對代數學教程中近似算法的一點意見

作者在本文中举出(?)著,赵根榕、張理京译代數學教程第二章“近似算法”及第四章“幂舆根”中所存在的一些問题並提出了修改的意見,我們在这里特別指出作者在本文中所提出的準確有效數字的定義的修改意見与原書有着原则上的分歧,原書的定義是按四舍五入法的標准来确定一个近似数的有效數字的,四捨五入法是最好的近似数的記法,在中等技術學校里把計算和测量的结果按四捨五入法记錄下來這個規則介紹給學生對於养成學生的优良習慣來說是十分必要的。结合四捨五入法的規則來下準確有效數字的定義是有根据的。作者認為在實践中近似数可以採用四捨五入的記法,但在理論上準確有效数字不能以四捨五入的記法作為判斷的準繩,所以作者另下定義,這是和原書精神不一致的。 關於有效數字的定義,有規定以不超過近似数的最末位上半个單位為標準的(例如(?)的书),亦有規定以不超過最末一位上一个單位為標準的,也有兩種都採用的(例如(?)的近似计算法,但該書特别指出按四捨五入法記成的近似數,它的有效數字的定義是以下超過最末位上的半個單位為標準的)。闵乃大先生在近似數誤差分析(數學通報1954年10,11,12月號)一文則把符合第一種定義的数字稱為準確有效數字而把符合第二種定義的數字稱為可靠數字以示區別。究竟应該把那一種有效数字的定義介紹給中等技術學校的學生或者把兩種都介紹給學生的問题,我們希望有關讀者能展開討論,好有所决定。     

十年級數学小組的工作經驗

每年我都根据学生們的意願領導着數学小组的活動。这些活動的目的是为了滿足最有才能的学生們的詢問,促進他們數学的發展。每一个月我领導兩次活動;从九月開始工作,到四月結束,学生們都很樂意來参加小組活動,在某些題材上学生們按照我所指定的文献準备,做報告,較複雜的內容由我做報告。在有些報告中邀請所有高年級的学生來参加,並且有時候活動用數学晚会的形式來進行,这些數学小組的擴大活動常常用來研究著名的數学家的生平和事業。在工作開始時我与参加小組的同学們討論工作計劃,所以某些活動的主題年年在改变。我將举出小組工作的詳細計劃,按照我在最近所獲得的成果我修改了某些活動(關於不等式这一部分)。     

近似計算

1.为什麼要用近似值及近似計算? 在日常生活中及工程設計及施工中我們遇到的數值絕大多數是有一定準確度的近似值,我們的錶告訴我們時間的一个近似值,如果每天中午無線电的報時与我們的錶在校正前相差不到半分鐘,那麼我們的錶已經足够準確了,要求我們的錶絕对準確是不可能的,也是不必要的。在工程施工中要求的準確度也是有一定限度的,有些零件要求準確到千分之一寸,有些零件要求準確到十万分之一寸,不过在任何情形下,要求絕对準確是不可能的,也是不必要的,要求过苛的準確度就要造成人力的浪費,要求的準確度不够就要造成很多廢品,結果浪費人力及資財,我們要求,也僅僅要求,足够的恰到好处的準確度,多餘或不足的準確度都会帶來損失。把幾个近似值加以加减乘除等运算後所得的結果仍是一个近似值。例如用算盤或筆算算出     

近似數運算誤差分析

引言在應用數學範圍以内,我们要遇到數字和公式。但是我們對於這些數字和這些公式的看法,和純粹數學工作者的看法,有一定不同的地方。例如e,π,2~(1/2)這些無理數,應用數學工作者不能採用它們的準確數值,只能採用它們的近似數值,如2.7183;3.1415;1.414。對於公式的看法,純粹數學工作者要求簡潔、明顯、完整。但應用數學工作者的要求便不同,並且看所用的計算工具不同而有所不同。例如:如何容易計算,如     

中学數学中函數概念的引導

十九世紀的數学已經把函數的概念从解析式子这个桎梏之中解放了出來(指实变函數),並且提出了“对应性”,这說明当時已初步具有了現代一般的函數概念,首先提出这个概念的,是俄罗斯數学家罗巴切夫斯基,1834年時,關於函數概念,他寫过下面的話:“这个一般的概念要求:若有一个數,它隨着x的每一个值而確定,又随着x而逐漸变化,那麼这个數就称为函數。函数的意义,可以用解析式子表達,也可以用条件來表達;我們可籍这式子或条件來試驗所有的數目而选擇適合的數目;最後,由相依關係可能找出,也可能找不出。”經过三年(在1837年)这个概念由列仁-吉瑞荷通过函數定义的形式表示出來,这函數定义一直保留到現在:“y是变量x在區間a≤x≤b上的函數,如果这个區間上每一个x值对应着一个確定的y值;至於这种对应關係是怎样確定     

指數函數的教学

中學数學教學大綱指定教師用36節課来講“指數函數舆對數”這項教材。據我們看來,其中應該用6-8節課研究指数函數。本來無可置疑地必須將函數的清晰概念講給學生,必須教會他們研究簡單函數(確定定義域,單調區間等)。繪製圖象,以及,反之,由圖象來判斷函數的性質(“看”圖象)等等。鑒於學生通曉函數依從關係的觀念和獲得研究函數的某些技能十分重要,數學教師應該在這方面利用教學大綱提供給他的所有可能。研究指數函數,就會講到下列幾點: 1.論證冪的許多純算術性質,並且立刻用圖象說明這些性質。這種論證可以使學生理解證明代數定理的可能和必要。(對於學生和教師忽略代數理論的問題,已經不只一次地在“数學教學”雜誌上談過了)。此外應該注意,我們在這裏需要複習算術裏關於談論真假分數的那一部分;特別是,真分數乘某数則使之變小等等。 2.在作指數函数的圖象時,學生再一次遇見曲線向直線逐漸逼近的情形(第一次是在Ⅷ     

数学各科是如何联系的

我想就这个問題談淡我自己的看法,但是必須声明一點,我所指的數学並不是全部現代數学,而是指的中等学校的數学課程,同時我也只準备就中等学校數学课的教材与教法兩方面進行分析。 (一)算術是其他各科的基礎 我們在小学校裹已经讀了六年的算術,升到中学以後还要再讀上一年,这个問題从我作学生的時候起就經常在我腦子裹盤旋着,我不理解为什么要左反右覆地学習那枯燥無味的算術。中学數学教学大綱中寫道:“算術教学的目的在於教会学生自觉地、迅速地、確信地和最合理地進行整數和分數的演算,教会学生应用所獲得的知識去解应用題並完成具有实际性的簡單計算,”“初中一年級系統地講授算術課程,能使学生切实地、深入地学習系統的理論材料,並     

數学問題解答

本期問題的解答請讀者在1956年3月20日以前寄至北京德腾门外北京師範大学數学系轉“數学通報數学問題及解答欄工作組”收,寄件請貼足邮票;所作解答,务請一題一紙,並一一註明姓名,問题的答案及正確解答者的姓名將在本刊1956年5月号的本欄內公佈。本欄欢迎讀者提出適合大家解答的問題,如已有解法,並希把題解作好一併寄來,本欄稿件,概不退还和回復(非屬本欄的問题可逕寄本刊編輯委員会),切勿附邮票。     

論中学數学各种之間的联系

數学是什么?恩格斯曾經極其精闢的說过:“純粹數学的对象是現实世界的空間形式及數量關係,”又说:“我們的幾何以空間關係为出發点,而我們的算術和代數則以數量为出發點。”現在距离恩格斯時代已有好幾十年,近幾十年來數学方面又已有了非常偉大迅速的發展,我們所認識的現实世界的空間形式和數量關係日益包括更多更丰富,但是恩格斯的話还是正確的。 數學既然是研究現实世界的空間形式及數量關係,那末它的各科之間是不是彼此孤立的呢?要回答这个問題我們首先应該看一看現实世界的空間形式及數量關係的本身是否孤立的,斯大林曾經說过:“与形而上学相反,辯証法不是把自然界看作什么彼此隔离,彼此孤立,彼此不相依賴的各个对象或各个現象底偶然堆     

我校是如何開展數学課外活動的

目前各校正在開展各科課外小組的活動,当然數学小組也不例外。於是就產生了这样的問題,如何組織如何活動呢? 的確,这是一个問題,我校过去有过这种課外組織,現在看來,在活動的方式上还不够好。不过我們很願意提出來,和大家共同研究。一.首先要有詳細而具体的活動計劃每学期开始时,輔導課外小組的老師,必須根据学校的教学計劃,訂出具体可行的活動計劃,在計劃中要明確總的活動目的以及每次的活動目的、活動方式与內容、如何組織等。計劃訂得愈具体,愈切合实际它的指導意义愈大。我校很重視这个問題,課外指導計劃必須經过領導批准。現在將我們学校数学課外活動小組的計劃寫出來,請大家多提意見。     

關於數列的求通項

高二代數在講級數前,要補講數列,因此看了些參考材料,在這些材料裹的例題和習題中間似乎表示;只須已知數列的前幾項,就可以考察出這數列的構成規律,並且能確定它的通項。 這是舆事實不符的, 事實是:已知數列的通項,或它的構成規律,必定可以寫出這數列的前幾項,並且可以寫出這數列的任意一項來,但有了數列的前幾項,未必     

我對於代數學教程中關於近似计算法的一點意見

最近教師們在使用中等技術學校代數學教程時,發現下面幾個問題: (1) 在第二章“近似算法”中,存疑數字的定義不够確印嚴密; (2) 準確有效數字和存疑數字的兩個定義不相啣接; (3) 在第四章開平方的近似算法中違反前面自己所立的法則(乘法); (4) 還違反了自己所立的四捨五入法 這樣就使教師們和同學們發生疑難,為了更好的學習蘇聯,讓我把該書的主要精神指出,並對錯誤部分提出一些補充和修正意見;還希望大家提供意見,來解决在使用教材中所發生的疑難問題。 (一) 該書關於“近似算法”的主要精神,在結合四捨五入法提出準確有效數字的定義 (1) 該書首先介紹數的四捨五入法(§19)這是最好的近似數的記法,測量值的記法是和四捨五入法一致的,也以誤差不超過最精細單位的     

一個三角和數的估值

<正> 在本文中,我們將估計形如的和數,這裹的α是實數,p,p′是素數.若將α展成連分數,a/q為α之一渐近分數,則在適當條件下,我們得到估值     

數學中的無窮

“數學的無窮雖然是不自覺地從現實中假借來的,却不能從它自身,不能從數學的抽象中來說明它,而只有從現實去說明它”(恩格斯:“辯證法與自然科學”,人民出版社1953年版,第145頁),數學的無窮的物質基礎只有在它與有限的辯證統一中去考慮時才能被理解。每一數學理論都要求它自身貫串着內在的形式上的一致性。因此也就產生如何把這種要求與現實中無窮性在實質上的矛盾結合起來的問題。“這種矛盾的排除將是無窮性的終結”(恩格斯:“反杜林論”,三聯書店中譯本,1951年版,第54頁),此     

混合型微分方程

<正> 自從F. Tricomi在1923年發表了一篇關於混合型微分方程的論文以後,各國數學家繼續在這方面工作的,不乏其入;尤其是蘇聯數學家,近年來在這方面有極其光輝的貢獻。過去所考慮的問題,都是兩個域的問題,現在我們要考慮的,是多個域的混合型問題。我們考慮下面兩個方程的定解問題:     

中等學校裹序列的學習

本文的目的是按照中等學校裏應該講授的計畫給中學數學教師以學習序列問題的典型的探討。序列應該看作是以自然數為變元的函數,因此,必需重複一下學生們在八年級就已得到了的關於函數的基本知識。函數的定義大致以下面的形式教給八年級的學生們。如果變元x的每一允許的數值,對應著某個完全確定了的數值y,那末y就是變元x的函數。所給的x值的集合叫做變元的允許的數值的集合或函數的定義域,而相應的y的數值的集合就叫做函數的數值的集合。要規定一個函數,就應該確定變元的允許的數值的集合和一個對應的規律,按照這個規律,可以給變元的每個已給的數值確定一個唯一的函數值。 學生們應該知道,集合和對應的概念是函數的定義的基礎,它們是基層的,那就是說,集合和對應的概念不能藉助更簡單的概念來定義。     

帶分數乘法为何要先化为假分數守進行乘的運算

(一) 前言我們在進行分數的加減运算時,对於帶分數,有兩种不同的运算方法:一种是先將带分数化为假分数之後,再按分數加減法的一般法則去進行运算;另一种是不把带分數化为假分數,而是採用带分數的整數部分与整數部分進行相加減的运算,分數部分与分數部分進行相加減的运算,然後再將这兩部分的結果合併在一起。初中一年級的学生在未進入初中之前,对帶分數加減法的兩种运算法則,大致都已学过一些,可是当他們在初中学習到分數乘法關於带分數相乘的問题時,我們教給学生必須先將帶分數化为假分數後,再按分數乘法的一般法則去运算,但是对於带分数不化为假分数能否進行乘的运算的問題,便閉口不談,而一些鑽研性較强的     

關於數学競賽的一些問題

我們接到許多讀者來信,詢問有關數学競賽的間題,12月22日中國青年報和12月26日光明日報刊載了我國著名數学家華罗庚先生的文章,大家可以从文章中了解到这次競賽的意义,另外我們还就讀者提出的一些問題,簡單地答覆一下。这次數学競賽是中國數學会理事会發起的,高等教育部、教育部也同意,决定在1966年举办,我國过去没有举办过數学競賽,这次只準备在北京和少數大城市進行試办,等取得輕验後,再逐步推廣,12月11日成立了数学競賽委員会,选出華罗庚、傅种孫,段学復等12人为委員,並推选華罗庚为委員会主席。 數学競賽是一种業餘的学術性活動,競賽的目的是为了激發青年学生学習數学的兴趣,並从競賽中發現一些在數学学習方面有特殊才能的学生,好及早注意对他們的培养和教育,这不仅可以帮助中学提高數学教学質     

關於初中代數第一章(Ⅰ)的教學問題

(一)教學目的 這一部分的主要教學目的是使學生瞭解使用文字的便利,其次則應使學生熟練地掌握計算的程序,從而能够熟練地求出代數式的值。 學生在算術中對於文字符號的使用,雖已具有一定的某礎,但尚未臻十分熟練,而且使用文字符號究竟有什麼好處亦未透澈理解。因為使用文字來代替一般的數以研究數舆敷間的普遍關係乃是代數學的主要精神,所以在這一單元中,便應在講課時把這一點說得非常突出。在計算程序方面,關於加減乘除學生雖已熟悉,但再加入乘方的運算,其運算程序為何,對於學生還是一個新的東西,因而在講課中應該特別注意。 關於代數教學的整個的教學目的,已具見教學大綱代數部分的說明中,教師首先必須明確,但關於這點僅能在學習過程中逐步使學生明確,在教代數的開始,教師似可不必講給畢生。     

數學問題及解答欄

本欄每期刊載不同領域的若干問題,供同志們練習演算作參考,為此目的,非常歡迎同志們作出解答寄交我們,並且歡迎提出供大家解答的新問題。每期問題的答案及正確解答者的姓名在三個月後的本欄內公佈,讀者的解答請在本刊當期出版後四十天內,即第二個月二十日以前寄至“北京清華園中國科學院數學研究所轉數學通報問題及解答欄工作組”。過期收到的信件,因趕不及送往印刷所排版的時間,不登出解答同志的姓名。此外,本欄因工作人員很少,一般非與本欄性質有關的信件同稿件希望不要直接寄給我們。