不定方程 x~3+y~3=z~2与 x~3+y~3=z~4

在 x,y 互素的条件下,本文给出不定方程 x~3+y~3=z~2所有的整数解,并证明不定方程 x~3+y~3=z~4无 xyz≠0之整数解.     

x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx的应用

“一般向特殊”的推理称作演绎推理,一个公式在特值(或部分特值)下的应用称作演绎应用。在教学过程中不失时机地向学生介绍公式的演绎应用,无论是丰富知识,还是培养能力,都是有益的事。对不等式 x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx(当且仅当x=y=z时取等式)作演绎变换,如取 z=c(常数),可得不等式 x~2+y~2+c~2≥xy+c(x+y) (当且仅当x=y=c时取等号)。这个“演绎不等式”有多种用途。例1 (解特殊的二元二次方程)解方程 9x~2+6xy+4y~2-3cx+2cy+c~2=0。解原方程化为 (3x)~2+(-2y)~2+c~2 =(3x)(-2y)+c(3x-2y)。由演译不等式可知,等号成立的条件是:3x=-2y=c。故原方程的解为     

关于丢番图方程x~2+y~2=p与x~2+2y~2=p的整数解

利用p次单位根e~((2πi)/p)作为原始材料,通过不同层次的组合,当p≡1(mod 4)时,给出了方程x~2+y~2=p的整数解.在此基础上,当p≡1(mod 8)时,进一步给出了x~2+2y~2=p的整数解.     

数学问題解答

1965年第12期数学问题 626.设0≤x≤1,证明: cos(arc sin x)相似文献   

多元函数积分学

<正> 一、填空题 1.(1993.Ⅰ,Ⅱ)设数量场u=ln(x~2+y~2+z~2)~(1/2),则div(gradu)=1/x~2+y~2+z~2.     

费尔马小定理应用举例(二)

本文应用费尔马小定理证明了:(1)x~2+y~2=z~2的正整数解的两个性质;■、■和■是无理数;(3)一个不定方程无整数解.     

勾股数,有理代换及其它

方程x~2+y~2=z~2 (1)的每一正整数解(a,b,c)(即x=a,y=6,z=c)称为勾股数 勾股数有无穷多组。不难证明，如果（a,b,     

Diophantine方程y~2=px(x~2+2)

设p是大于3的奇素数.本文证明了:当p≡5或7(mod 8)时,方程y~2=px(x~2+2)无正整数解(x,y);当p≡1(mod 8)时,该方程至多有1组解;当p≡3(mod 8)时,该方程至多有2组解.     

对《不定方程x~2+y~2=z~2的若干推广与统一解法》一文的商榷

指出《不定方程x~2+y~2=z~2的若干推广与统一解法》一文的两处错误,给出两个反例,并将原文的结论予以修正.     

不定方程组{11x~2-9y~2=2,40y~2-11z~2=29}的正整数解的上界

运用Baker方法得到了不定方程组{11x~2-9y~2=2,40y~2-11z~2=29}的正整数解的上界.上界为(x,y,z)=(0.9×2118406,2118406,0.52×2118406).     

从一个方程談起

本文是围绕一个方程,做为一个高三学生汇报自己如何读数学书籍的初步体会,敬请老师们指正。试证含有x,y的不定方程: x~2-2y~2=1有无穷多组(正)整数解。现把“格点和面积”书中证明过程摘录如下: “显然x~2-2y~2=1有解x=3,y=2, 即 (3+2 2~(1/2)(3-2 2~(1/2))=1。平方并化简,得(17+12 2~(1/2))(17-12 2~(1/2)=1, 即 17~2-2×12~2=1。即 x=17,y=12,是另一组解。取立方,四次方……,即得无穷多组解。”这个证明,实际上提供了不定方程x~2-2y~2=1的解法。一开始,感到这种解法非常巧妙。仿照这种方法,试解了方程x~2-2y~2=-1。显然,x=1,y=1,是这个方程的一组自然数解(以下“自然数解”均写“解”)。随后发现,必须将原方程两边立方,才能得到第二组解x=7,y=5。以后便是五次方,七次方…。这样,便初步掌握了这种类型的方程的解法。在翻阅一本名叫《趣味的数和图》时,其中第一章“趣味的数字”里有一题:     

由x_0x+y_0y=R~2所想到的

我们知道,经过圆的x~2+y~2=R~2上任意一点P(x_0,y_0)的切线方程为:x_0x+y_0y=R~2记住并直接利用这个公式,能加快解题速度,收到事半功倍的效果,它的证明较易,本文从略。下面举一例说明。例:求过点(3,4)且到原点距离为5的直线方程。解;依题意知:所求直线到原点距离为5,因此,此直线可看成是过圆x~2+y~2=25上一点P(3,4)的一条切线,故此直线方程为: 3x+4y=25 细心的同学会发问:如果这点P(x_0,y_0)不在圆上,那么方程:x_0x+y_0y=R~2的几何意义又是什么呢? 下面着重谈谈这个问题: 首先,我们设P(x_0,y_0)在定圆x~2+y~2     

关于方程x~2+x-2y~2=0的解法

在1963年第7期的数学通报上刊登了吳方同志的“化三角为方形”一文,提出了关于不定方程n(n+1)/2=m~2的解法問題,本文介紹一个新的方法。求不定方程 x_(?)(x+1)/2=y~2的一切自然数解的問題相当于求不定方程 x~2+x-2y~2=0 (1)的一切自然数解(为叙述方便起見,下面举凡“自然数解”一律写为“解”)。首先,我們注意到x_1=1,y_1=1是方程(1)的解,下面我們証明不定方程(1)的所有自然数解皆可由     

关于马尔柯夫方程

十九世纪的俄国杰出数学家马尔柯夫(1856—1922)曾提出一个著名的不定方程: x~2+y~2+z~2=3xyz (1) 并且仅仅使用了初等数学方法(包括韦达定理)就求得了方程的全部解,所以本文所介绍的内容是一般中学生也能接受的。 在把x=a,y=b,z=c代入原方程后而恒等时,我们就把数组(a,b,c)称为是这个不定方程的解,而把a,b,c这三个数称为解的坐标。我     

解微分方程时变量代换举例

例1 解微分方程3x~5dx-y(y~2-x~3)dy=0解 作变量代换 令u=x~8,v=y~2,那末du=3x~2dx,dv=2ydy,原方程就化为udu-1/2(v-n)dv=0这是齐次方程,它的通解是(v-2u)(v+u)~2=C     

多元函数微分学

<正> 一、填空题 1.(1991.Ⅰ,Ⅱ)由方程xyz+(x~2+y~2+z~2)~(1/2)=2~(1/2)所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,—1)处的全微     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,同学们就已经知道了两数和的平方公式: (x+y)~2=x~2+2xy+y~2。(1)这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们准备介绍它的部分应用。 (一)推証公式問題 乘法公式 (x+y)~2=x~2+2xy+y~2, (x-y)~2=x~2-2xy+y~2, (x+y)(x-y)=x~2-y~2, (x+y)~3=x~3+3x~2y+3xy~2+y~3, (x-y)~3=x~3-3x~2y+3xy~2-y~3, (x-y)(x~2+xy+y~2)=x~3-y~3, (x+y)(x~2-xy+y~2)=x~3+y~3等都可运用公式(1)来推导。例1.1.求証:(x+y)(x-y)=x~2-y~2。 証.令     

Pell方程组x~2-(c~2-1)y~2=y~2-2p_1p_2p_3z~2=1的公解

设p_1,p_2,p_3为不同的奇素数,c1是整数.给出了Pell方程组x~2-(c~2-1)y~2=y~2-2p_1p_2p_3z~2=1的所有非负整数解(x,y,z),从而推广了Keskin (2017)和Cipu(2018)等人的结果.     

“关于解析几何教学的几点注意”一文的几点意見

学习数学通报1963年第六期发表的文章:“关于解析几何教学的几点注意”,仅就文中论述的几个问题提出商讨意见。 1.该文第二段:“解析几何教学中一些问题的商榷”的例2中有下面的一段论述: “直线的方程是一次的”这种说法是不确切的,应当说“直线的方程可以是一次的”。“可以”这两个字,在此是不能省略的。该文作者提出的论据是:在实数范围内,方程x-y=0和x~3-y~3=0同解,因之,方程x~3-y~3=0也可以说是第一、第三象限的分角线l的方程。实际上方程x~3-y~3=0可以变形为(x-y)(x~2++xy+y~2)=0,从而方程x~3-y~3=0的解包含于方程x-y=0和x~2+xy+y~2=0之中。方程x~3-y~3=     

关于不定方程x~2-kxy+y~2+px=0

设p为奇素数.讨论了不定方程x~2-kxy+y~2+px=0,给出了这类方程求解的一些必要条件.