追寻本质解法 变式演绎精彩——一道竞赛题的解法及变式探究

一、试题呈现题目(2011年北京市初二数学竞赛试题)如图1,边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动,始终保持EF∥AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为().1017A.17B.C.210D.2233二、分析与解法本题以学生熟悉的正方形为基本图形,主要考查梯形中位线的性质、三角形中位线的性质、正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识,是一道综合性较强的试题.正方形EFGH在正方形ABCD所在的平面上移动,它的位置不确定,这也增加了试题的难度.笔者通过     

求棱锥体积的万能钥匙——图形变换

图形变换是一种重要的解题思想.在求解立体几何问题时,灵活地实施平移、对称、旋转、翻折、分割、补形、伸缩等图形变换,将不熟悉的(或不易计算的)图形变化为熟悉的(易于计算的)图形,将空间图形变为平面图形,从而创设生动的思维情境,优化解题途径.下面以一道1999年高考试题为例说明实施图形变换解题的若干技巧.例　如图,已知正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1,点Ｅ图1　例题图在棱Ｄ1Ｄ上,截面ＥＡＣ∥Ｄ1Ｂ,且面ＥＡＣ与底面ＡＢＣＤ所成的角为45°,ＡＢ=ａ.①求截面ＥＡＣ的面积;②求异面直线Ａ1Ｂ1与ＡＣ之间距离;③求三棱锥Ｂ1-ＥＡＣ的体…     

分割法解题举例

<正>作出或选择适当的截面,对图形进行有效的分割,将不规则的几何体分解成若干个易于计算的几何体,解题的方法,叫做分割法.这种方法应用十分广泛,现举例说明.例1如图1所示,在多面体EF—ABCD中,已知ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=3/2,EF与平面ABCD的距离为2,     

49 图形的面积──一节开放式的习题课

两天前的课堂上，教师布置了如下的一道开放性的题目：“正方形的边长为a，在此正方形的内部，以各边为直径，画一个或几个半圆．问在哪些图形情景下，哪些圆交成的图形面积可求？它们的面积各是多少？”要求以小组为单位（每组3—4人），通过讨论合作完成，并由一人写成解题报告上交．兴兴件转上课开始，教师用预先准备好的小黑板，剜览式地展示一下各组讨论到的图景有：T：我们把同学们研究的结果总括了一下：从图形的角度来看，可以画一个、二个、三个、四个半圆，其基本图形只有图形A（图1），B（图2），C（图3），D（图4），E（图5…     

旋转90°解正方形

<正>正方形是有四条边相等、四个角都为90°的平面图形.因此,在有些正方形的解题中,将图形中的部分绕某一顶点按顺时针或逆时针方向旋转90°,就能达到使相关的边重合,促进条件与结论相对集中的效果,进而打通解决问题的途径.     

探究正方体中的截面问题

用一平面去截一立体图形所得平面图形，实质上是对空间想象能力和平面基本定理的考查．对作截面的方法有如下两种：（1）利用平面的基本定理：一条直线上有两点在一平面内，则这条直线上所在的点都在这个平面内．两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线．（2）利用线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线．笔者将从以下几个方面进行探讨．     

“以形辅数”的解题途径

“以形辅数”的解题途径朱恩九（江苏省宜兴市徐舍中学２１４２４１）以形辅数中的“形”；或有形或无形．若有形，则可为图表与模型；若无形，则可另行构造或联想．因此以形辅数的途径大体有以下三种：１运用图形例１两个边长为ａ的正方形；其中一个正方形的顶点是另一个...     

面积射影定理的应用

我们知道,平面图形射影的面积S_1等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹二面角α的余弦,即 S_1=Scosα (*) 面积射影定理在立体几何解题中有一定的作用,本文通过几个具体例子加以说明。一、求二面角例1 正三角形ABC的边长为α,A在平面M     

折叠正方形在教学中的应用

折叠正方形在教学中的应用刘晓平（湖北兴山一中４４３７００）正方形是一个非常特殊的平面图形，用它可以折叠成一些基本空间体，如棱柱、棱锥等．它们在高考试题中时有出现，如１９８６年、１９９３年、１９９６年都考有正方形的折叠题，特别是在１９９６年文科试题中同...     

平面图形与其直观图的面积关系

新课标对学生作图能力的要求明显加强,因此,探讨平面图形的直观图的性质很有必要.若记平面内的封闭图形为F,在这个平面内建立直角坐标系后,按照斜二测法(即建立45°坐标系x′o′y′)画出这个图形的直观图F′再与原图F相比较,形状有明显不同,并且由于图形在直角坐标系中的位置不同,得到相应的直观图的形状也可能不同.那么不同形状的直观图,它们的面积是否相等?倘若相等,那么它们的面积与原图形的面积有没有一定的比例关系?这就是本文要给予解决的.画出直角边为a,b斜边的c的Rt△ABC的直观图,通过计算可以得出直角三角形的面积与其直观图的…     

由斜二测画法得到的直观图若干性质

在人教A版数学必修2第一章“空间几何体”中,平面图形经斜二测画法后得到其直观图,笔者尝试从图形变换的角度对此直观图进行深入研究,发现了一些有趣的新性质．     

对边乘积相等的圆内接四边形

正方形所在平面内任一点（不在其外接圆上）和正方形各顶点的联线所在直线与正方形外接圆的交点为顶点构成的四边形,则其对边乘积相等,且其两对角的平分线的交点在另一对顶点的对角线上．     

解题中的分解与组合

分解是指把一个对象分成几个相对独立的部分;组合则是指把几个可独立的部分结合为一个整体。分解与组合是数学解题的一种重要的变形和分析方法。1、分解变形在数学解题中经常按照一定的法则,把一个数、式或图形分解成几个数、式或图形,使复杂的问题转化为简单的基本的问题。     

分图解题

分图解题７１３１００陕西兴平市南市中学吕建恒九年义务教育教学大纲中明确要求学生做到“能够由较复杂的平面图形分解出简单的、基本的图形；在基本的图形中找出基本元素及其关系．”为此，在解题教学中，应指导学生观察题目中图形的特征，分析图形的结构，将较复杂的图...     

把几何问题转化为函数问题

<正>建立适当的平面直角坐标系,把几何计算问题转化为函数问题来解,可以充分利用数形结合的优势,起到优化解题途径,达到快捷解题的目的.例1将边长为2、3、5的三个正方形按图1方式排列,则图中阴影部分的面积为__.     

旋转变换帮你铺路架桥

旋转变换是平面几何证题中的一种重要方法之一，它通过将部分图形绕某一定点旋转后，将其搬到另一个位置，使得题没条件相对集中（我们称之为“集中元素”），从而让条件与待证（求）结论之间的关系明朗化，因此它在整个解题过程中起到了“铺路架桥”的重要作用．我们在讲完正方形这节内容后，在课外教学活动中，向学生介绍了旋转变换，今略选数例如下：例1在等腰直角△ABC中，∠C=90°，P为形内一点，且PA=3，PB=1，PC=2．求∠BPC的度数．分析题没条件中虽然合有∠A=∠ABC=45°，但与∠BPC不能发生联系．而已知的PA、PB、PC三线…     

方格图与正方体中的组合问题

对组合和组合数，人们多偏重于探讨其代数性质，而不太重视它的几何意义．本文将介绍二维组合及多维组合（数）的几何意义，并探讨如何应用组合（数）的几何意义解决组合问题．1二维组合与方格图在平面直角坐标系中，用平行于x轴、y轴的直线x=i、y=i（i=1，2，…）构建方格网（亦称方格图）．显然各交点的横、纵坐标皆为整数，交点可称为整点（或格点）．定义1（二维组合）．在平面方格网中，从坐标原点（0，0）沿格边到点（m，n）的一条递增折线（即由“向右”和“向上”的方格迫连成的折线），叫做点（m，n）的一个组合．定义2（二维组合…     

谈高考对数学能力的考查(续文)

接上期）２．将概念与图形相结合立体几何图形的特征是通过概念来描述的．对概念的理解是解题的基础．要求考生能够理解概念的本质,根据对概念的叙述想象出图形,分解出解题所需要的要素,在必要时画出草图,辅助解题．在考题中,一般只给出最简单的图形及最基本的条件．...     

补形法应用三则

<正>本文列举的习题均有别的解法,当中不乏个别解法更简洁,笔者只是从对补形法的理解做个尝试.补形法是通过适当添加辅助线,将不规则或不熟悉的图形补成相对规则的、熟悉的图形,凸显结论与条件之间的关联,延展思考的空间,进而形成解题思路.一、补出三角形题1如图1,已知3个边长相等的正方形相邻并排,求∠ABC+∠DBC的度数.     

面积射影定理的应用

平面图形射影面积S_1等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角a的余弦。用式子表示: S_1=Scosα (*)这是人们所称的面积射影定理。 公式(*)在立体几何解题中具有一定的作用,有时甚至能把问题化繁为简。本文通过四