On uniqueness cones,velocity cones andP-convexity

Sunto Viene studiata l'unicità nel problema di Cauchy quando i coefficienti sono analitici. Il metodo è basato sull'uso dei coni di unicità. Un cono di unicità è il cono duale di un cono convesso e aperto di direzioni non-caratteristiche in un semi-spazio. I risultati ottenuti sono così generali che ci si può chiedere se siano anche necessarie le trovate condizioni sufficienti per l'unicità nel problema di Cauchy. Vengono anche studiate la propagazione delle perturbazioni e la P-convessità.

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Entrata in Redazione il 25 febbraio 1972.

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Sections3, 4, 8 and9 of this paper were presented in a speech at the University of Oslo, December 13, 1971.     

On the variational formulation for linear initial value problems

Summary The paper shows the key place of the choice of the bilinear form in order to give a variational formulation to a given problem. In particular it is shown how the use of a convolution bilinear form makes possible a variational formulation for linear initial value problems. A critical survey of the three main methods that was devised in the past to solve the same problem is done.

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Sunto. La nota mette in evidenza il ruolo fondamentale della scelta di una forma bilineare al fine di dare formulazione variazionale ad un dato problema. In particolare è mostrato come l'uso di una forma bilineare di convoluzione renda possibile la formulazione variazionale dei problemi ai valori iniziali. Si fa un esame critico dei tre principali metodi che sono stati escogitati nel passato per risolvere lo stesso problema.

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This work has been sponsored by the Consiglio Nazionale delle Ricerche.

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Entrata in Redazione il 19 novembre 1971.     

Regularity of weak solutions of one-dimensional two-phase Stefan problems

Sunto Si considera il problema di Stefan unidimensionale a due fasi e si dimostra l'esistenza di soluzioni classiche sotto ipotesi minimali sui dati (continuità a tratti e limitatezza). Nelle stesse ipotesi si dimostra che tali soluzioni dipendono in modo continuo dai dati, conseguendo un risultato che è più generale anche di quello noto per le soluzioni deboli.

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Entrata in Redazione il 22 dicembre 1976.

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Work partially supported by the Italian C.N.R.     

A filtration problem in a porous medium with variable permeability

Sunto Un problema di frontiera libera (moto di un fluido attraverso una diga in terra non omogenea) è ricondotto allo studio di una disequazione variazionale. Si danno condizioni sul coefficiente di permeabilità sufficienti ad assicurare che la parte bagnata della diga è un sottografico.

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Entrata in Redazione il 30 giugno 1976.

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This paper is partially supported by National Science Foundation Grant MPS 72-04959 A02, and by C.N.R. of Italy through L.A.N. of Pavia.     

On the inversion of some differentiable mappings with singularities between Banach spaces

Sunto. Il classico metodo di P. Levy e R. Caccioppoli è esteso al caso di applicazioni tra spazi di Banach che presentino singolarità. Viene fatta un'applicazione ad un problema non lineare in cui si ha modo di valutare esattamente il numero delle soluzioni.

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Entrata in Redazione il 12 novembre 1971.

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Supported by G.N.A.F.A. (Gruppo Nazionale di Analisi Funzionale ed Applicazioni, C.N.R.).     

Sulla monogeneità negli spazi di Banach

Summary In assenza di struttura moltiplicativa, la definizione di funzione monogena viene data in questo lavoro basandosi sulla considerazione di una coppia di operatori lineari (uno dei quali coincidente ad es. col differenziale) che mandano 0-forme in 1-forme. Si stabiliscono risultati sull’esistenza delle derivate successive, delle primitive e un teorema integrale di tipo Cauchy. L’equivalenza fra il problema della primitiva e il problema della derivata appare qui dipendere dalla permutabilità dei ruoli degli operatori della coppia.

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Lavoro eseguito nell’ambito del Programma di Ricerca n. 9 del C.N.R.

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Entrata in Redazione il 25 giugno 1970.     

Alcuni risultati nella dinamica dei solidi elastici inestensibili

Riassunto In questa nota gli Autori dapprima formulano un problema ai limiti di tipo misto molto generale per la dinamica dei solidi elastici inestensibili in una data direzione e stabiliscono per tale problema un teorema di unicità della soluzione relativamente a domini sia limitati che illimitati. In secondo luogo prendono in considerazione il problema ai limiti relativo al solo spostamento ed anche per esso ottengono un teorema di unicità della soluzione. Infine stabiliscono un teorema di reciprocità valido per domini limitati e illimitati.

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Summary In this paper the Authors first formulate a very general mixed boundary-value problem for dynamics of inextensible elastic solids and they establish for this problem a theorem of uniqueness of solution in bounded and unbounded domains. Then they consider displacement boundary-value problem for which they obtain another theorem of uniqueness of solution. At last the Authors establish a reciprocal theorem for bounded and unbounded domains.

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Il lavoro è stato eseguito mentre il secondo Autore usufruiva di una Borsa di Studio C.N.R.     

On minimum problems for families of functionals

Sommario Per una famiglia { | λ ∈ ⁁} di funzionali reali definiti in uno spazio metricoX e dipendenti da un parametro λ ∈ ⁁, dove ⁁ è uno spazio topologico, si pone il problema di come si comporta, al variare di λ, l'insieme dei punti di minimo di I_λ. Lo studio di tale problema è l'oggetto del presente lavoro e il risultato principale è dato dal Teorema1.

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Entrata in Redazione il 3 marzo 1970.     

A minimum principle for an integral equation with mixed boundary conditions

We have considered an integral equation, which describes the dynamic problem of a viscoelastic body and submitted it to a boundary condition with fading memory. It has come out that the solution to this mixed initial-boundary value problem is a strict minimum of a proper class of functional with a weight function and vice versa.

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Sunto è preso in considerazione un problema misto con una condizione al contorno di tipo viscoelastico per un'equazione integrale, che descrive il problema dinamico di un corpo viscoelastico. Si mostra che la soluzione a tale problema rappresenta un minimo per un funzionale bilineare con una funzione peso e viceversa.

     

Una proprietà delle famiglie numerabili di catene sopra un albero

Riassunto Si studia qui un problema relativo alla distribuzione delle famiglie di catene sopra insiemi ordinati particolarmente regolari che vengono qui chiamati ?alberi?: si stabilisce un teorema d'isomorfismo e se ne mostra, attraverso corollari immediati, il significato topologico.

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Résumé On étudie ici un problème concernant la situation des familles dénombrables de cha?nes sur des ensembles ordonnés particulièrement réguliers, qu'on appelle ?arbres?: on établit un théorème d'isomorphisme dont on montre, par des considérations très simples, la signification topologique.

     

Su un problema di frontiera libera connesso a questioni di idraulica

Sunto Si dimostra esistenza e unicità della soluzione di un problema di frontiera libera che traduce il moto di filtrazione di liquidi attraverso mezzi porosi. Il problema è ricondotto alla minimizzazione di un funzionale quadratico su un convesso chiuso di uno spazio di Hilbert, il che fornisce anche dei procedimenti per l'approssimazione numerica del problema stesso. Entrata in Redazione il 16 dicembre 1971. Indirizzo dell'autore:C. Baiocchi, Istituto di Matematica, Università, Pavia. Questo lavoro è stato eseguito nell'ambito delle attività del Laboratorio di Analisi Numerica del C.N.R. di Pavia; i risultati qui ottenuti sono stati annunciati in una nota preventiva sui C. R. Acad. Sc. Paris, t. 273, pp. 1215–1217.     

The internal sphere condition and the capillary problem

Sunto In un importante lavoro [1], M. Emmer ha dimostrato l’esistenza di superfici di equilibrio capillari, definite in domini con frontiera Lipschitziana, quando la costante di Lipschitz L e l’angolo di contatto γ soddisfano la relazione L<|tg γ|. Questa condizione, che è noto essere necessaria in generale, può essere troppo restrittiva in alcuni casi particolari. In questo lavoro la condizione di Emmer è sostituita da una ? condizione di sfera interna ?, che conduce ad una larga classe di domini che non rientrano nel risultato di Emmer. L’esiestenza di una soluzione è dimostrata anche nel caso γ=0, che non può essere trattato con il metodo di Emmer.

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Entrata in Redazione il 26 agosto 1975.

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This work was initiated while the former author was at Universit?t Bonn and at Università di Genova, and the latter author at Université de Paris VI as a Fellow of the Deutsche Forschungsgemeinschaft.     

Regularity results for the porous media equation

Sunto In questo lavoro si considera il problema di Cauchy per l'equazione di filtrazione ∂u/∂t=∂ ² ϕ(u)/∂x ² nella regioneR×(0,T],0<T<∞. Sotto opportune ipotesi sulla funzione ϕ(u) si determina una stima dell'incremento temporale della soluzione u(x, t) (intesa nel senso debole). Nel caso politropico (ϕ(u)=u^m), quando m>2 si trova in particolare un comportamento h?lderiano di u(x, t) rispetto a t con l'esponente1/(m−1); viene anche dimostrato che questo esponete è effettivamente assunto da una particolare soluzione, per cui la stima ottenuta è la migliore possibile.

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Entrata in Redazione il 18 luglio 1978.     

On the motion of a viscoelastic solid in presence of a rigid wall

This is the first of two papers whose aim is the analysis of an unilateral problem related to the unidimensional motion of a viscoelastic standard linear solid in presence of a rigid rectilinear wall. The line of influence of the wall, which represents the free boundary of the problem, plays an essential role. To construct the solution, the explicit Riemann function of the third-order hyperbolic operator which characterizes the motions of is determined. Therefore the Darboux problem and the general Cauchy problem with initial data prescribed on arbitrary curvest=t (x) of thext-plane are explicitly solved. Furthermore, appropriate maximum theorems, necessary to verify the inequality of the constraint and to conjecture an admissible dynamic of the impact for the viscoelastic case we deal with, are stated.

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Riassunto Con questo lavoro viene iniziata una ricerca che si propone lo studio sistematico di problemi a vincoli unilaterali che caratterizzano l'urto di solidi viscoelastici contro un ostacolo. In questa prima parte viene preso in esame il caso di un materiale viscoelastico standard che urta contro una parete rigida. L'analisi si fonda sul concetto di linea di influenza dell'ostacolo, che rappresenta la frontiera libera del problema. Mediante la determinazione esplicita della funzione di Riemann dell'operatore iperbolico che caratterizza i moti del solido viscoelastico, vengono risolti il problema di Darboux ed il problema di Cauchy generalizzato. Inoltre, al fine di verificare la disequazione del vincolo e di stabilire la dinamica dell'urto, vengono dimostrati opportuni principi di massimo.

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Work performed under the auspices of C.N.R.     

Su un caso particolare di stabilità in media della magnetoidrodinamica

Sunto Si considera un particolare fenomeno magnetoidrodinamico, che è una generalizzazione del problema di Couette per un liquido elettricamente conduttore in presenza di un opportuno campo magnetico e si dimostra che qualunque soluzione del problema dotata di una certa regolarità e stabile in media, ossia la somma delle energie cinetica e magnetica di una generica perturbazione è una funzione decrescente del tempo. A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Raggruppamenti di ricerea matematica del C.N.R. Entrata in Redazione il 9 dicembre 1969.     

Il profilo alare ad arco di cerchio in flusso transonico continuo senza incidenza

Sunto Nella presente ricerca viene studiato con metodo diretto sul piano odografico il campo aerodinamico attorno a profili alari sottili ad arco di cerchio investiti senza incidenza da una corrente asintoticamente uniforme con numero di Mach M_∞<1. Il problema viene anzitutto formulato in forma analitica nell'ambito delle piccole perturbazioni transoniche effettuando alcune assunzioni atte a renderne possibile una trattazione di prima approssimazione. Esso viene ricondotto ad un particolare problema di valori al contorno con frontiera mobile, di cui si indica un metodo iterativo per la risoluzione. In questo procedimento iterativo interviene in modo essenziale la risoluzione di un altro problema di valori al contorno con frontiera fissa, di cui viene anzitutto data una formulazione variazionale. Succesivamente tale problema con frontiera fissa viene affrontato mediante calcolo numerico col metodo delle differenze finite. Si ottiene così un sistema di equazioni lineari per il quale si adattano i metodi di risoluzione utilizzati usualmente sui calcolatori elettronici.

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Summary In the present paper it is studied, with direct method on the hodograph plane, the aerodynamic field around thin circular arc aurfoils in asymptotically uniform flow with zero incidence and Mach number M_∞<1. The problem is, first of all, analitically formulated within the limits of small transonic perturbation with some assumption apt to make possible a first approximation treatment. Thus it is reduced to a particular boundary values problem with free boundary, for which an iteraction method for the solution is developed. In the iteraction process the solution of an other boundary values problem with fixed boudary occurs, for which it is given a variational formulation. The fixed boundary values problem is numerically treated by means of the finite differences method. Thus it is obtained a linear equations system which can be solved with the methods usually utilized on Computers.

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A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno

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Lavoro effettuato nell'ambito dei Contratti di ricerca della Matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche. Esso, in una stesura più estensiva, ha conseguito il premio Rancati 1969 dell'Istituto Lombardo, Accademia di Scienze e Lettere di Milano. Al primo Autore è dovuta la parte aerodinamica del lavoro e l'impostazione della risoluzione del problema matematico che ne consegue; al secondo Autore lo studio del problema con frontiera fissa; al secondo ed al terzo Autore la trattazione numerica del problema stesso.

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Entrata in Redazione il 10 aprile 1970.     

Frontiere minimali con ostacoli

Riassunto Recentemente diversi autori (v. [15], [16], [17], [18], [19], [20]) si sono interessati di problemi di esistenza e di regolarità di soluzioni di problemi variazionali verificanti diseguaglianze. In questo articolo considereremo il caso delle ipersuperfici minimali (di area minima), più precisamente delle frontiere minimali nel senso diDe Giorgi (v. [2] o [3]). Il risultato di regolarità, che è quello che ci pare più interessante, è grosso modo il seguente:frontiere minimali rispetto ad un ostacolo di classe C ¹ sono di classe C¹ in un intorno dell'ostacolo stesso. Il Teorema 2 del § 3 contiene l'enunciato preciso di tale risultato. Nel § 2 si fanno alcune considerazioni sulla validità del teorema di Bernstein per le frontiere minimali, in esso si prova (v. il Teorema 1) che un insieme avente frontiera non vuota minimale inR ⁿ e contenente un semispazio è esso stesso un semispazio. Tale risultato serve per la dimostrazione del teorema 2. Nel § 1 sono contenuti alcuni complementi alla teoria delle frontiere minimali.

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Résumé On considère le problème des hypersurfaces minimales en présence d'obstacles. On prouve le résultat de regularité suivant: ?les hypersurfaces minimales en présence d'obstacles de classeC ¹ sont de classeC ¹ dans un environ de l'obstacle?.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca del C.N.R. nell'anno 1970.     

A two phase stefan problem: regularity of the free boundary

We proved the infinite differentability of the function x=s(t) giving, for all t, the abscissa of the interface plane for a two phase Stefan problem in a plane infinite slab. The proof applies in both cases of temperature or thermal fluxes prescribed on the two limiting planes.

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Riassunto Con riferimento ad un problema di Stefan a due fasi in uno strato piano indefinito, viene dimostrata la infinita differenziabilità della funzione x=s(t) che rappresenta ad ogni istante la ascissa del piano di separazione tra le due fasi. La trattazione è valida sia per il caso in cui si assegni la temperatura sulle facce dello strato, sia per quello in cui venga assegnato il fiusso.

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The research was supported in part by the National Science Foundation contract GP 15724 and the NATO Senior Fellowship program.

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Entrata in Redazione il 14 settembre 1970.     

Sottopiani di Baer di un piano di MoufangT e non derivabilità diT

Riassunto è noto che il problema della derivabilità di un piano proiettivo nel senso di Ostrom, è strettamente legato alla esistenza di sottopiani di Baer. Il proposito di questa nota, è quello di risolvere la questione della derivabilità dei piani di Moufang, ossia di tutti quei piani di traslazione coordinatizzati da anelli di divisione alternativi propri. Dopo aver richiamato la rappresentazione di Andrè di un piano di MoufangP, vengono caratterizzati i sottopiani di Baer diP, come le sottostrutture diP coordinatizzate da sottoalgebre di quaternioni dell'anello di divisione alternativo diP. Si dimostra quindi cheP non è derivabile.

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Summary It is known that the problem of derivability of a projective plane in the sense of Pstrom, is closely linked with the existence of the Baer subplanes. The end of this note is to solvo the question of the derivability of the Moufang planes, that is the translation planes coordinatized by the alternative division rings. At first we recall the Andrè representation of a Moufang planeP, then the Baer subplanes ofP are characterized as the substructures ofP coordinatized by the quaternions subalgebras of the alternative division ring coordinatizingP. Then we prove thatP is not derivable.

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Lavoro eseguito nell'ambito dei programmi di ricerca del G.N.S.A.G.A. durante il periodo di godimento di una borsa di addestramento del C.N.R.     

Sul luogo di Gorenstein di un anello

Riassunto In questo lavoro viene data una nuova dimostrazione del fatto che il luogo di Gorenstein di un anello di Cohen-MacaulayA che sia immagine omomorfa di un anello di Gorenstein è aperto. La presente dimostrazione permette di dare esplicitamente l'ideale a ⊂A la cui varietà è il luogo non di Gorenstein diA. Si studia inoltre il comportamento del luogo di Gorenstein rispetto a certi omomorfismi di anelli.

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Summary In this paper we give a new proof of the fact that the Gorenstein locus of a Cohen-Macaulay ringA which is homomorphic image of a Gorenstein ring is open, this describing explicitly the ideal a⊂A whose variety gives the non-Gorenstein locus ofA. Also, we study the Gorenstein locus behaviour with respect to certain ring homormorphisms.

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Lavoro eseguito nell'ambito dei gruppi di ricerca del C.N.R.