再谈对数学问题“1751”号题的思考

拜读《数学通报》2008年第10期罗志强老师编拟并解答的1751号数学问题和2009年第12期张启成老师《对数学问题“1751”号题的再思考》一文,笔者也产生了一些思考,现整理如下,供研讨原题 如图1,点M是△ABC外接圆优弧AB的中点,点D是M在AC上的射影.求证:AD=DC+ CB.由于AC=AD+CD,所以要证明AD=DC+ CB,可以转化为证明AC=2CD+ CB,于是又可以得到以下几种证明方法.     

对一道"新题征展"题的再思考及推广

笔者仔细的研读了文[1],不禁为杜老师的巧夺天工惊叹不已!更为“新题征展”栏目猜中高考题而喝彩!此题目与07年安徽省高考数学文科18题相互辉映,促使笔者顿生灵感,给出以下两个定理供读者参考.定理1如果抛物线y2=2px(p>0)及定点,P(a,0)(a>0)、两弦AC、BD垂直相交于P点,如图,那么(SADPCB)min=4pa,(SADPCB)max不存在.证明设∠APx=θ,0<θ<π2,则直线lAC的参数方程为x=a tcosθ,y=tsinθ.代入y2=2px(p>0),得到,t2sin2θ-2ptcosθ-2pa=0.解得t1=pcosθ p2scinos22θθ 2pasin2θ,t2=pcosθ-p2scinos22θθ 2pasin2θ,(其中t1、t2分别表…     

一道美国数学奥赛题的再思考

第33届美国数学奥林匹克第5题为： 设a，b，c均为正实数，证明：     

一道美国数学奥赛题的再思考

第33届美国数学奥林匹克第5题为:设a,b,c均为正实数,证明:(a5-a2 3)(b5-b2 3)(c5-c2 3)≥(a b c)3.文[1]推广了上述不等式,得到如下结果:设ai>0,i=1,2,…,3k,k为自然数,则∏3ki=1(ai5k-ai2k 3k)≥(∑3ki=1ai)3k.文[2]将[1]的结论再推广为:设ai>0,i=1,2,…,n,α,β为正实数,则∏     

一道美国数学奥赛题的再思考

第33届美国数学奥林匹克第5题为： 设a，b，C均为正实数，证明： （a^5-a^2＋3）（b^5-b^2＋3）（c^5-c^2＋3）≥（a＋b＋c）^3.     

对1566号数学问题的若干思考

问题在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D、E在BC上,且∠DAE=60°,过A、D、E的圆交AB于P,交AC于Q,     

对一道数学训练题的思考

温特贝尔特大学认知与技术小组开发的贾斯珀系列,从1980年至今风靡美国20余年,学生喜欢,教师喜欢,甚至一些家庭、社区、企业的有关人士也喜欢.这个贾斯珀系列具有何种魅力能够令人们如痴如醉呢?我们不妨来欣赏一道最具影响力的数学训练题:     

数学问题1885的解后再思考

《数学通报》2010年第12期问题1885为:已知a,b,c为正数,求证: 9a/(b+c)+16b/(c+a)+25c/(a+b)≥22,笔者先给出此不等式的几种证明方法,然后通过对方法的解析,给出不等式的几种推广.     

对一道积分不等式题的再思考

利用提升维度的方法并结合几何图形直观分析,给出一道一元函数积分均值不等式的新证明,并将原不等式推广至形式较为对称的不等式,使得原不等式成为新不等式的特例.最后证明新不等式与函数单调递减的定义等价.     

关于数学问题第1990题的深入思考

最近阅读了罗先生的文章,深受启发,但觉得有些地方值得商榷,题目如下:问题1990(数学通报2011年第2期)已知     

由数学问题2268引发的再思考

1 引言 《数学通报》2015年10月号问题2268[1]:试证明sin2π/7+sin2.2π/7+sin23π/7=16 sin2 π/7sin22π/7sin23π/7. 原解答利用正弦、余弦的积化和差等公式及一定的运算技巧给出了该恒等式的证明.     

一道数学奥林匹克题的再推广

1999年加拿大数学奥林匹克试题第 5题 :已知x ,y ,z为满足x + y +z =1的非负实数 ,试证 :x2 y + y2 z +z2 x≤ 42 7( 1 )并指出等号成立的条件 .文 [1 ]将其多元推广为 :若x1,x2 ,… ,xn(n≥ 3)为满足x1+x2+… +xn=1的非负实数 ,则x21x2 +x22 x3+… +x2n- 1xn+x2nx1≤ 42 7( 2 )当x1,x2 ,… ,xn 中一个为 23,另一个为 13,其余n - 2个均为 0时等号成立 .今对赛题 ( 1 )式与文 [1 ]推广 ( 2 )式分别作指数推广 .1　赛题的指数推广定理 1　若x ,y ,z为满足x + y +z =1的非负实数 ,n ,m∈N+且n≥m ,则　xnym + ynzm +znxm≤13nnmm(n +m) n +m　…     

一道数学奥林匹克题的再推广

1999年加拿大数学奥林匹克试题第 5题 :已知 x,y,z为满足 x+ y+ z=1的非负实数 ,试证 :x2 y+ y2 z+ z2 x≤ 42 7( 1 )并指出等号成立的条件 .文 [1 ]将其多元推广为 :若 x1 ,x2 ,… ,xn( n≥ 3)为满足 x1 + x2 +… + xn=1的非负实数 ,则x21 x2 + x22 x3+… + x2n- 1 xn+ x2nx1 ≤ 42 7( 2 )当 x1 ,x2 ,… ,xn中一个为 23,另一个为 13,其余 n- 2个均为 0时等号成立 .今对赛题 ( 1 )式与文 [1 ]推广 ( 2 )式分别作指数推广 .1　赛题的指数推广定理 1　若 x,y,z为满足 x+ y+ z=1的非负实数 ,n,m∈N+且 n≥m,则　xnym+ ynzm+ znxm≤13nnmm( n+ …     

对数学问题1720的再研究

《数学通报》(文[1])2008年2期问题1720为:△ABC中,以BC为轴(长轴或短轴均可)作一椭圆交AB于E,交AC于F(如图1).设M、N分别是点E、F关于直线BC的对称点,EN交FM于D.求证:AD⊥BC. 文[2]中供题者利用伸缩变换给出了上述问题的证法,文[3]给出了该问题的常规解法,并把它进行了探究得出以下结论(文[3]中的性质12),同时把结论拓展到双曲线.     

再谈一道数学联赛题的数学教育意义

笔者对数学通讯2013年11、12期中《谈一道数学联赛题的数学教育意义》一文的一些观点不太赞成,希望借此平台汇百家之长,谈谈自己的几点认识.文中对一道数学题给出了几种解法后,阐明一些数学方法,笔者认为这几种解法有如下问题：（1）方法都很复杂;（2）方法不适合高中生掌握;（3）几种方法都很容易漏解.例如第一种解法利用柯西不等式,有从答案拼凑的嫌疑;第二种解法出现反三角函数,     

一道美国数学奥赛题的再推广

第33届美国数学奥林匹克第5题： 设a，b，c为正实数，证明：     

对一些数学问题的思考

<数学通报>的数学问题栏近几年刊登了一些有趣的三角问题,笔者对这些问题作了一些思考、探究,得到了一些新的几何结论,现介绍之.     

对几个数学问题的再感悟

《普通高中数学课程标准(实验)》把“初等数论初步”设置为选修课,这对健全高中学生的知识与能力结构,必将发挥重要的促进作用.此前,由于学生对这门课程的内容很少了解,学习过程中有许多不适应,严谨抽象的理论,难以理解,奇巧多变的方法,难以把握,陌生的数学问题,更令学生望而生     

一道传统数列题的再思考

<正>听老师说下面的数列题十几年前就有了,老师沿用原先的方法给我们讲解了题目,但经过我的不懈努力,还用特征方程根的方法解决了此题,特此记录下来:题目设各项均为正数的数列{a_n}和{b_n}满足5^an,5an,5^bn,5bn,5^an+1成等比数列,lgb_n,lga_(n+1),lgb_(n+1)成等差数列,且a_1=1,b_1=2,a_2=3,求通项公式a_n和b_n.解法1(传统方法)