略谈用二次曲线定义灵活解题

在教学活动中我体会到,对定义理解得深刻方能在应用时事半功倍,掌握定义的本质属性是学好数学的关键,下面以二次曲线定义为例,从以下两方面略谈一下用定义灵活解题．１　理解定义实质使“繁”变“简”图１例１　试证：自等轴双曲线上任意一点至两焦点的距离之积,等于该点至双曲线中心的距离的平方．解　设Ｍ（ｘ,ｙ）是等轴双曲线上任意一点,由双曲线定义,有　｜｜ＭＦ２｜－｜ＭＦ１｜｜＝２ａ（）将（）两边平方整理得　｜ＭＦ２｜·｜ＭＦ１｜＝｜ＭＦ２｜２＋｜ＭＦ１｜２－４ａ２２＝（ｘ＋ｃ）２＋ｙ２＋（ｘ－ｃ）２＋ｙ…     

用分部换元法解无理方程

解方程f(x)=0时,令方程中关于x的某部分f_1(x),f_2(x),…,f_n(X)分别为u_1,u_2…,u_n,我们把这种换元法称之为分部换元法。用此法解某些根指数较大而又不易直接化去根号的无理方程,有时较为简便。常见的有以下两种类型。 1.型如v后,变为f(u,v)=0。如能导出u、v的线性齐次式pu+qv=0,则可化为有理方程而解之。例1 解方程2x+1+xx~2+2~(1/2)+     

巧用三角代换解无理方程

巧用三角代换解无理方程６２９１１１四川蓬溪群力中学邓甫修形如人呼万个人死万一。（ｍ＞０）型的无理方程，常用的解法是两次平方法，化为有理方程来解，运算量很大，且将产生高次方程．现介绍巧用三角代换来妙解这类方程，其方法是：令人ｘ）。ｍ’幻ｎ‘５，ｇ（ｘ）...     

充分利用二次曲线的定义解题

李存虎 ( 194 7— ) ,男 ,陕西蓝田人 ,中学高级教师高中数学教材关于椭圆、双曲线、抛物线给出第一定义和统一定义 .第一定义展示了三类曲线的各自独特的性质及几何特征 ;统一定义则深刻地揭示了三类曲线的内在联系 ,使焦点、离心率、准线等构成和谐的整体 .灵活地运用这两种定义在二次曲线中解有关证明、计算及求点的轨迹问题时 ,能达到直观方便 ,简洁易行的解题效果 ,同时能开拓学生视野 ,加深对二次曲线的认识和理解 .例 1　已知椭圆 ｘ216 ｙ27=1及点Ｍ ( 2 ,1) ,Ｆ1 ,Ｆ2 分别是左、右焦点 .设Ａ是椭圆上的动点 ,求 |ＡＭ | |ＡＦ2 |…     

构造圆锥曲线解一类无理方程

解数学题的常规方法,是按照从条件到结论的定向思维．而按这种习惯性的思维方式来寻找解题途径,往往比较麻烦与困难．于是,我们应该变换自己的思维方向,改变思考角度,以开辟一条绕过障碍的新途径．构造性的思维方法便是一种十分有用的方法．它通过分析、联想,把题目中的已知条件重新组合,构造出新的图形、表达式、方程、函数等,使原来较为抽象、隐含的条件清晰地显示出来,以达到化繁为简、化难为易、化生为熟的目的．     

有心二次曲线的统一定义

众所周知,椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线,它们有统一定义,且也有统一的极坐标方程,作为有心二次曲线的椭圆(包括圆)和双曲线,是否也有统一的定义、统一的方程呢? 设P_1、P_2是平面内的两定点,M为平面内的动点,有向直线P_1P_2到直线P_1M及直线P_2M的角分别为α_1,α_2,且tgα_1·tgα_2=k(k是非零常数)。动点M的轨迹是什么呢?     

活用坐标法巧解无理方程

用坐标法解题 ,就是在坐标平面内 ,依据问题的结构特征 ,转化、构造解析几何模型 ,借助于解析几何的有关公式、性质、图形的特征、位置关系等来探求解法 .一些无理方程应用坐标法求解 ,能较好地避免因常规解法而带来的方程高次化问题 ,使问题解决自然流畅 ,简捷明了 .1　用距离     

借用柯西不等式巧解无理方程

对于柯西不等式(∑ni=1aibi) 2 ≤ ∑ni=1a2i∑ni=1b2i　 (ai、bi ∈ R) ,若　 (∑ni=1aibi) 2 =∑ni=1a2i∑ni=1b2i成立 ,则有且仅有　 ai =kbi　 (k为常数 ,i =1 ,2 ,… ,n)也成立 .下面将运用柯西不等式取等号的这一特性 ,巧解 (或化简 )一些较为繁难 ,甚至常法不能求解的无理方程 .所解方程均求实根 .例 1　解方程x 4- 3 x2 3 x 4- x2 =4.解　根据柯西不等式(x 4- 3 x2 3 x 4- x2 ) 2　≤ [x2 (4 - x2 ) 2 ].[(4 - 3 x2 ) 2 (3 x) 2 ],而　 x 4- 3 x2 3 x 4- x2 =4,∴　 (x 4- 3 x2 3 x 4- x2 ) 2　 =[x2 (4 - x2 ) 2 ].[(4 - 3…     

巧构直角三角形解一类无理方程

对型如((x-a)~2 b)~(1/2) ((c-x)~2 d)~(1/2)=k的无理方程,可构造直角三角形,运用勾股定理和相似形,使之转化为简单的方程组来解,堪为巧妙! 例1 解方程 (x~2 1)~(1/2) (x~2-24x 160)~(1/2)=13。解原方程可化为: (x~2 1)~(1/2) ((12-x)~2 16)~(1/2)=13。令y=12-x,则有(x~2 1)~(1/2) (y~2 16)~(1/2)=13 如图1,构造直角△ABC,使∠C=90°,AC=12,AB=13,则BC=(13~2-12~2)~(1/2)=5     

解无理方程的一种方法

定理　设 0≤ｆｉ≤ｇｉ(ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,则 ｆ1 ｇ22 - ｆ22 ｆ2 ｇ23 - ｆ23 … ｆｎ ｇ21 - ｆ21 =12 ∑ｎｉ=1ｇ2 ｉ ( 1) ｆ21 ｆ22 =ｇ22ｆ22 ｆ23 =ｇ23…　…　…ｆ2 ｎ ｆ21 =ｇ21( 2 )证　由不等式ＡＢ≤ Ａ2 Ｂ22 得ｆ1 ｇ22 -ｆ22 ｆ2 ｇ23 -ｆ23 … ｆｎ ｇ21 -ｆ21≤ 12 {[ｆ21 ( ｇ22 - ｆ22 ) ] [ｆ22 ( ｇ23 - ｆ23) ] … [ｆ2 ｎ (ｇ21 -ｆ21 ) ] =12 ∑ｎｉ =1ｇ2 ｉ,当且仅当ｆ21 =ｇ22 - ｆ22 ,ｆ22 =ｇ23 -ｆ23 ,…　…　…ｆ2 ｎ=ｇ21 - ｆ21 ,　即ｆ21 ｆ22 =ｇ22ｆ22 ｆ23 =ｇ23…　…　…ｆ2 …     

复数集内解无理方程浅说

在中学数学复习中遇有这样一道题目:方程(x+4)~(1/2)-(x-4)~(1/2)+(x-1)~(1/2)=0在实数集合中的解是什么?在复数集合中的解是什么? 有的复习资料中给出如下的解法.     

用“系数关系”解二次曲线的切线问题

二次曲线有关切线的问题是一个老问题,也是一个繁杂的问题,但都是从切点坐标或切线的斜率这两个角度来导出切线方程,解决有关切线的问题。如果我们从切线方程的系数与原方程的系数关系这一点出发,同样能推导出简单易记的结论,在解决实际问题中也切实可行,对某些问题的解答比起前两种办法更加方便,简捷。本文拟就这方面谈点体会。     

用“拟二次曲线”解一类相交直线问题

一条直线与二条直线相交时，如果将此二直线方程相乘构成一个二元二次方程，我们当作它对应着一条二次曲线（不妨称为“拟二次曲线”），这时我们是把此二直线看作一条二次曲线．这样，我们就可以利用一条直线与一条二次曲线相交时处理问题的方法，来处理一直线与两直线相交的有关问题，这样做可以避免求交点从而使解题手续大大简化．通常可以利用这种策略来解如下几方面的问题．1与被截线段中点有关的问题例1一直线l被两直线4x十y＋6=0，3x-5y-6=0截得线段中点恰为坐标原点，求直线l的方程．解设拟二次曲线C：（4x十y十6）（3x=5y-6）=0，…     

浅谈二次曲线定义在解题中的作用

椭圆、双曲线和抛物线是三种重要的二次曲线,深刻理解它们的定义,掌握定义所反映的这些曲线的本质,并能运用椭圆、双曲线、抛物线的定义来解题,常能使问题化繁为简,化难为易,效果良好。数学试题中涉及二次曲线定义的内容较多,现择其有代表性的几例分析如下:     

解无理方程的一种参数法

中学数学中解无理方程常采用换元法,目的是把无理方程转化为有理方程,从而便于求解。其实质是一种参数法。引进参数后实际上是把一元无理方程转化为二元,乃至于多元的有理方程组。     

浅谈二次曲线定义的教学和应用

椭圆、双曲线和抛物线是平面解析几何中的重要曲线。深刻理解它们的定义是掌握这些重要曲线的前提,椭圆、双曲线和抛物线的定义反映了这些曲线的本质。因此,它是理解这些曲线的概念,推导它们的方程和解决与它们有关的问题的根本依据。     

巧用“升元法”解无理方程

升元法解无理方程就是根据无理方程的特点,增设未知数,从而把解方程问题转化为解方程组问题,这一转化常能使问题化难为易,化繁为简,请看下面三例。     

构造几何图形解无理方程(组)

在解无理方程(组)时,若能通过构造几何图形,把问题转化成研究几何图形的性质或位置关系来解,则可简化过程,提高效率. 　　……     

用“对称坐标法”解二次曲线中点弦问题

用“对称坐标法”解二次曲线中点弦问题陈具才（甘肃渭源一中７４８２００）二次曲线人。，９）＝０的中点弦问题，常见题型有：求弦适合某种条件时中点坐标或轨迹；求中点适合某种条件时弦所在直线方程或弦长；对称问题；有关中点弦的极值问题．人们一般是用韦达定理结合...     

用圆锥曲线定义速解选填题

对于某些数学问题,若能灵活运用其定 义,便能快速获解．下面仅谈谈圆锥曲线定义 的灵活运用． 例１ 已知圆Ｏ方程为ｘ～２＋ｙ～２＝１００,点 Ａ的坐标为（－６,０）,Ｍ为圆Ｏ上任意一点, ＡＭ的垂直平分线交ＯＭ于点Ｐ,则点Ｐ的轨 迹方程为（）． 此题若用求轨迹方程的其它方法很费 时,但根据图形用定义就能迎刃而解． ｜ＰＡ｜＋｜ＰＯ｜＝｜ＰＭ｜＋｜ＰＯ｜ ＝Ｒ Ｐ点的轨迹是以 Ａ（－６,０）,Ｏ（０,０） 为焦点的椭圆．故选（Ｂ）． 例 ２ 已知定点 Ａ（２,）,Ｆ是椭圆头十头一１的左焦点,点Ｍ在椭圆上移动,１６ １…