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余炯沛先生在[1]中导出了定理若0<a<1,则函数y=ax和y=logax的图象,当e-e≤a<1时有且仅有一个交点(此交点在直线y=x上);当0<a<e-e时有三个交点,其中一个在直线y=x上,其余两个在直线y=x外并且关于直线y=x对称.文[1]... 相似文献
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引理1 如果单调增函数与其反函数的图象有交点,那么交点一定在直线y =x上.证 设(a ,b)是函数y =f(x)与其反函数y=f- 1 (x)的图象的交点,则 b=f(a) ,b=f- 1 (a) ,( 1 )( 2 )由( 1 )得a =f- 1 (b) ( 3)因为f(x)与f- 1 (x)均为单调函数,且f(x)与f- 1 (x)具有相同的增减性.因为f(x)为定义域上的增函数,则f- 1 (x)也为定义域上的增函数.若a≠b ,当a >b时,由( 2 ) ,( 3)有f- 1 (b) >f- 1 (a) .所以b>a ,这与a >b矛盾.同理,当a 相似文献
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一个方程的解可以看作两个函数的图象的交点的横坐标。反过来,方程的解又可以反映两个函数之间的某种关系,即它们的图象相交的情况。因此,可以利用函数的性质对方程的解,特别是直接求解很困难的某些超越方程的解的情况作出定性的讨论。也可以利用方程的解对函数的图象间的交点个数作出定量的研究,本文主要通过对函数y=x~(1/x)和y=x~x的性质的分析,就方程a~x=x和a~x=loga~x等的解的情况进行讨论。 相似文献
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本刊 2 0 0 3年第 12期刊出了《关于函数 y =ax与 y =logax图象交点个数的研究》一文 ,文中作者综合应用了实验观察、归纳猜想、分析转化等多种数学方法和“几何画板” ,Qbasic编程语言、导数等数学工具 ,对函数 y =ax 与 y =logax的图象交点个数作了深入的研究 .本人对作者的综合应用能力和探究能力深感惊叹和钦佩 ,读后受益很多 .但需指出的文中作者利用“不完全归纳法” ,对a取一系列的特值 (a取 0 .5 ,0 .75 ,1.4 ,… ) ,分别作出函数 y =ax 与 y =logax的图象 ,再通过观察比较从而得出结论 :“函数 y =ax 与 y =logax(a >0 ,a≠ 1)图… 相似文献
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北师大版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第3.6节"指数函数、幂函数、对数函数增长的比较",借助"列表法"与"图象法"得到了函数y=x2与y=2x的图象在第一象限内有两个交点,那么函数y=x2与yax(a>0且a≠1)的图象在第一象限内是否一定有两个交点?如果不是,交点情况又如何?本文拟对此作一探究. 相似文献
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我们的数学教材中 ,讨论指数函数y =ax(a >0 ,a≠ 1)和对数函数y =logax(a >0 ,a≠ 1)时 ,在a >1的情况下 ,所列举的几个函数的图象与直线y=x均没有公共点 ,那么是否当a>1时 ,函数y =ax,y=logax的图象与直线y=x均没有公共点呢 ?其实不然 ,因y=logax的图象与y=ax 的图象关于直线y =x对称 ,现以y=ax 为例说明这个问题 :作函数y =ax -x(a>1) .先求出函数y =ax -x(a>1)何时取得最小值 .求导 ,得这个函数的导函数y′ =axlna -1.令y′ =0 ,得axlna =1因为a >1,所以lna>0 ,上式两边取自然对数得ln(axlna) =0 ,即xlna lnlna =0所以x=-lnlnalna类似上… 相似文献
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教材中对互为反函数图像间的关系作了如下阐述:"函数y=f(x)的图像与它的反函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称".那么,互为反函数的图像的交点会有怎样的情况呢? 相似文献
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我们把函数y=log_xN(其中底数是变数,真数是常数)和对数函数比较,有相同的性质,也有不同的性质。本文着重介绍函数y=log_N的单调性及其应用。定理1.当N>1时,函数y=log_xN在(0,1)和(1,+∞)内都是减函数。定理2.当0相似文献
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文[1]探索证明了函数y=lgcx/d/αax+b(αd≠bc,cα≠0)的图象是中心对称图形,它的对称中心是-d/c+d/α/2,lg(c/α),但过程稍显繁琐,笔者认为用结论:“函数f(x)的图象有对称中心(h,k)的充要条件是对定义域中的任何一个x,均有f(h+x)+f(h-x)=2k.”证明较为简洁明了.证明如下: 相似文献
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指数丢番图方程a~x+b~y=c~z 总被引:5,自引:0,他引:5
设a=|m(m~4-10m~2+5)|,b=5m~4-10m~2+1,c=m~2+1,其中m是正偶数。利用Bilu,Hanrot和Voutier关于本原素除子的深刻结果,证明了指数丢番图方程a~x+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5)。 相似文献
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大家知道函数 y=ax bcx d (c≠ 0 ,bc- ad≠ 0 )的图象可由函数 y=kx (k≠ 0 )经过平移而得到 (称为同形 ) .根据函数 y=kx (k≠ 0 )的表达式 ,我们能很快地知道该函数的图象及性质 ,那么是否可以根据函数 y=ax bcx d(c≠ 0 ,bc- ad≠ 0 )的表达式也能判断函数的图象和性质 相似文献
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分式函数y=ac-b/cx-d(c≠0,a2+b2≠0,ad-bc≠0)是一个常见的函数,但教材没有专门研究并给出它的图象及其性质,所以,当研究与之相关的某些问题时,也就没有现成的性质可作为结论被直接引用,以至分析、解决某些问题时,不便单刀直入,优化解题过程.为此,本文将从函数和方程的联系出发,运用解析法,通过讨论函数对应的方程的曲线的性质,从而得到函数的一些基本性质,为大家解决与之相关的某些问题提供可直接引用的结论,达到优化解题过程之目的.…… 相似文献
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设复数z =acosθ i·bsinθ,(a>b >0 ,0 <θ<π2 ) ,则θ为复数z在复平面上对应点z轨迹 x =acosθy =bsinθ(0 <θ<π2 为参数 )———椭圆 (在第一象限部分 )的离心角 ,如图 ,函数y=θ-argz即为∠AOZ .tg∠AOZ =tgy =tg(θ-argz)=tgθ - batgθ1 tgθ· batgθ=(a -b)tgθa btg2 θ=a-batgθ btgθ≤ a-b2ab,所以y的最大值为arctga -b2ab,当且仅当 atgθ=btgθ,即θ =arctg ab 时取得 .当a =3 ,b=2或a =3 ,b=1时就分别得到 9… 相似文献
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1 提出实例问题 1 (大屏幕显示 )烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的 (展示实物 ) .现在我们要用长方形铁片做成一个直角烟筒弯头 (如图 1 ) .如果烟筒的直径为 9cm,最短母线长均为 6 cm,不考虑焊接处的需要 ,选用的材料应是怎样尺寸的矩形铁片 ?如何裁剪 ,才能既省工 ,又节俭 ?图 12 切入正题让我们聚焦直角烟筒弯头 !由于两个圆柱呈垂直状 ,因此两个圆柱形烟筒的截面与水平面成 4 5°角 .现在 ,我们不妨先看一个小问题 ,换一个角度来思考 :问题 2 底面半径是 4 .5cm的圆柱被平面截成形状相同的两个几何体 ,如图 2所示 .若将… 相似文献
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关于函数y=asectx-btgtx的最值黄俊明(贵州省黔东南州民族林校556000)关于函数y=asectx-btgtx(a,b>0,x∈(0,π/2),t为常数)的最值,文[1]用与[2]定理对偶的一个不等式,研讨了t=-n(n∈N),n(n≥3... 相似文献
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同学们在学过对数函数y=logax后,对其性质及其应用自然比较娴熟.但是在解决某些关于对数的数学问题时,细心的同学可以发现,仅仅利用对数函数的性质还显得不甚方便,为此,我们在本文拟介绍一个与对数函数相关,而又异于对数函数的函数y=logxa(0〈a≠1). 相似文献
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我们知道,两个互为反函数的图像一定关于直线y=x对称.有不少同学因此而认为:互为反函数的两个函数如果有交点的话,其交点一定在直线Y=x上.其实这个结论是错误的.我们先举几个例子来说明一下: 相似文献
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关于函数y=asintx+bcostx的最值黄俊明(贵州省黔东南州民族林校556000)关于用初等方法求函数y=asintx+bcostx(a,b∈R+,t为常数,x∈(0,π/2))的最值,文[1]给出了t=-1时的情形,并在《数学通讯》1988年... 相似文献