A min max problem

This paper studies a special class of min max problems in two sections. In Section I, a procedure is developed which gives the optimal solution of the problem. The Section II deals with ranking the solutions in increasing order of the value of the objective function.

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Zusammenfassung Eine spezielle Klasse von Minimax-Problemen wird untersucht. In Teil I wird ein Verfahren zur Bestimmung der Optimal-Lösung des Problems entwickelt. Teil II behandelt die Anordnung der Lösungen entsprechend ansteigender Werte der Zielfunktion.

     

Optimierung von Funktionalen unter nichtholonomen Nebenbedingungen

Zusammenfassung Es wird die Minimierung gewisser stetiger Funktionale unter Nebenbedingungen in der Form eines Differentialgleichungssystems betrachtet. In Teil I dieser Arbeit untersuchen wir die Existenz von Lösungen unserer Aufgabenstellung und leiten für eine Klasse von Funktionalen, die neben den bestimmten Integralen noch andere für die Praxis wichtige Funktionale umfaßt, eine Funktionalgleichung ab. Diese bildet die Grundlage eines in Teil II (veröffentlicht im nächsten Heft dieser Zeitschrift) angegebenen Verfahrens zur Berechnung von Minimalfolgen unseres Problems, das eine Verallgemeinerung der Methode der dynamischen Optimierung darstellt. Zum Schluß wird die Frage der Konvergenz einer Minimalfolge gegen eine Lösung diskutiert.

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Summary This study contains the minimization of certain continuous functionals under constraints in the manner of a system of differential equations. In part I of this paper we examine the existence of solutions of our problem and derive a functional equation for a class of functionals which includes the determined integrals and other for the practice important functionals. This functional equation is the foundation of a method for calculating minimal sequences of our problem presenting a generalization of the method of dynamic programming, stated in part II (published in the following number of this journal). Finally the question of convergence of a minimal sequence towards a solution is discussed.

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Von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München angenommene Habilitationsschrift. 1. Referat: Prof. Dr.J. Heinhold, 2. Referat: Prof. Dr.E. Lammel.

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Vorgel. v.:J. Heinhold.     

Zur Theorie und Praxis der dynamischen Optimierung

Zusammenfassung Für eine große Klasse kontinuierlicher dynamischer Optimierungsprobleme, bei denen es sich um die Optimierung eines Integralausdrucks unter gewissen nichtholonomen Nebenbedingungen handelt, wird nach der Untersuchung der Existenz von Lösungen und der Ableitung einer Funktionalgeichung in Teil I dieser Arbeit in einem II. Teil (veröffentlicht im nächsten Heft dieser Zeitschrift) ein Verfahren zur Lösung mit Hilfe eines iterativen elektronischen Analogrechners einschließlich der zugehörigen Konvergenzbetrachtungen angegeben. Das Lösungsverfahren ist auch für Digitalrechner verwendbar, als besonders geeignet erscheinen die gerade jetzt in der Entwicklung begriffenen hybriden Rechenanlagen.

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Summary We treat a large class of problems of continuous dynamic programming. We have to optimize a certain integral expression restricted by some nonholonomic secondary conditions. We investigate the existence of solutions, and derive a functional equation. In a second part of this paper (being published in the next number of this journal) we give a method for the solution of this problem by means of an iterative analogue computer, and study the convergence of this method. For our procedure we can also use digital computers, especially hybrid computers.

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Diese Arbeit ist ein Auszug aus der von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München genehmigten Dissertation des Dipl.-Math.Klaus Neumann, Institut für Angewandte Mathematik der Technischen Hochschule München, Dir. Prof. Dr.J. Heinhold, 8 München 2, Arcisstraße 21. Tag der Promotion: 18. 12. 1964.

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Vorgel. v.:J. Heinhold     

Further auxiliary functions for non-stationary one-dimensional diffusion. Part II: Applications

In part I, basic properties of a class of functions (called Psi-functions) are investigated, e.g., series representation, recurrence relation, asymptotic behavior. In part II, the solution of some versions of the diffusion equation by a series of Psi- and Omega-functions is treated. Psi-functions may be used as auxiliary functions in the case of one-dimensional non-stationary diffusion under removal process or forced convection.

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Zusammenfassung In Teil I werden grundlegende Eigenschaften einer Klasse von Funktionen (genannt Psi-Funktionen) untersucht, z.B. Reihenentwicklung, Rekursion, asymptotisches Verhalten. In Teil II wird die Lösung einiger Versionen der Diffusionsgleichung durch eine Reihe nach Psi- und Omega-Funktionen behandelt. Psi-Funktionen eignen sich als Hilfsfunktionen im Fall eindimensionaler nichtstationärer Diffusion bei Absorption oder erzwungener Konvektion.

     

Die Duoplex-Methode

Zusammenfassung Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit wird auf zwei neue Arten gezeigt, wie man eine erste zulässige Lösung in einem linearen Programm auffinden kann. Das eine Verfahren benützt dazu die Simplexmethode, das andere bedient sich projizierter Gradienten.Der zweite Teil beschreibt das Duoplex-Verfahren, nach welchem man lineare Programme mit verhältnismäßig wenig Iterationsschritten lösen kann. In einer ersten Phase versucht man, auf einfache Art möglichst nahe an den Optimalpunkt zu gelangen. Die zweite Phase ergibt dann die gesuchte Optimallösung.Das Duoplex-Verfahren macht öfters Gebrauch von den Methoden, die im ersten Teil entwickelt wurden.

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Summary The first part of this work deals with the question of finding a primary feasible solution to a linear program. It thereby explores two new procedures. One makes use of the Simplex method, while the other is based on projecting gradients.The second part describes the Duoplex procedure to solve linear programs with a relatively limited number of iterations. This procedure involves two stages: The first leads in a simple manner to a point as near as possible in the vicinity of the optimal solution, while the second results in the optimal solution itself.The Duoplex procedure often makes use of the methods developed in the first part of this work.

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Herrn Professor Dr. Dr. h. c. KARL KÄFER zum 65. Geburtstag gewidmet     

A note on uniform asymptotic edge ‘diffraction’ for the diffusion equation

Zusammenfassung In einer früheren Arbeit wurden asymptotische Lösungen von Wärmeleitungsproblemen betrachtet, bei denen die Randflächen des betrachteten Gebietes Kanten enthalten. Diese Lösungen erwiesen sich auf gewissen Kurven und Flächen sowie auf den Kanten als singulär. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist eine allgemeingültige Beschreibung der Lösungen von Kantenproblemen der betrachteten Art. Diese Lösungen erscheinen in der Form von asymptotischen Entwicklungen, die nirgends singulär sind.

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This research was supported by the National Science Foundation under Grants GP-7641 and GP-12188.     

An elementary approach to a generalized Hopf bifurcation

In the case of a generalized Hopf bifurcation several periodic solutions may branch off from the equilibrium. An elementary procedure is presented for establishing all those bifurcating solutions, as well as their stability behaviour, provided a certain non-degeneracy condition is satisfied.

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Zusammenfassung Im Falle einer verallgemeinerten Hopf-Verzweigung können mehrere periodische Lösungen von der Gleichgewichtslage abzweigen. Es wird ein elementares Verfahren vorgestellt, welches erlaubt, unter einer gewissen Nichtentartungsbedingung diese kleinen periodischen Lösungen sowie ihre Stabilität zu bestimmen.

     

Zwei Algorithmen zur Lösung eines komplexen Reihenfolgeproblems

Zusammenfassung Bei der Ordnung von Input-Output-Matrizen treten Kriterien auf, die wesentlich komplexer sind als die Ordnungsbedingungen bei klassischen Reihenfolgeproblemen (z. B.Traveling-Salesman-Problem). Ausgehend von den Arbeiten vonHelmstädter werden im folgenden die mathematische Formulierung eines solchen Reihenfolgeproblems sowie zwei Algorithmen zu dessen Lösung angegeben. Ein Verfahren ist ein lexikographischer Suchalgorithmus, das andere eine Modifikation des bekanntenJacobi-Verfahrens zur Berechnung von EigenwertenHermitescher Matrizen.

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Summary On the ordering of input-output matrices we use some criteria which are more complex than the order conditions of classical sequencing problems (e. g.Traveling-Salesman-Problem). Basing on the papers ofHelmstädter we will give a mathematical formulation of this sequencing problem and two algorithms solving them. One procedure is a lexicographic searching algorithm, the other one a modification of the well knownJacobi-method which calculates the eigenvalues ofHermiteian matrices.

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Ein Teil dieser Arbeit wurde als Referat auf der Jahrestagung der Deutschen Gesellschaft für Unternehmensforschung (DGU) am 23. September 1968 in Dortmund vorgetragen.

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Vorgel. v.:W. Krelle.     

Exact nonlinear solution of the bending of a constrained beam

Zusammenfassung Für einen beidseitig eingespannten schlanken Stab, dessen Enden sich auf einem Kreis verschieben können, wird die exakte Lösung entwickelt. Die Reaktionen sowie die elastische Linie lassen sich mit Hilfe von elliptischen Integralen erster und zweiter Gattung bestimmen. Ein numerisches Beispiel zeigt die Anwendung der behandelten Methode, die bei der Konstruktion gewisser drehbarer Einspannung von Interesse ist.     

Das nichtkooperative Nichtnullsummen-Zwei-Personen-Spiel

Zusammenfassung Als Grundlage für die Theorie des Nichtnullsummen-Zwei-Personen-Spiels werden die Begriffe Gleichgewichtspunkt, Sattelpunkt, präventive und defensive Strategie, Felddominanz, Strategiendominanz und mehrere Unterbegriffe davon definiert. Mit ihrer Hilfe wird eine Anzahl von Sätzen bewiesen, die unmittelbar zu einer Lösung dieses Spieltyps führen: Es zeigt sich, daß es zwei Klassen von Nichtnullsummenspielen gibt: solche mit spielbedingten und solche mit persönlichkeitsbestimmten Lösungen. Erstere umfassen alle Spiele, die einen einzigen, nichtdominierten Gleichgewichtspunkt besitzen. Dieser ist die Lösung. Bei allen übrigen Spielen ist die Persönlichkeit der Spieler sozusagen selbst Teil des Spiels. Auch hierfür werden Lösungen angegeben.

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Summary The following terms being the basis of the two-person non-zero-sum games will be defined: equilibrium point, saddle point, preventive and defensive strategy, field dominance, strategy dominance, and several other sub-terms. Using these terms a number of theorems leading directly to a solution of this type of games will be proved. It is shown that there are two types of non-zero-sum games: one type with game-determined solutions and another one with personality-determined solutions. The first one includes all games having a single non-dominated equilibrium point, which is the solution. In all other games the player's intention must be considered as part of the game. Here as well solutions are given.

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Der Grundgedanke wurde von Professor Dr.W. Krelle auf der Jahrestagung der DGU vom 9. bis 11. September 1963 in Braunschweig vorgetragen und anschließend in Zusammenarbeit mit Diplom-MathematikerDieter Coenen in eine druckreife Form gebracht.     

A combined boundary value and transmission problem arising from the calculation of eddy currents: Well-posedness and numerical treatment

The problem of calculating eddy current losses is formulated as a boundary value and transmission problem for a complex Helmholtz equation and Laplace's equation. By deriving an equivalent system of integral equations, we show the existence of a unique solution depending continuously on the data. Furthermore, we propose a numerical method based on decomposing the problem into two boundary value problems, where part of the boundary values have to be determined by a system of linear equations.

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Zusammenfassung Das Problem der Berechnung von Wirbelstromverlusten wird als Randwert- und Übergangsproblem für eine komplexe Helmholtz- und die Laplacegleichung formuliert. Wir führen dieses Problem in ein äquivalentes Integralgleichungssystem über und zeigen die Existenz einer eindeutigen, stetig von den Daten abhängenden Lösung. Weiter schlagen wir eine numerische Lösungsmethode vor, die auf der Dekomposition des Problems in zwei Randwertprobleme beruht, wobei ein Teil der Randwerte durch ein lineares Gleichungssystem zu bestimmen ist.

     

Heuristische Verfahren zur Maschinenbelegungsplanung bei Reihenfertigung

Zusammenfassung Nach einem Überblick über die Probleme der Maschinenbelegungsplanung und die bisherigen Lösungsansätze hierzu wird für ein Modell der Maschinenbelegungsplanung bei Reihenfertigung, dasFlowshop-Scheduling-Modell, die Konstruktion von heuristischen Lösungsverfahren untersucht und als Beispiel ein weiteres wirksames heuristisches Verfahren abgeleitet. In einem Test bezüglich der Problemlösungsqualität wird die Anwendbarkeit dieser heuristischen Verfahren nachgewiesen.

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Summary In the case of the flowshop-scheduling-model, the construction of heuristic methods is analyzed. Another efficient heuristic method is derived. Concerning the quality of solutions found, a test shows the applicability of the heuristic methods.

     

Stagnation point flows of non-Newtonian power law fluids

Zusammenfassung Zur Berechnung der exakten Lösungen der nichtlinearen Differentialgleichungen, welche die Grenzschichtströmungen der nicht-Newtonschen Flüssigkeiten mit Potenzgesetz in der Gegend des zweidimensionalen oder axialsymmetrischen Staupunktes beschreiben, wird ein numerisches Verfahren entwickelt. Diese Berechnungen zeigen, dass die Methode von Pohlhausen in den angeführten Fällen zu widerspruchsvollen Resultaten führen kann.     

Integral representations in two dimensional potential theory

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass mittels einer passenden Integraldarstellung der Potentialfunktion eine Klasse von Problemen der zweidimensionalen Potentialtheorie auf die Lösung einer Abelschen Integralgleichung zurückgeführt werden kann. Das Verfahren wird durch Anwendung auf Probleme der klassischen Aerodynamik, der Magnetoaerodynamik und der Elastizität veranschaulicht.     

Methods for lower bounds to frequencies of continuous elastic systems

Zusammenfassung Es werden Verfahren zur Berechnung der unteren Grenzen des Frequenzgangs freier Schwingungen von kontinuierlichen linear-elastischen Systemen dargestellt. Diese Verfahren beruhen auf einer systematischen Verbesserung der durch explizite Lösung ähnlicher, jedoch einfacherer Schwingungsprobleme hergeleiteten unteren Grenzen. Die Allgemeinheit unserer Darstellung ermöglicht die Erfassung einer umfangreichen Klasse linearer Theorien. Die Anwendbarkeit dieser Verfahren wird an Beispielen aus der klassischen Plattentheorie erläutert, und es werden numerische Ergebnisse für vier Balkenprobleme angegeben.

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Sponsored in part by the Aeronautical Research Laboratories, OAR, through the European Office of Aerospace Research, United States Air Force.

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Sponsored in part by the Department of the Navy under contract NOw-62-0604-c with the Bureau of Naval Weapons.     

Constitutive theory for a mixture of an isotropic elastic solid and a non-Newtonian fluid

Zusammenfassung Greens undNaghdis Formulierung der Theorie von in Wechselwirkung stehenden Kontinua benützend, leiten wir in dieser Abhandlung eine allgemeine (d.h. nichtlineare) Theorie ab, welche das thermomechanische Verhalten eines isotropischen elastischen Körpers, der von einer nicht-Newtonschen zähen Flüssigkeit durchdrungen ist, beschreibt. Konstitutive Gleichungen für Mixturen dieser Art werden zuerst postuliert und dann zu einer expliziten Form reduziert mit Hilfe von auf Tensor-Invarianten gewonnenen Resultaten. Dann untersuchen wir eine Klasse von Kräftereihe-Lösungen von Feldgleichungen und benützen ein iteratives Verfahren zur Lösung dieser Gleichungen, von denen jedes Stadium die Lösung von Lineargleichungen zur Voraussetzung hat. Das erste Stadium stellt eine linearisierte Theorie dar, für welche thermodynamische Reduktionen von der Ungleichheit bei der Wärmegewichtserzeugung abgeleitet werden. Schliesslich geben wir kurze Hinweise auf die dissipativen Mechanismen, welche die Erzeugung von Wellen mit kleiner Amplitude in der von uns behandelten Klasse von Mixturen affiziert.     

Finite difference methods of solution of the von mises boundary layer equation with special reference to conditions near a singularity

Zusammenfassung Frühere Forscher haben die Misessche Gleichung als Mittel zur Lösung des Problems der Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte mit Druckanstieg nicht verwendet wegen ihrer unangenehmen Singularität an der Platte. In der vorliegenden Untersuchung wird eine Geschwindigkeitsverteilung berechnet, welche die Plattenbindungen berücksichtigt und folglich den Hautreibungswert durch die Geschwindigkeitswerte in der Grenzschicht berechnen lässt. Diese Werte werden ermittelt durch ein Fortsetzungsdifferenzenverfahren auf der Grundlage der Misesschen Gleichung sowie durch ein modifiziertes Differenzenverfahren in der Nähe der Platte. Dieses letzte Verfahren ist nötig wegen der Instabilität der ursprünglichen Fortsetzungsberechnung in der Nähe der Platte. Angesichts der verhältnismässig geringen Rechnungsarbeit stimmen die Ergebnisse gut überein mit den Lösungen anderer Forscher, die andere Formen der Grenzschichtgleichung benutzten. Die Genauigkeit der in dieser Untersuchung erreichten Ergebnisse lässt sich natürlich noch vermehren durch Anwendung einer kleineren Schrittweite bei der ersten Fortsetzungsberechnung.     

Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit nichtlinearen Splines

Zusammenfassung In dieser Arbeit werden nichtlineare Splines zur Lösung von Anfangswertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen herangezogen. In der Nähe von Singularitäten besitzen z.B. verallgemeinerte rationale Splines mit variablen Exponenten gute Approximationseigenschaften. Bei Polynomsplines können Konvergenzaussagen hergeleitet werden, indem Äquivalenz dieser Verfahren mit gewissen linearen Mehrschrittverfahren gezeigt wird. In dieser Arbeit behandeln wir den nichtlinearen Fall, indem wir die lokalen Fehler in den Knoten direkt verfolgen. Einige numerische Beispiele zeigen die Güte dieser Verfahren insbesondere bei solchen Lösungen, die sehr steil anwachsen oder sogar im betrachteten Intervall singulär werden.

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Solution of ordinary differential equations with nonlinear splines

Summary We consider the technique of using nonlinear splines to solve the initial value problem of ordinary differential equations. It is known, for example, that generalized rational splines with variable exponents yield good approximations to the exact solution in the neighborhood of a singularity. In the case of polynomial splines, convergence results may be derived by demonstrating the equivalence of the method to linear multistep methods. This sort of analysis has been done by many authors. In this paper we treat the nonlinear case and are able to prove convergence by directly estimating the local errors at interior knots. Some computational examples are given which illustrate the power of the method near a singularity.

     

Approximate solution of the propagation of an axisymmetric blast wave generated by a finite spherical charge

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Ausbreitung starker Stosswellen in einem idealen Gas ohne innere Reibung und Wärmeleitung. Für den Fall einer axialsymmetrischen Strömung werden Ähnlichkeitstransformationen angegeben, welche die Eulerschen Gleichungen in sphärischen Polarkoordinaten auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen reduzieren. Die klassischen Lösungen von SirG. I. Taylor sind in den angegebenen Transformationen enthalten.Es wird weiter gezeigt, dass der Ähnlichkeitsansatz keine exakte Lösung für den Fall einer von einer endlichen explodierenden Ladung erzeugten Stosswelle liefert, jedoch eine Näherungslösung gestattet.Numerische Ergebnisse für eine kugelförmige Stosswelle, erzeugt durch die Explosion einer endlichen Ladung, sowie für eine axialsymmetrische Stosswelle, erzeugt durch eine Punktladung endlicher Energie, werden mitgeteilt.     

On the hydrodynamic interaction of two spheres oscillating in a viscous fluid. II. Three dimensional case

Asymptotic solution of the Navier-Stokes equations is derived for the problem of the viscous flow induced by two spheres oscillating in a direction perpendicular to their central line.The main purpose of the paper is to study the effect of the hydrodynamic interaction of the spheres on the forces acting upon them in this complicated three dimensional flow.It is shown that the drag on each of the two spheres decreases as the distance between them increases and also that each sphere experiences a repulsive force in a direction perpendicular to the oscillating stream.

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Zusammenfassung Das asymptotische Verfahren für die Lösung der Navier-Stokesschen Gleichungen wird angewendet für die Strömung, die bei der Schwingung von zwei Kugeln senkrecht zur Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte entsteht.Das wichtigste Ziel der Arbeit ist die Untersuchung der hydrodynamischen Beeinflussung der Kugeln durch die Kräfte, die bei dieser komplizierten dreidimensionalen Strömung entstehen.Es wurde gefunden, daß der Widerstand der Kugeln sich mit wachsendem Abstand zwischen ihnen verringert. In Richtung senkrecht zur Schwingung wirkt auf jede Kugel eine abstoßende Kraft.