一个最值问题的另三种解法

《中学生数学》2004年7月(上)尹迪石老师提出了一个问题:设x1+x2+x3+…+xn=a(a为常数),求x12+x22+…xn2的最小值及此时x1,x2…,xn的值.通过对这个问题的研究,我又找到了另外三种较为简单的解法.     

不等式a~2/b≥2a-b(b>0)的变式

高中《代数》下册给出的二元均值不等式是 :如果 a、b∈ R,那么　　　　 a2 +b2≥ 2 ab 1当且仅当 a =b时取“=”号 .此不等式可变形为 :定理　如果 a∈ R,b∈ R+,那么　　　　　　 a2b ≥ 2 a - b. 2当且仅当 a =b时取“=”号 .下面谈谈对不等式 2的思考 .变式 1　不等式 2的特征是左边是商式 ,右边是差式 ,即不等式从左到右的“缩小”过程是一个“裂项”的过程 ,在此我们不妨把不等式 2叫做裂项不等式 .如果结合数列中裂项—叠加求和的方法 ,那么可以编拟许多不等式的题目 .在不等式 2中 ,若分别用 xi 代 a,xi+1代 b,i = 1,2 ,… ,n.其中 xn+1=x1,则有x21x2≥ 2 x1- x2 ,x22x3≥ 2 x2 - x3,… ,x2nx1≥ 2 xn - x1,相加可得　　 x21x2 +x22x3+… +x2n- 1xn +x2nx1≥ x1+x2 +… +xn.这样得到 :题 1　如果 x1,x2 ,… ,xn都是正数 ,那么x21x2 +x22x3+… +x2n- 1xn +x2nx1≥ x1+x2 +… +xn.这是一道 1...     

一道不等式推广题诱导的辐射式范例教学

题目 (人教A版教科书“不等式选讲”P10-9)已知x、y∈R,求证:x2+y2/2≥(x+y/2)2. 学生会用配方法或均值不等式证明此题,教师可因势利导地启发学生把此不等式推广为以下形式,即x12+x22+…+xn2/n≥(x2+x2+…+xn/n)2,记作(※)式,其中取“=”的充要条件是x1=x2=…=xn,这里x1、x2、…、xn∈R,且n-1∈N+. 笔者运用辐射式范例教学法,设计出关于上述平方均值不等式(※)的典型证法和发散应用的教学框架.     

均值法与一类最值问题

我们把1/n(x1 x2 … xn)叫做x1,x2,…,xn这n个数的平均数(或平均值).利用平均值解决数学问题的方法我们称之为均值法。均值法应用较广,本文介绍均值法在解一类最值问题中的巧妙运用.下面先从最简单的情形谈起.     

一个最值问题的求解方法

文[1 ] 对如下问题进行了研究 :已知实数x1 ,x2 ,… ,xn 满足x21 +x22 +… +x2 n= 1 ,当n≥ 3时 ,求maxi≠j mini≠j|xi-xj|.本文给出如下简捷解法 .由题意 ,不妨设x1 ≤x2 ≤…≤xn -1 ≤xn,并令mini≠j|xi-xj|=min|xi+ 1 -xi|=a(i=1 ,2 ,… ,n - 1 ) .则当 j>i时 ,xj-xi=(xj-xj-1 ) +… +(xi+ 1 -xi)≥(j-i)a∴ ∑1≤i相似文献   

运用相等关系证明不等式

许多恒等式在一定条件下 ,可以轻易转化为不等式 ,因而 ,利用相等关系证明不等式是一种重要方法 .例 1　若a>b >c,求证 :a2a-b+b2b-c>a +2b +c.(第 32届乌克兰IMO试题 )证明 :　不难寻找如下等式 :a2a-b+b2b-c=(a2 -b2 ) +b2a -b +(b2 -c2 ) +c2b-c ,于是 a2a-b+b2b-c=a+b+b2a -b +b+c+c2b-c=a+2b+c+b2a-b+c2b-c;考虑 b2a-b+c2b-c>0 ,故 a2a -b+b2b-c>a+2b+c.例 2　设x1 ,x2 ,… ,xn 为正数 ,求证 :x21 x2+x22x3+… +x2 n -1 xn+x2 nx1≥x1 +x2 +… +xn.(1 984年全国高中数学联赛试题 )证明 :　显然 ,x21 x2 +x22x3 +… +x2 n -1 xn +x2 n…     

关于一道IMO训练题的引申

1998年加拿大IMO训练题 :设x1 ,x2 ,… ,xn+1 是正实数 ,满足条件 11 +x1+ 11 +x2+… +11 +xn+1=1 ,求证 :x1 x2 …xn+1 >nn+1 .上述命题表明 :如果正实数x1 ,x2 ,… ,xn+1满足条件 :11 +x1+ 11 +x2+… + 11 +xn=1 - 11 +xn+1时 ,有xn+1 ≥ nn+1 ni=1xi,所以 :11 +x1+ 11 +x2+…+ 11 +xn≥ 1 - 11 + nn +1 ni=1xi=nn+1 ni=1xi1 + nn +1 ni=1xi=nn+1nn+1 +x1 x2 …xn.由此我们引出一个新命题 :设x1 ,x2 ,… ,xn 是正实数 ,且11 +x1 + 11 +x2 +… + 11 +xn<1 ,　 11 +x1+ 11 +x2+… + 11 +xn≥ nn+1nn+1 +x1 x2 …xn( 1 )事实上 ,由于 11 +x…     

高考试题中的推广类问题浅述

从一类对象或一个范畴的研究过渡到更广的一类对象或更广范畴上的研究 ,称为推广 .类比是推广数学命题的一个工具 .从逻辑上说 ,推广就是将数学命题的外延扩大 ,来研究它的内涵变化特点 .在历年高考试题中 ,推广类试题曾多次出现 .1　在不等式中的推广例 1　已知x∈ (0 ,+∞ ) ,由不等式x + 1x ≥2 ,x + 4x2 =x2 + x2 + 4x2 ≥ 3,… ,由此启发我们可以推广为x + axn≥n + 1(n∈N ) ,则a =.解　首先a >0 ,由基本不等式“A≥G(A为算术平均值 ,G为几何平均值 )”得x + axn =xn + xn +… + xn + axn ≥ (n + 1)n + 1xn·xn … xn·axn ,对照条…     

多元二次多项式可分解的判别法

众所周知 ,多项式的因式分解是数学研究的重要内容之一 ,到目前我们还没有一般的方法把一个多项式分解成不可约因式的积 .本文利用二次型的理论给出了多元二次多项式是否可以分解成两个一次因式的积的判别法 ,并且对于可分解的二次多项式给出了分解的方法 ,彻底解决了二次多项式分解的理论问题 .定义　设　 f( x1 ,x2 ,… ,xn)= a1 1 x21 2 a1 2 x1 x2 … 2 a1 nx1 xn 2 a1 ,n 1 x1 a2 2 x22 … 2 a2 nx2 xn 2 a2 ,n 1 x2 … annx2n 2 an,n 1 xn an 1 ,n 1 ( 1)为一个实二次多项式 ,令A=a1 1 a1 2 … a1 n a1 ,n 1 a2 1 a2 2…     

综合题新编选登

题 8 8 　已知数列 {an},{bn}且a1=b1=1,an + 1=an+ 3bn,bn + 1=an+bn,记xn =anbn.1)求xn + 1与xn 的关系式 .2 )判断数列 {|xn - 3| }的单调性 .3)求数列 {xn}的极限值 .4 )求证 :|x1- 3| + |x2 - 3| +… +|xn - 3| <3+ 1.解　 1)xn + 1=an + 1bn + 1=an+ 3bnan +bn=anbn+ 3anbn+ 1=xn + 3xn + 1,其中x1=a1b1=1.2 )xn + 1- 3=xn+ 3xn+ 1- 3=( 1- 3) (xn- 3)1+xn.∵x1=1,xn + 1=xn + 3xn + 1,∴xn >0 .∴ |xn + 1- 3| =3- 11+xn|xn - 3|<( 3- 1) |xn - 3|<|xn - 3| .　 {|xn - 3| }为递减数列 .3)由 2 )知 :n >1时 ,0 <|xn - 3| <( 3- 1) |x…     

偏导数的一个恒等式

在一元函数里 ,函数与它的反函数的导数互为倒数关系。多元函数也有类似的性质。下面介绍之。定理　如果多元函数 z =f ( x1,x2 ,… ,xn)的反函数存在且偏导数不为零 ,那么 z x1=( -1 ) n+ 1 x1 x2 x2 x3… xn z( 1 )　　证明　设 F( x1,x2 ,… ,xn,z) =z -f ( x1,x2 ,… ,xn) =0 ,则 z x1=-Fx1Fz, x1 x2=-Fx2Fx1,…… , xn z=-Fz Fxn因此 z x1 x1 x2… xn z =( -Fx1Fz) ( -Fx2Fx1)… ( -Fz Fxn) =( -1 ) n+ 1即 z x1=( -1 ) n+ 1 x1 x2 x2 x3… xn z　　上面的恒等式可推广为 z xi=( -1 ) n+ 1 xi xi+ 1 xi+ 1 xi+ 2… xn- 1 x…     

分式线性迭代数列的敛散性及收敛速度

若a_i,b_i0(i=1,2),|a_1 a_2b_1 b_2|≠0,则数列x_10,x_(n+1)=a_1x_n+a_2/b_1x_n+b_2收敛.若迭代过程中,xn(n=1,2,…)全不是φ(x)=a1x+a2/b1x+b2的不动点,则迭代数列{xn}线性收敛.     

巧求一类复合最值问题

我们知道:若x1,x2,…,xn(n∈N*)为正实数,则max{x1,x2,…,xn}≥x1+x2+…+xnn≥nx1.x2.….x槡n≥min{x1,x2,…,xn}.当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.这是一个十分浅显的结论,但用它来求一些复合最值问题却有奇效,请看几例.     

两个定理的简证

贵刊文 [1 ]给出以下两个定理 :定理 1　已知 x,y,a,b∈ R+ ,且 x + y =1 ,则 axn + byn 的最小值为 ( n+ 1a + n+ 1b ) n+ 1,此时　 x =n+ 1an+ 1a + n+ 1b,y =n+ 1bn+ 1a + n+ 1b.定理 2　已知 a1,a2 ,… ,an,x1,x2 ,… ,xn∈ R+ ,且 x1+ x2 +… + xn =c,则a1xm1+ a2xm2+… + anxmn≥( m+ 1a1+ m+ 1a2 +… + m+ 1an) m+ 1cm ( m≥ 2 ) ,当且仅当xi = cm+ 1aim+ 1a1+ m+ 1a2 +… + m+ 1an( i =1 ,2 ,… ,n)时等式成立 .文 [1 ]分别用两种不同的方法给出了以上两个定理的证明 ,但都较繁 (定理 2的证明中还使用了中学生所不熟悉的加权幂平均…     

不定方程x1+x2+…+xn=m的解的个数及在计数问题中的作用

不少计数问题归结为不定方程 x1+ x2+… + xn =m在特定条件下的解的个数问题便迎刃而解 .本文研究不定方程 x1+ x2 +… + xn =m在有关条件下的解的个数问题 ,并举例说明其在计数问题中的应用 .(注 :文中约定 :当 m 相似文献   

一道巴尔干数学奥林匹克竞赛题的再推广

2005年巴尔干数学奥林匹克试题的第3题是:设a,b,c是正数,求证:a2b b2c c2a≥a b c 4(a-b)2a b c(1)文[1]从变量的个数方面给出了一个推广:已知x1,x2,…,xn∈R ,求证:x12x2 x22x3 … xn2x1≥x1 x2 … xn 4(x1-x2)2x1 x2 … xn(2)本文将从变量的个数,指数两方面给出(1)的一个更一     

杨学枝猜想21的完善和初等证法

杨学枝老师在文[1]中提出的猜想21如下: 设xi∈-R,i=1,2,…,n,记s1=η∑xi=1,sn-1=x2x3…xn+x1x3…xn+…+x1x2…xn-1,sn=x1x2…xn,则 sn1-(n-1)n-1 s1 sn-1+n2[(n-1)n-1-nn-2]Sn≥0,① 当且仅当x1=x2-…=xn时取等号. 笔者探究发现①式取等号成立的充要条件应该是:x1=x2=…=xn,或x1=x2=…=xn-1,xn=0.     

数学期望在投资决策中的应用

随机变量的数学期望是随机变量的重要特征数之一 .由概率知识可知 ,随机变量的数学期望表示了随机变量在随机试验中取值的平均值 ,所以又常被称为随机变量的平均数、均值 .关于离散型随机变量有如下事实 :若随机变量ξ的概率分布列为ξ x1x2 … xn …p p1p2 …pn …则称Eξ =x1p1+x2 p2 +… +xnpn+…为 ξ的数学期望或平均数、均值 .同时若 η =aξ +b ,其中a ,b为常数 ,则 η也是随机变量 ,且Eη =aEξ+b .下面举例说明数学期望在投资决策中的应用 .1　商品流通问题例 1　春节期间 ,某鲜花店某种鲜花的进货价为每束 2 .5元 ,销售价为每束…     

a_(n+1)=p(n)a_n~2+f(n)a_n+r(p(n)≠0)型数列的求解方法

数列问题的背景新颖 ,能力要求高 ,内在联系密切 ,思维方法灵活 ,因此倍受命题者的青睐 .解答数列问题要求熟练掌握数列基础知识 ,灵活运用基本数学思想方法 ,善于转化 .an+1 =p( n) .a2n+ f ( n) .an+ r ( p( n)≠0 )型数列是数列和二次函数、不等式相结合的典范 ,难度较大 .求解此类问题的思维模式是 :观察—归纳—猜想—证明 .求解的主要方法是 :分析法 ,比较法 ,消去法 ,综合法 ,放缩法 ,数学归纳法 .例 1　数列 x1 ,x2 ,… ,由 x1 =12 ,xn+1 =x2n + xn( n =1,2 ,… )给出 ,Sn与 Pn 分别是数列 y1 ,y2 ,y3 ,… ,前 n项的和与积 ,这里 y…     

对一道不等式问题的初等证明及推广

福建仙游一中林新群老师在《中等数学》2 0 0 1年第 11期给出并证明了以下命题命题　在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,则ab+c+bc+a+ca+b≤ 1+23(1)林老师用导数的方法证明 (1)式 ,近来 ,贺斌老师用初等方法证明了 (1)式[1 ] (笔者在此时间同时也给出了与贺斌老师相似的证明 ) ,下面给出 (1)式的推广 .定理　设 x1 ∈ R-,i =1,2 ,… ,n(n≥2 ) ,且 x1 +x2 +… +xn=1,则∑ni=11- xi1+xi ≤ n - 2 +23(2 )当且仅当　 x1 ,x2 ,… ,xn 中有两个值相等 ,且都等于 12 ,其余各值都等于 0时 ,(2 )式取等号 .为证 (2 )式 ,先证明以下两个引理 .引理 1　…