构造概率模型证明组合恒等式

对于组合数恒等式的证明无固定的方法, 使得人们常感到无从下手.下面介绍构造概率 模型证明组合恒等式几例,供读者参考. 例1 求证:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n. 证明 设事件A在一次试验中发生的概率 为1/2,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的 概率是:PA(k)=Cnk(1/2)k·(1-1/2)n-k=1/2nCnk. 令k=0,1,2,…,n,并求和得 即 Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n. 例2 求证:(Cn0)2+(Cn1)2+…+(Cnn)2= C2nn. 证明 设一个口袋中有n个白球n个红 球,任取n个球,求A={至少有一个白球}的概     

关于M/M/1系统方程的瞬态解

经典的M/M/1随机服务系统的排队方程是{G_0~＇(t)=-λG_0(t)+μG_1(t),G_k~＇(t)=λG_(k-1)(t)-(λ+μ)G_k(t)+μG_(k+1)(t),k=1,2,…,其中G_k(t)表示在时刻t系统内恰有k个顾客的概率.在一般初始条件下方程(1)的解已由Clarke用母函数方法求出:G_k(t)=e~(-(λ+μ)t)[(λ/μ)~(k/2)I_k(2t(λμ~(1/2))+(λ/μ)~((k-1)/2)I_(k+1)(2t(λμ~(1/2))     

“f(x)g(x)=of(x)=0或g(x)=0”对吗?——从一道错题谈起

首先看一道选择题:设全集为实数集R,M={x|f(x)=0},N={x|g(x)=0},那么集合P={x|f(x)g(x)=0}可表示为(A)M∩N;(B)M∪N;(C)M∪N;(D)M∪N.这是一道广为流传的题目.如1998年福州市高中毕业班质量检查卷(理科)第一题.参考答案都选(D).其实这是一道错题.例如,设f(x)=x2-1,g(x)=lg(x-1).则M={x|f(x)=0}={-1,1},N={x|g(x)=0}={2},M∪N={-1,1,2},但P={x|f(x)g(x)=0}={x|(x2-1)lg(x-1)=0}={2}≠M∪N.又如设f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x|f(x)=0}={x|x=kπ,k∈Z},N={x|g(x)=0}={x|cosx=0}={x|x=kπ π2,k∈Z}.M∪N={x|x=kπ或kπ π2,k∈Z}…     

小直径图的导出匹配覆盖

设G是一个图,而M1,M2,…,Mk是G的k个导出匹配.称{M1,M2,…,Mk}是图G的一个k-导出匹配覆盖,若V(M1)∪V(M2)∪…∪V(Mk)=V(G).k-导出匹配覆盖问题是指对任一个给定的图G是否存在一个k-导出匹配覆盖.这篇文章证明了:直径为6的图的2-导出匹配覆盖问题和直径为2的图的3-导出匹配覆盖问题是NP-完备的,直径为2的图的2-导出匹配覆盖问题多项式可解.     

任意阶Laplace算子的特征值估计

设D为n维Euclid空间Rn的一个有界区域,且0＜λ1≤λ2≤…≤λk≤…是l阶Laplace算子的Dirichlet问题{(-△)lu=λu, 在D中,u=(e)u/(e)n=…=(e)l-1u/(e)nl-1=0,在(e)D上的特征值.得到了该问题用其前k个特征值来估计第(k+1)个特征值λk+1的不等式k∑i=1(λk+1-λi)≤1/n(4l(n+2l-2)]1/2{k∑i=1(λk+1-λi)1/2λil-1/lk∑i=1(λk+1-λi)1/2λi1/l}1/2,此不等式不依赖于区域D.对l≥3,上述不等式比所有已知的结果都要好.陈庆民与杨洪苍考虑了l=2的情形.我们的结果是他们结果的自然推广.当l=1时,我们的不等式蕴含杨洪苍不等式的弱形式.文中还给出了陈和杨的一个断言的直接证明.     

关于多项式系数的整除性

设 n是正整数 ,k1 ,k2 ,… ,ks 是适合 k1 +k2 +… +ks=n的非负整数 ,正整数 nk1 k2 … ks=n!k1 !k2 !… ks!称为多项式系数 .本文讨论了当n=a0 +a1 p+a2 p2 +… +arpr ,其中 p为素数且 p≤ n,0≤ ai相似文献   

从一道课本例题开始的研究性学习

在高中数学课本的《圆》这一章节中 ,有这么一道例题 :已知圆C的方程是x2 +y2 =r2 ,求证 :经过圆C上一点M(x1 ,y1 )的切线的方程是x1 x+y1 y=r2 .课本上给出的证明是 :方法一 :当OM与坐标轴都不垂直时 ,设直线OM的斜率为k1 ,切线斜率为k,根据圆的切线性质 ,得k=- 1k1 .因为k1 =y1 x1 ,所以k=- x1 y1 .于是经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是 y-y1 =- x1 y1 (x-x1 ) .经过整理 ,得xx1 +yy1 =r2 .当OM垂直于x轴时 ,经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是x =x1 ;当OM垂直于 y轴时 ,经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是 y=y1 .显然分别是在y1 =0或x1 =0时 ,方…     

巧解一道新定义“离散曲率”问题

<正>题目设P为多面体M的一个顶点,定义多面体M在点P处的离散曲率为:1-1/2π(∠Q₁PQ₂+∠Q₂PQ₃+…+∠Q_k-1PQ_k+∠Q_kPQ₁),其中Q_i(i=1,2,…,k,k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点,且平面Q₁PQ₂,平面Q₂PQ₃,…,平面Q_k-1PQ_k和平面Q_kPQ₁遍历多面体M的所有以P为公共点的面.     

求1~2 2~2 3~2 … n~2的一种方法

因为每个三角形数阵各数字之和=12 22 32 … n2．每个三角形数阵共有(1 n)n/2 个数．现将三个三角形数阵平移使其重合,则重合后每个小圆圈内三数和为2n 1,所以重     

一个组合问题的解法及拓展

问题如图1,2006×20072个不同的数随机排成一个三角数阵,设Ak表示从上往下数第k行的最大数,则A1相似文献   

关于多项式系数的整除性

设n是正整数,k1,k2,…+k1=n的非负整数,正整数[nk1k2…ks]=n！/k1!k2!…k5!称为多项式系数,本文讨论了当n=a0+a1p+a2p^2+…arp^r,其中p为素数且p≤n,0≤ai&;lt;p(0≤i≤r);ki=a0^(i)+a1^(i)p+…+ar^(i)p^r,其中ki≤0,∑^si=1,ki=n,0≤ak^(i)p(0≤i&;lt;s)时多项式系数的整除性问题,得出的结果推广了著名的Lucas定理^[1].     

具有固定行列和k的阶为2k-2的(0,1)-矩阵的最大跳跃数

1992年Brualdi与Jung首次引出了最大跳跃数M(n,k),即每行每列均含k个1的阶为n的(0,1)-矩阵的跳跃数的极大数,给出了满足条件1≤k ≤n ≤10的(0,1)-矩阵的最大跳跃数M(n,k)的一个表,并提出了几个猜想,其中包括猜想M(2k-2,k)=3k-4 [k-2/2].本文证明了当k≥11时,对每个A∈∧(2k-2,k)有b(A)≥4.还得到了该猜想的另一个反例.     

随机图中[k,k+1]-因子的存在性

设G=G(n,p)是一个随机图,其顶点数为n,任两个顶点之间有边相关联的概率为p=p(n),k是一个正整数满足knp-2(nplogn)~(1/2).图G的—个支撑子图F称作是图G的—个[k,k+1卜因子,如果对任一个x∈V(G),都有k≤dF(x)≤k+1.我们证明任意满足p≥n~(-2/3)的随机图G(n,p)几乎一定包含[k,k+1]-因子.     

类杨辉数阵

1 从一道奥数训练题谈起 题目 如下图所示的数阵的第n行第2个数是________.     

多重Hurwitz-zeta值的Euler型恒等式算法

设t(s_1,s_2,…,s_k)是与Hurwitz-zeta函数ζ(s_1,s_2,…,s_k;—1/2,—1/2,…,—1/2)相联系的多重级数.对正整数nk1,定义T(2n,k)为权重为2n,长度为k且每个s_i为偶数的所有t(s_1,s_2,…,s_k)的和.本文首先利用Granville所提出的交换求和次序方法将T(2n,k)的计算转化为简单级数求和问题,再建立起一元生成函数并给出一个计算T(2n,k)的递归方法,最后利用Bessel函数的性质,建立起T(2n,k)的直接公式.     

完全多部图K_(1*r,3*(k-2))的m数

如果对一个图G的每个顶点v,任给一个k-列表L(v),使得G要么没有正常列表染色,要么至少有两种正常列表染色,则称图G具有M(k)性质.定义图G的m数为使得图G具有M(k)性质的最小整数k,记为m(G).已有研究表明,当k=3,4时,图K_(1*r,3*(k-2))具有M(k)性质,且当r≥2时,m(K_(1*r,3*(k-2)))=k.本文将上述结论推广到每一个k,证明了对任意r∈N~+,k≥3,图K_(1*r,3*(k-2))具有M(k)性质,且当k≥4,r≥(k-2)时,m(K_(1*r,3*(k-2)))=k.此外,得到图K_(1,3,3,3)的m数为4,该图是图K_(1*r,3*(k-2))中r=1,k=5时的特殊情况,同时也是现有研究中尚未解决的一个问题.     

探究x0x+y0y=r2与x0x+y0y=x02+y02的几何意义

问题背景苏教版教材必修二P105有这样一道习题:已知圆C的方程是x2+y2=r2,求经过圆C上一点M(x0,y0)的切线的方程.同学们在处理该问题时给出以下的解答过程:如图1,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是k=     

赏析几道以图表为背景的题

以图表为背景的题,近年来在高考题中经常出现,笔者选择几道供大家欣赏．题1 (2005年上海理)用n个不同的实数 a1,a2,…,an可得到n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个n!行的数阵．对第i行ai1, ai2,…,ain,记bi=-ai1 2ai2-3ai3 … (-1)nnain(i=1,2,3,…,n!)．     

von Neumann代数上的局部可乘Lie n-导子

A_1,…,A_n的(n-1)-换位子记为p_n(A_1,…,A_n).令M是von Neumann代数,n≥2是任意正整数,L:M→M是一个映射.本文证明了,若M不含I_1型中心直和项,且L满足L(p_n(A_1,…,A_n))=∑_(k=1)~np_n(A_1,…,A_(k-1),L(A_k),A_(k+1),…,A_n)对所有满足条件A_1A_2=0的A_1,A_2,…,A_n∈M成立,则L(A)=φ(A)+f(A)对所有A∈M成立,其中φ:M→M和f:M→E(M)(M的中心)是两个映射,且满足φ在P_iMP_j上是可加导子,f(p_n(A_1,A_2,…,A_n))=0对所有满足A_2A_2=0的A_1,A_2,…,A_n,∈P_iMP_j成立(1≤i,j≤2),P_1∈M是core-free投影,P_2=I-P_1;若M还是因子且n≥3,则L满足条件L(p_n(A_1,A_2,…,A_n))=∑_(k=1)~n=p_n(A_1,…,A_(k-1),L(A_k),A_(k+1),…,A_n)对所有满足A_1A_2A_1=0的A_1,A_2,…,A_n∈M成立当且仅当L(A)=Φ(A)+h(A)I对所有A∈M成立,其中Φ是M上的可加导子,h是M上的泛函且满足h(p_n(A_1,A_2,…,A_n))=0对所有满足条件A_1A_2A_1=0的A_1,A_2,…,A_n∈M成立.     

两个不等式

首先给出两个不等式(2k/(2k+1))2k(2k-)1!!/2k!!(k=2,3,…),[(2k-1)!!]2/(2k)!!(2k-2)!!·π/22k/2k+1(k=1,2,…),尔后,讨论了两个具体数列的问题.