f(x)图象上任一点M关于直线y=x的对称点M′都在y=f-1(x)的图象上;同时,2.函数y=f-1(x)图象上任一点关于直线y=x的对称点也都在y=f(x)的图象上.若仅仅证明结论1,可否说明y=f(x)与y=f-1(x)图象关于直线y=x对称?回答是否定的,事实上,只要对本节(P62)中例1稍作改造,就构造出一个反例:y=3x-2(x∈R ),y=x 23(x∈R)易见对y=3x-2(x∈R )图象上任一点,关于直线y=x的对称点都在y=x 23…     

用向量求轴对称点的坐标

已知点P(x0·y0)和直线l:Ax By C=0,求点P关于直线l的对称点M的坐标.设PM与直线l交干一点D(x1,y1),直线l的法向量为e=(A,B),→DP平行于e,设→DP=λe,     

圆锥曲线的对称问题例析

圆锥曲线上存在两点,关于某条直线对称,求参数的取值范围,这类问题的常见解法是:设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b对称的两点,则PQ的方程为y=-1/kx+m,将之代入圆锥曲线方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,其中P、Q的坐标即为方程的根,故△＞0,从而求得k(或b)的取值范围.例1 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y=1交于A、B两点.     

浅析“动抛物线”问题的转化

<正>1问题提出(2018·北京)在平面直角坐标系x Oy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax²+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.     

数学娱乐圈——三角函数中的口诀

在学生清楚知识的来龙去脉的基础上 ,教师若能及时引导学生 ,用简单明了的语言编成口诀 ,对帮助学生记忆会起到良好的效果 .图　 11)三角函数在四个象限的符号 .(只记正值所在的象限 )口诀 :一全正 ,二正弦三两切 ,四余弦2 )诱导公式 .①不变名的 :ｋπ±α(ｋ∈Ｚ) .口诀 :函数名不变 ,符号看象限 .如 :ｓｉｎ(π α) =-ｓｉｎα .②变名的 :π2 ±α ,3π2 ±α .口诀 :函数名改变 ,符号看象限 .如 :ｓｉｎ(32 π α) =-ｃｏｓα .③以上两组可合并为 :ｋ·π2 ±α (ｋ∈Ｚ) .口诀 :奇变偶不变 ,符号看象限 .(ｋ的奇偶 )3)三角函数式化…     

解析几何中的四类对称变换

[复习说明 ]由于平面解析几何中所研究的许多图形是对称图形 ,于是相关的对称变换问题经常在全国高考试卷与各地模拟试卷中出现 ,它是高考复习的一个热点专题 .本专题复习的重点是两点关于直线成轴对称问题 ;难点是两曲 (直 )线关于直线成轴对称问题 .[内容提要 ]1 .点 P(x,y)关于点 M(a,b)成中心对称的点是 P′(2 a - x,2 b - y) .2 .两点 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 )关于直线 Ax+By +C=0 (AB≠ 0 )成轴对称的充要条件是　 A .x1+x22 +B .y1+y22 +C =0 ,且 (- AB) .y1- y2x1- x2=- 1 .特例　点 P(x,y)依次关于直线 x =a,y =b,y =x,y =- x…