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<数学通报>2008年8月号问题1746是:设I是△ABC的内心,R是△ABC外接圆半径,r、r1、r2、r3分别是△ABC、△IBC、△ICA、△IAB的内切圆半径.求证:r1+r2+r3≥9(√3-1)r2/2R(1).当且仅当△ABC为正三角形时等号成立. 相似文献
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文 [1]的定理 1为 :已知△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABN与△ AN C的内切圆半径分别为 r1 、r2 ,则△ ABC的内切圆半径 r满足 r =r1 +r2 - 2 r1 r2h . (1)文 [2 ]给出它的一个对偶形式 :定理 △ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABC与△ ACN的旁切圆 (指在∠ BAC内的 )半径 r′1 、r′2 ,则△ ABC旁切圆半径 r′满足 r′=r′1 +r′2 +2 r′1 r′2h . (2 )现给出 (2 )的一个简证 .证明 设△ ABC的面积、半周长分别为△、s,则 r′=△s- a,∴ 1r′=s△ - a△ =ssr- 2 aah=1r- 2h… 相似文献
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一个有趣平几公式的对偶式 总被引:1,自引:1,他引:0
文 [1 ]给出定理 :已知△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABN与△ ANC的内切圆半径分别为 r1、r2 ,则△ ABC的内切圆半径 r满足r =r1 r2 - 2 r1r2h .本文给出它的一个对偶形式 :定理 已知△ ABC中 BC边上的高为h,N为 BC边内一点 ,△ ABN与△ ANC的旁切圆 (指在∠ BAC内的 )半径分别为 r1、r2 ,则△ ABC的旁切圆 (在∠ BAC内的 )半径 r满足 r =r1 r2 2 r1r2h 1显然 ,1式等价于 2 rh =2 ( r1 r2 )h 4r1r2h 2为证明 2式 ,我们先给出如下一个引理 :引理 在△ ABC中 ,BC边上的高为 h,对应于 A点… 相似文献
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文[1]笔者给了如下有趣的性质: △ABC中,CD⊥AB于D,△ABC、△ADC、△BCD的内切圆半径分别为r、r1、r2. (1)若∠ACB=90°,则r21+r22=r2; (2)若r21+r22=r2,则∠ACB=90°. 我们又发现如下 定理 △ABC中,CD⊥AB于D,△ABC的内切圆半径为r;△ABC、△ADC、△BCD的内心分别为I、I1、I2,△II1I2的外接圆半径记为R0,则R0=r的充要条件是 相似文献
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设△ABC三边为a、b、c,三角为α、β、r,则以Sinα、sinβ、sinr为边的三角形存在,且这个三角形的三角仍为α、β、r。证明:在△ABC中,由正弦定理知: a/sinα=b/sinβ=c/sinr=2R(R为△ABC外接圆半径) (1)由(1)得:Sinα=a/2R,sinβ=b/2R,sinr=c/2R。 相似文献
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文[1]中,胡如松先生提出了如下猜想,现予以证明.设△DEF为△ABC内接三角形(如图).并设△ABC的三内角为A,B,C;三边BC=a,CA=b,AB=c;EF=a0,FD=b0,DE=c0.分别设△ABC,△DEF,△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积依次为R,R0,R1,R2,R3;r,r0,r1,r2,r3;P,P0,P1,P2, 相似文献
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本文给出关于三角形的内切圆半径的一个新性质 .定理 若 D、E是△ ABC的 BC边上的图 1任意二内点 ,r1、r2 、r3 、r4、r5分别是△ ABD、△ ACE、△ ADE、△ ABE、△ ACD的内切圆半径 ,则 r1r2=r3 - r4r3 - r5.为了证明该定理 ,我们首先给出一个引理 .引理 [1] 若 P为△ ABC的边 BC上的任一内点 ,h为边 BC上的高 ,r、r1、r2 分别为△ ABC、△ ABP、△ ACP的内切圆半径 ,则r =r1+ r2 - 2 r1r2h .(证明略 )下面给出本文定理的证明 .证明 如图 1 ,不妨设△ ABC的内切圆半径为 r,BC边上的高为 h,则由引理可得 :r =r1+ r5-… 相似文献
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Euler不等式的一个加强 总被引:2,自引:0,他引:2
设△ ABC的三边长为 a、b、c,对应的中线长为 ma、mb、mc,高线长为 ha、hb、hc,△、p、R、r分别表示△ ABC的面积、半周长、外接圆半径、内切圆半径 ,以∑ 表示循环和 ,∏ 表示循环积 .众所周知 ,三角形的中线长和高线长有如下关系 :ma ≥ ha, mb≥ hb, mc≥ hc.本文利用上述关系建立 Euler不等式R≥ 2 r的一种加强形式 .定理 [1] 在△ ABC中 ,有R - 2 r≥ ∑ ma - ha2 (1 )等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .为证明定理 ,先证明下面引理 .引理 在△ ABC中 ,有ma≤ 1 6△ 2 (b3 c3 ) ∑a2 ∏ 2 a2 bc ,(2 )等号当且仅当… 相似文献
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1引言设△ABC的三边为a,b,c,外接圆和内切圆半径分别为R,r,则有著名的欧拉不等式R≥2r,文[1]建立了欧拉不等式的一个三角形式:定理1设R,r分别为△ABC外接圆和内切圆半径,则有(∑表示循环和) 相似文献
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48.△ABC三边长为a、b、c,半周长为s,则 ∑(s-b)2 (s-c)2b2 c2≥∑sin2A2≥∑2(s-a)2b2 c2≥34.(褚小光.1998,5)49.在△ABC中,ma、mb、mc,ta、tb、tc,ha、hb、hc,ra、rb、rc,分别表示其中线、角平分线、高线、傍切圆半径,R与r分别为△ABC的外接圆与内切圆半径,则(1)Rr≥∑m2a∑mbmc ∑mbmc∑m2a,∑t2a∑tbtc ∑tbtc∑t2a,∑h2a∑hbhc ∑hbhc∑h2a,∑r2a∑rbrc ∑rbrc∑r2a.(2)Rr≥∑ma9r 9r∑ma,∑ta9r 9r∑ta,∑ra9r 9r∑ra.(尹华焱.1998,5)50.在△ABC中,三边为a、b、c,其对应边上的高分别为ha、hb、hc,则(i)∑(b-c)2≥19∑(b ca)2… 相似文献
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本刊1999年第3期《三角形内角的余弦方程及应用》一文建立了下述命题:任意△ABC三个内角的余弦cosA、cosB、cosC满足方程4R2x3-4R(R r)x2 (p2 r2-4R2)x (2R r)2-p2=0,其中,R、r、p依习惯用法分别表示△ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长.本文将建立三角形中半角的余切方程和 相似文献
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73.ma、mb、mc分别为△ ABC三边 a、b、c的中线 ,则 ∑ maa ≤ ∑bc .∑a22 abc ,当且仅当△ ABC为正三角形时取等号 .(褚小光 .1999,1)74 .△ ABC三边为 a、b、c,ma、mb、mc,R,r,s分别为△ ABC的中线 ,外接圆半径 ,内切圆半径和半周长 .若△ ABC为锐角三角形 ,则∑ambmc≥ s4 ( 4 s2 - 2 1Rr 6r2 ) ,并由此推出以下各式 :( 1) ∑ambmc≥ 23s3;( 2 ) ∑a( mb mc) 2≥ ∑a .∑a2 ;( 3) ∑bcma ≥ 4 39s3. (褚小光 .1999,1)75.设△ ABC各角均小于 12 0°,F为△ ABC的Fermat点 .ta、tb、tc分别为△ ABC的角平分线 ,则34 ( … 相似文献
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26.在锐角△ABC中,有∑cos(B-C)cosA≥∑cosAcos(B-C)≥6.(姜卫东.1998,4)27.在△ABC中,s,R,r分别为其半周长、外接圆半径、内切圆半径,则(i) ∑cosA2≥12u 12u2 2(33-2u)sR,其中u=(1 2)(3 22-33);(ii) ∑cosA2≥1 1 s r2R (26-153)r2R2;(iii) ∑cosA2≤1 1 s r2R (26-153)r 相似文献
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1 欧拉不等式设△ ABC外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,则有 R≥ 2 r ( 1 )下面寻找该不等式的几种等价形式 .记△为△ ABC的面积 ,s为半周长 ,则△ =rs=abc4R,∴ 4R△ =abc,8△2s =8r△ ,从而 R≥ 2 r等价于 abc≥ 8△2s,由海伦公式 ,又可得欧拉不等式的另一等价形式abc≥ 8( s- a) ( s- b) ( s- c) ( 2 )式 ( 2 )又等价于abc≥ ( b c- a) ( c a- b) ( a b- c) ( 3)对式 ( 3)简证如下 :a2≥ a2 - ( b - c) 2=( a b - c) ( c a - b) ,b2 ≥ b2 - ( c- a) 2=( b c- a) ( a b - c) ,c2 ≥ c2 - ( a - b) 2=( c a - b) (… 相似文献
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文[1]给出如下结论, 定理 设△ABC边长为α,b,C,外接圆半径为R,垂足△DEF内切圆的半径为r则有,r=a2 b2 c2-8R2/4R 相似文献
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88.在△ABC中,当n=4,5,6时,有∑cosnA≥1+8(3.2-n-1)∏sinA2.(黄拔萃.1999,2)89.△ABC三边长分别为a、b、c,其对应中线分别为ma、mb、mc,则 ∑ama≥4∑ma∑a,当且仅当△ABC为正三角形时取等号.(尹华焱,褚小光.1999,2)90.在△ABC中,三条中线分别为ma、mb、mc,三条角平分线分别为ta、tb、tc,半周长为s,则3∑t2a.∑m2a≥s2∑mbmc.(褚小光.1999,2)注:这是杨学枝提出的猜想,褚小光予以证明.91.设H′为伪垂心,过H′的Cave线长分别为f1、f2、f3,AH′、BH′、CH′长分别为R1、R2、R3.对应的Cave线的剩余部分分别为r1、r2、r3,△ABC三边长为a、b、c,E′F′=a′,D′E′=b′,D′F′=c′,若△ABC为锐角三角形,则(i)∑a′k≥2-k∑ak(k≥1);(ii)∑Rk1≤(23)k∑fk1(0 相似文献
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