空间折线与其中点折线周长间的一个关系

我们知道，依次连接三角形各边中点所得三角形的周长是原三角形周长的一半．一般地，依次连接折线各边中点所得的折线称为中点折线．那么，任意一条封闭折线（不一定是平面的），它的中点折线的周长与原折线的周长之间有什么关系呢？先给出如下引理引理１　△ＡＢＣ中，ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．其中当且仅当ＡＢ＝ＡＣ时取等号．证　在△ＡＢＣ中，ＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２－２·ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓＡ＝（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２＋（ＡＢ－ＡＣ）２ｃｏｓ２Ａ２≥（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２，∴ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．…     

有关费马点一个和式的下界问题

设Ｐ是△ＡＢＣ的费马点，记Ｐ点到△ＡＢＣ三个顶点距离之和为ｌ，关于ｌ的下界问题近来不少文章作了探讨．例如文［１］得出的结果是：ｌ＞ｓ，其中ｓ是△ＡＢＣ的半周长．本文得出一个更优的结果，首先引入：引理１［１］ｌ２＝０．５（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）＋２３△．引...     

三角形内角的余弦方程及应用

设△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ,ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）,内切圆、外接圆的半径分别为ｒ、Ｒ,则ｃｏｓＡ、ｃｏｓＢ、ｃｏｓＣ是方程,４Ｒ２ｘ３－４Ｒ（Ｒ＋ｒ）ｘ２＋（ｐ２＋ｒ２－４Ｒ２）ｘ＋（２Ｒ＋ｒ）２－ｐ２＝０（１）的三个根．证明在△ＡＢＣ中,由ｔｇＡ...     

一个有趣命题的推广

资料［１］第１６８页例５证明了下列命题：设抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）和定点Ｍ（２ｐ,０）,过Ｍ的动直线ｌ与抛物线Ｃ相交于Ｐ、Ｑ两点,Ｏ为坐标原点,则∠ＰＯＱ恒为直角;这个命题很有趣,本文将它做如下推广：定理　设抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）和定点Ｍ（ａ,０）（ａ＞０）,过Ｍ的动直线ｌ与抛物线Ｃ相交于Ｐ、Ｑ两点,Ｏ为坐标原点,∠ＰＯＱ＝θ（０＜θ＜π）．（１）若ａ＜２ｐ,则π２＜θ≤ａｒｃｃｏｓａ－２ｐａ＋２ｐ;（２）若ａ＝２ｐ,则θ＝π２;（３）若ａ＞２ｐ,则ａｒｃｃｏｓａ－２ｐａ＋２ｐ…     

一类具有双重奇性的抛物型方程的整体解和有限熄灭

本文讨论具有双重奇性的抛物型方程ｕｔ＝ ｄｉｖ（｜△ｕ~ａ｜ｐ~－２△ｕ~ａ）,（ｘ,ｔ） ∈ Ｒ~ｎ ×（０,∞）,其中Ｐ＞ １,ａ＞ ０,ｎ≤ ２．证明当１＜ Ｐ＜ｎ（ａ＋１）／（ａｎ＋１）时,存在整体自相似解ｕｇｓ（·,ｔ） ∈ Ｌ~ｑ（Ｒ~ｎ）（ｑ＞ｓ＝~△ｎ［１－ａ（ｐ－１）］／ｐ）,但是ｕｇｓ∈~／Ｌ~ｓ（Ｒ~ｎ）（定理２．１）;同时存在有限熄灭的自相似解ｕｌｓ满足相同的积分条件（定理 ３．１）．     

几个三角形面积比定理的统一证明

本文约定：△ＡＢＣ的三内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边长分别为ａ，ｂ，ｃ，面积为Ｓ，且△ＡＢＣ的半周长为ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ），内切圆半径长为ｒ（＝４ＲｓｉｎＡ２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２）．本刊文［１］给出了下面关于锐角三角形的内接三角形面积的一个不等式链Ｓ垂足△?..     

椭圆中与定长弦有关的三角形面积最大值探求

给定一椭圆和它的一条定长的动弦,本文对动弦为一边,椭圆中心为顶点的三角形面积的最大值进行探求,得出如下结论．定理　设ＡＢ为椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）上一条长为ｌ的弦,椭圆中心为Ｏ．则当２ｂ≤ｌ≤２ａ时,△ＡＯＢ面积的最大值为１２ａｂ;当０＜ｌ＜２ｂ时,△ＡＯＢ面积的最大值为ａｌ４ｂ４ｂ２－ｌ２;当２ａ＜ｌ＜２ａ时,△ＡＯＢ面积的最大值为ｂｌ４ａ４ａ２－ｌ２．为了证明定理,先给出两个引理．图１引理１　椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的弦ＡＢ与圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２的弦Ａ′Ｂ′对应…     

一类有趣的三角不等式

最近,本文作者通过研究、探索,发现了一类新颖、奇特的三角不等式．定理１在△ＡＢＣ中,有ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＞３４．（１）证∵ｃｏｓＢ－Ｃ２－ｓｉｎＡ２＝２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２＞０,∴ｃｏｓＢ－Ｃ２＞ｓｉｎＡ２,∴ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓ...     

Wilkins 不等式的推广

书［１］［２］收录了Ｗｉｌｋｉｎｓ的三个奇特结果：对任意△ＡＢＣ（其内角Ａ，Ｂ，Ｃ）有Ⅰ．ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ２≤２９３．仅当Ａ＝Ｂ＝ａｒｃｃｏｓ１３３时取等号；Ⅱ．ｓｉｎＡ２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ≤１５４（２１３－５）·２１３＋２２，仅当Ａ＝Ｂ＝ａ...     

三角形三边定理

本文的目的是想在任意三角形中,建立三边之间的关系式即ｆ（ａ,ｂ,ｃ）＝０．１三角形的三角余弦定理在△ＡＢＣ中,有ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡ·ｃｏｓＢ·ｃｏｓＣ＝１,这里略去它的证明．（见高中代数教材中介绍的证明）或者用行列式表示出...     

解直角三角形目标检测

一、填空（每空２分，共３０分）（１）在△ＡＢＣ中：∠Ｃ＝９０°，ａ＝１２，ｂ＝９，则ｓｉｎＡ＝，ｃｔｇＡ＝．（２）在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＡ＝４５，ＡＢ＝１０，那么ＢＣ＝，ｃｏｓＢ＝．（３）已知ｃｏｓ５４°３６′＝０．５７９３，查表求得同一行中它的修正值是５，则ｃｏｓ５４°３４′＝．（４）用“＜”号连结下列各数：ｓｉｎ３０°，ｔｇ４５°，ｃｔｇ９０°，ｃｏｓ４５°，ｃｔｇ６０°，ｃｏｓ３０°：．（５）化简：（ｓｉｎ６０°－１）２＋｜１＋ｃｏｓ３０°｜＝．（６）在△ＡＢＣ中，∠Ｂ是锐角，…     

数学问题解答 1998年7月号问题解答

１４１已知△ＡＢＣ的三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｃ＝２Ｂ，ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ，（Ⅰ）试求ｋ的取值范围；（Ⅱ）求ｃｏｓＡ－Ｃ２的值．解不难得知Ｂ＝６０°．（Ⅰ）命Ａ＝６０°－α，Ｃ＝６０°＋α（０°≤α＜６０°），此时ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ...     

涉及三角形傍切圆半径的一个不等式

定理设△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ,ｃ,其傍切圆与外接圆、内切圆的半径分别为ｒａ,ｒｂ,ｒｃ与Ｒ,ｒ,则有（２－ｒＲ）２≤ｒｂｒｃａ２＋ｒｃｒａｂ２＋ｒａｒｂｃ２≤（Ｒｒ－ｒＲ）２①引理令ｓ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）,则ｒｂｒｃａ２＋ｒｃｒａａ２＋ｒａｒｂａ２...     

1999年全国初中数学联合竞赛(Ⅰ)试题及参考答案

第一试选择题１．计算１１－４３＋１１＋４３＋２１＋３的值是（）．（Ａ）１（Ｂ）－１（Ｃ）２（Ｄ）－２解原式＝２１－３＋２１＋３＝４１－３＝－２．答：（Ｄ）．２．△ＡＢＣ的周长是２４,Ｍ是ＡＢ的中点,ＭＣ＝ＭＡ＝５,则△ＡＢＣ的面积是（）．（Ａ）１２（...     

一个命题的再研究

命题　△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，求证　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｂｃ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣｃａ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡａｂ　≥０．（１）（《数学通报》１９９７年５月号问题１０７２）文［１］对上述命题给出了一种简捷证法．通过对（１）式证法的研究，笔者得到了以下几个命题．命题１　设△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，则有：　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｃａ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣａｂ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡｂｃ　≤０．（２）证明　由正弦定理知，不等式（２）等价于ａ－ｂｃａ＋ｂ－ｃａｂ＋…     

三角形的正负等积点及其性质——兼谈两个猜想的证明

１　三角形等积点的定义设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点,若ａ·ＰＡ＝ｂ·ＰＢ＝ｃ·ＰＣ,则称Ｐ是△ＡＢＣ的等积点（其中ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ）．２　三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文［１］．命题１　分别以△ＡＢＣ的三边为边,向形外作等边△ＡＢＣ１、△ＢＣＡ１、△ＡＣＢ１,则ＡＡ１＝ＢＢ１＝ＣＣ１＝ｆ１,且直线ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１共点,这点叫△ＡＢＣ的正等角中心,本文用Ｆ１表示此点．其中ｆ１＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋４３△）,△表示△ＡＢＣ的面积．命题２　分别以非正△ＡＢＣ的三…     

一道IMO题的对偶式与面积解释

第２４届ＩＭＯ第６题是：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：ａ２ｂ（ａ－ｂ）＋ｂ２ｃ（ｂ－ｃ）＋ｃ２ａ（ｃ－ａ）≥０．（１）文［１］指出了它的下述对偶形式：ａｂ２（ａ－ｂ）＋ｂｃ２（ｂ－ｃ）＋ｃａ２（ｃ－ａ）≤０，（２）并给出了统一的距离解释．即不等式（１）、（２）的几何解释为：三角形内Ｂｒｏｃａｒｄ点到内心的距离非负．受此启发，笔者研究了第６届ＩＭＯ第２题：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：　ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ２（ａ＋ｃ－ｂ）＋ｃ２（ａ＋ｂ－ｃ）≤３ａｂｃ，（３）发现它也有如下的…     

一个三角形不等式的四面体移植

设△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ与外接圆半径、面积和半周长分别为ａ、ｂ、ｃ、Ｒ、△、ｓ．Ｐ是△ＡＢＣ内任意一点,ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｌ、Ｍ、Ｎ．１９６６年荷兰的Ｏ．Ｂｏｔｔｅｍａ建立了不等式：　　　ＡＬ·ＢＭ·ＣＮＳ△ＬＭＮ≥４ｓ（１）等号当且仅当Ｐ是△ＡＢＣ的内心时成立．类似上式,贵刊文［１］Ｐ２６刊载了刘键先生建立的不等式：ＡＬ·ＢＭ·ＣＮａ·ＰＬ＋ｂ·ＰＭ＋ｃ·ＰＮ≥△Ｒ（２）等号当且仅当△ＡＢＣ为锐角三角形且Ｐ为垂心时成立．文［２］给出了（２）式的简证,受其启发,笔者通…     

1998年全国初中数学竞赛试题

１９９８年全国初中数学竞赛试题一、选择题１、已知ａ，ｂ，ｃ都是实数，并且ａ＞ｂ＞ｃ，那么下列式子中正确的是（）（Ａ）ａｂ＞ｂｃ（Ｂ）ａ＋ｂ＞ｂ＋ｃ（Ｃ）ａ－ｂ＞ｂ－ｃ（Ｄ）ａｃ＞ｂｃ２、如果方程ｘ２＋ｐｘ＋１＝０（ｐ＞０）的两根之差为１，那么ｐ等于（...     

解直角三角形

一、读书自学　Ｐ３３～Ｐ３５二、知识回顾１．解直三角形根据直角三角形中已知两个元素（除去直角）,其中至少有一已知元素是边,求出其余的过程．２．解直角三角形的根据．在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°,ａ、ｂ、ｃ分别为∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边,六元素的主要关系如下：（１）三边关系：ａ２＋ｂ２＝,（２）两锐角关系：∠Ａ＋∠Ｂ＝,（３）边与角的关系（以∠Ａ为例）ｓｉｎＡ＝,ｃｏｓＡ＝,ｔｇＡ＝,ｃｔｇＡ＝．（４）面积公式：Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａ·＝１２ｃ·ｈｃ（其ｈｃ为ｃ边上的高）三、典型范例例１　在Ｒｔ△ＡＢＣ…