Strange nonlinear behaviour governed by a set of four averaged amplitude equations

Oscillations of a string-type generator with a time-delay amplifier are studied. Nonlinear dynamics of this system is governed by a set of partial, ordinary and integral equations with a time delay. First, an analytical perturbation method (supported by symbolic computation) which yields the averaged amplitude equations (AVE) is presented and then the amplitude equations are analysed numerically, showing some surprising phenomena.

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Sommario Si studiano le oscillazioni di un modello elettromeccanico monodimensionale con amplificatore. La dinamica non lineare del sistema è retta da un sistema di equazioni misto (alle derivate parziali, ordinaria e integrale) con un ritardo temporale. Viene presentata dapprima una procedura analitica perturbativa (supportata dalla manipolazione simbolica) che fornisce le equazioni di modulazione dell' ampiezza con il metodo della media; successivamente, si analizzano numericamente tali equazioni evidenziando alcuni interessanti fenomeni dinamici.

     

Elastic behaviour of shrink-fitted forming die assemblies. Part I: Development of an analytical solution

Summary The paper deals with the elastic behaviour of the die assemblies obtained by shrinking a thick walled ring onto a finite hollow right circular cylinder in general of different length. Displacements and stresses in the two components of the assembly are evaluated by using the theoretical general solution on the finite thick-walled hollow elastic right circular cylinder with an axially symmetrical load system in terms of Airy's stress function. Radial and axial displacement influence coefficient technique is used to solve the integral equations governing the two extreme frictionless and slipless contact modes at the mating surface.

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Sommario L'articolo riferisce sul comportamento elastico di accoppiamenti realizzati per forzamento di un anello di grosso spessore su di un cilindro cavo circolare retto di lunghezza finita ed in generale diversa da quella dell'elemento forzante.La valutazione delle componenti di spostamento e di tensione presenti in ciascuno dei due elementi dell'accoppiamento è operata mediante una soluzione teorica, generale, relativa ad un cilindro cavo, circolare, retto, di lunghezza finita e sollecitato da un sistema di carichi distribuiti in modo assialsimmetrico e che è stata sviluppata in termini della funzione delle tensioni di Airy. Il metodo dei coefficienti di influenza applicato alle componenti radiale ed assiale degli spostamenti è utilizzato per la risoluzione delle equazioni, scritte in forma integrale, che governano le modalità di contatto relative alle due situazioni estreme di assenza di attrito e di adesione completa in corrispondenza delle superfici di accoppiamento.

     

A boundary-integral equation method for free surface viscous flows

Summary A boundary integral equation method is proposed for the solution of viscous recirculating flows with free surfaces. In particular the method is applied to thermocapillary convection and to drop formation, both in micro-gravity conditions, the latter to test its capability to handle real unsteady problems.The presence of non linear terms in Navier-Stokes equations leads to a volume integral, which has to be approximated by a linearization procedure.Several numerical results for thermocapillary flows, both with fixed and moving free surface, are discussed in comparison with previously obtained finite difference solutions. Some preliminary results, and in particular the time evolution of the free surface shape, are also presented for the drop formation problem. Only plane two dimensional fields are considered for both problems.

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Sommario Si propone un metodo basato sulla soluzione di equazioni integrali di contorno per flussi viscosi con superficie libera. Tale metodo è applicato allo studio della convezione termocapillare ed al processo di formazione di una goccia, entrambi in condizioni di microgravità. La presenza dei termini non lineari nell'equazione di Navier-Stokes comporta un integrale di volume che viene approssimato mediante un processo di linearizzazione.Risultati numerici per flussi termocapillari con superficie libera sia fissa che mobile sono confrontati con altri ottenuti in precedenza con un metodo alle differenze finite. Si presentano inoltre alcuni risultati preliminari sul problema della formazione della goccia ed in particolare l'evoluzione nel tempo della configurazione geometrica della superficie libera. Nei due casi si analizzano solo campi bidimensionali.

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Presented at the VII National Conference AIDAA, Naples, September 1983.

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In leave of absence from Tianjin University, China.     

On non-radial stress distribution in non-homogenous elastic half-plane under concentrated load

Summary For the special case of elastic non-homogeneity, there is presented the solution of the problem of displacement and stress in a half-plane under concentrated load in the close form, by using the special functions, like the expotential integral, the sine integral and the cosine integral. It was found that both displacement and stress depend on elastic properties and that the stress is not radially distributed as it was assumed in the previous researches in this field. Apart from its theoretical value, the solution can be applied in soil mechanics. In order to illustrate this solution, the author is planning to present the graphs of displacement and stresses in the separate paper.

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Sommario Per il caso speciale di non omogeneità elastica si presenta la soluzione, in forma chiusa, del problema degli sforzi e delle deformazioni in un semi-piano sotto carico concentrato, usando funzioni speciali come l'esponenziale integrale, il seno integrale e il coseno integrale. Si è trovato che sforzi e deformazioni dipendono entrambi dalle proprietà elastiche e che lo sforzo non è distribuito radialmente come si era assunto in precedenti ricerche in questo campo. A parte il suo valore teorico, la soluzione può essere applicata nella meccanica dei terreni. Per illustrare questa soluzione, l'Autore presenterà in una successiva memoria i grafici degli sforzi e delle deformazioni.

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The paper was presented at the Conference on Mechanical Engineering and Mechanics, 6–7 July, 1970, Technion, Israel Institute of Technology, Haifa, Israel.     

Creep and relaxation in thick-walled shrink-fitted cylinders

Summary We deal with the problem of time dependent stresses and, particularly, of the contact pressure in two thick-walled coaxial shrink-fitted cylinders, when neither of the two elements is rigid.We apply Rabotnov's phenomenological theory of creep in such a way that the integral equation, which gives the time dependent ratio between the contact pressure at a given moment and the starting pressure, is linear. We assume no volume deformation and a plane state of strain.We give the explicit solution in three examples both for an elastic inner cylinder and for a viscoelastic one, solving the integral equations of the problem both by quadratures and by the Laplace transformation inverting the transforms by a numerical method[21].

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Sommario Si affronta il problema della ricerca dell'andamento nel tempo delle tensioni e, in particolar modo, della pressione di contatto in un accoppiamento forzato tra due cilindri cavi coassiali nel caso che nessuno dei due elementi sia rigido.Si applica la teoria fenomenologica per lo scorrimento viscoso del Rabotnov in un modo tale per cui l'equazione integrale, che dà l'andamento nel tempo del rapporto tra la pressione di contatto in un dato istante e la pressione iniziale, è lineare. Si considera nulla la variazione di volume e piano lo stato di deformazione.Si dà la soluzione esplicita in tre esempi per cilindro interno sia elastico sia viscoelastico, risolvendo le equazioni integrali del problema sia per quadrature sia con l'uso della trasformata di Laplace trovando l'antitrasformata con un particolare metodo numerico di inversione[21].

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Tensorial formulation of neutron diffusion theory

Summary In this paper a tensorial formulation of monoenergetic neutron diffusion theory is presented as can be derived starting from the integral form of the Boltzmann equation. A result of this tensorial approach is that, as a consequence of a spatial variation of the macroscopic cross sections or of the finite dimensions of the body under examination, the diffusion coefficient is no longer a constant scalar quantity, but a second order symmetric tensor, whose components are functions of both the position and the properties of the material the body is made of. The components of the diffusion coefficient tensor are explicitly evaluated in the case of some homogeneous convex bodies.

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Sommario In questa nota viene presentata una formulazione tensoriale della teoria della diffusione di neutroni monoenergetici, quale può essere dedotta a partire dalla forma integrale dell'equazione di Boltzmann. Nell'ambito di questa formulazione si precisa che il coefficiente di diffusione, in conseguenza di una variazione regolare delle sezioni d'urto macroscopiche con la posizione o delle dimensioni finite del mezzo in esame, non è più una quantità scalare costante, ma un tensore simmetrico del secondo ordine, le cui componenti sono funzioni della posizione e delle proprietà del materiale. Queste componenti vengono calcolate esplicitamente per alcuni mezzi omogenei convessi.

     

Functional methods in three-dimensional neutron transport theory

Summary In this work, we are concerned with the stationary neutron transport Boltzmann equation (in its integral form) in a parallelepiped. Functional methods allow us to prove that the integral transport operator, which is defined in L² space, has eigenvalues depending continuously and monotonically on geometrical and physical parameters. We show that the eigenfunctions are continuous with respect to set of the spatial variables and the optical parameters. Finally, we remark that the same results are valid if the study is carried out in the Banach space C.

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Sommario In questo lavoro consideriamo l'equazione stazionaria di Boltzmann (nella forma integrale) per neutroni monoenergetici nel caso di un sistema tridimensionale a forma di parallelepipedo. L'uso di alcuni metodi dell'analisi funzionale ci permette di provare che l'operatore integrale del trasporto, definito nello spazio L², ha autovalori che dipendono continuamente dai parametri geometrici e fisici. Si prova che le autofunzioni sono continue rispetto all'insieme delle variabili spaziali e dei parametri ottici. Infine, si osserva che gli stessi risultati sono validi se l'operatore del trasporto agisce nello spazio di Banach C.

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Work performed under contract C.N.R. (Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica).     

Absence of turbulence in a unidimensional model of fluid motion (Burgers model)

Summary We study a quasilinear partial differential equation which is a classical unidimensional model of fluid motion (Burgers equation). We consider the problem in a finite interval with stationary boundary conditions. The aim is to see whether the model shows transitions in the asymptotic behaviour as viscosity varies. We show that there is always a unique stationary solution, which is explicitely exhibited, and, by using the Hopf-Cole transformation, that it is globally attractive for any value of the viscosity, both in the homogeneous and inhomogeneous case.

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Sommario In questo lavoro si considera un classico modello unidimensionale della fluidodinamica, consistente in un'equazione alle derivate parziali parabolica quasilineare (equazione di Burgers). Si considera il problema in un intervallo con condizioni al contorno stazionarie. L'intento è quello di indagare se il modello presenta transizioni nel comportamento asintotico al variare della viscosità. Facendo uso della trasformazione di Hopf-Cole si trova che la soluzione stazionaria (che viene calcolata esplicitamente) è globalmente attrattiva per ogni valore della viscosità, sia nel caso omogeneo che in presenza di una forza.

     

On the stability of the solutions to an integral evolution equation of the non linear particle transport theory

Summary In this paper we study the stability, with respect to the initial data, of the solutions to a non linear integral equation arising in particles transport theory.

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Sommario In questo lavoro si prova la stabilità, rispetto ai dati iniziali, delle soluzioni di un'equazione integrale non lineare che si incontra in teoria del trasporto di particelle.

     

The lift computation for an oscillating flat plate in incompressible potential flow

The initial aim of this work was the estimation of the lift acting on a flat plate performing small oscillations in a plane uniform stream by means of a simplified model based on one or at the most two lumped vortices, and the assessment of its results by comparison to those that were exact. The model was found to work well up to a reduced frequency of about 1 or 2, above which the results diverged from those that were correct. In order to improve the model, its behaviour at very high frequencies was then investigated, discovering: (i) that if the number of lumped vortices is greater than one the possibility to impose all boundary conditions is subject to certain geometrical constraints; (ii) that the asymptotical behaviour is not the right one. A straightforward extension of this conclusion to the exact case of a continuous, vorticity distribution simulating the motion of the plate and to the classical equation describing it leads apparently to an incorrect result. The reason for the discrepancy is found in the singularity displayed by the integral equation which cannot be reproduced by the discrete model. It this therefore concluded that the latter can be trusted at low and middle frequencies but its extension to higher ones is fundamentally uncorrect.

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Sommario Lo scopo iniziale di questo lavoro era il calcolo approssimato della portanza agente su una lamina piana soggetta a piccole oscillazioni in una corrente bidimensionale uniforme per mezzo di un modello semplificato basato su uno o al più due vortici concentrati, e il confronto dei risultati con quelli esatti. Il modello risulta funzionare bene per frequenze ridotte inferiori ad 1 o 2, sopra le quali, tuttavia, i risultati si allontanano da quelli corretti. Per migliorarlo si è allora studiato il suo comportamento alle frequenze molto alte, scoprendo che: (i) la possibilità di imporre tutte le condizioni al contorno quando il numero dei vortici concentrati è superiore a uno è soggetta a certe limitazioni sulla configurazione geometrica; (ii) che il comportamento asindotico non è quello corretto. Un'estensione automatica di questa conclusione al caso esatto in cui il moto della lamina è simulato da una distribuzione continua di vorticità e alla classica equazione che lo descrive sembra condurre ad un risultato errato. La ragione di questa discrepanza viene individuata nella singolarità contenuta nell'equazione integrale, che non può essere riprodotta dal modello discreto. Se ne conclude perciò che esso è utilizzabile alle basse e medie frequenze ma che una sua estensione alle alte è fondamentalmente errata.

     

On the possibility of extracting power from resonant harbour oscillations

Summary In this paper the authors examine the possibility of extracting wave power using energy-capturing devices placed inside specially shaped artificial basins, rather than with offshore free-floating installations.For this purpose, a particular type of basin — rectangular in shape with convergent mouth — has been selected, where optimization of efficiency in wave energy exploitation is achieved by a movable back-wall allowing the resonant frequency of the harbour to be tuned to the variable frequency of incident waves.The dynamical behaviour of the proposed harbour configuration was first investigated by means of a mathematical model, obtained by a combination of the finite element and boundary integral techniques.Experiments were then conducted in a large three-dimensional wave basin in order to verify the theoretical results.Both theoretical and experimental analyses confirmed the potentiality of the proposed solution for the purpose of exploiting wave power from the sea.

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Sommario In questo articolo si esamina la possibilità di estrarre energia dal moto ondoso mediante dispositivi di sfruttamento installati all'interno di bacini artificiali di forma opportuna, anziché mediante impianti galleggianti in mare aperto.A tal fine si è scelto un particolare tipo di bacino a forma rettangolare con bocca convergente, dotato posteriormente di una parete spostabile in modo da consentire la sintonizzazione della frequenza di risonanza del bacino con la frequenza, variabile, del moto ondoso incidente.Il comportamento dinamico della configurazione portuale proposta viene analizzato sia teoricamente, con un modello matematico ottenuto mediante combinazione della tecnica degli elementi finiti e del metodo integrale, sia sperimentalmente mediante l'effettuazione di prove in vasca tridimensionale.Sia l'analisi teorica che quella sperimentale appaiono confermare la potenzialità della soluzione proposta ai fini dello sfruttamento dell'energia del moto ondoso.

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This work was supported by the Consiglio Nazionale delle Ricerche (C.N.R.), contribution CT.80.02.102.07.     

Simultaneous collisions of particles: Generalization of a theorem by Sundman

Summary According to Sundman, a simultaneous collision of all the particles of a system of gravitating masspoints is possible only if the total angular momentum of the system vanishes. It is shown that this proposition isnot characteristic for gravitation, but rather holds for a wide class of central forces.

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Sommario Secondo Sundman una collisione simultanea di tutte le particelle di un sistema di masse puntiformi gravitazionali è possibile solo se il momento della quantità di moto totale si annulla. Si dimostra che questo enunciatonon è caratteristico della gravitazione, ma vale piuttosto per un'ampia classe di forze centrali.

     

The magnetic spherical pendulum

This article gives two formulae for the rotation number of the flow of the magnetic spherical pendulum on a torus corresponding to a regular value of the energy momentum mapping. One of these formulae is nonclassical and is based on an idea of Montgomery.

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Sommario In questo lavoro si danno due formule per il numero di rotazione del flusso del sferico pendolo magnetico su un toro che corrisponde a un valore regolare dell'applicazione energia-momento. Una di queste formule è nonclassica ed è basata su un'idea di Montgomery.

     

Transients of current density in linear particle transport theory

Summary Transients of current density, that follow sudden variations of both electric and magnetic fields as applied to a mixture of two different species of particles, are studied via an application of the linear integral transport equation.

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Sommario Sulla base di una esplicita applicazione dell'equazione integrale lineare del trasporto si studiano transienti di densità di corrente, che seguono brusche variazioni di campo elettrico e magnetico agenti su una miscela di due differenti specie di particelle.

     

A study on the forced vibrations of a class of non linear systems with application to the duffing equation Part I: Analytical treatment

Summary A new approach for the general study of the equations of type (1.1) is developed, consisting in the determination of the periodical steady solutions in a suitable parametric form with which the equation is transformed into a non linear integral equation. The procedure is developed in details in the case of the Duffing equation, for which it is obtained an approximate solution valid even if the non-linearity of the system is very high, based on the study of a Volterra integral equation.

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Sommario Viene sviluppato un nuovo procedimento per lo studio generale delle equazioni del tipo (1.1), consistente nella determinazione delle soluzioni periodiche a regime in una opportuna forma parametrica con cui l'equazione di partenza viene ricondotta ad una equazione integrale non lineare. Il procedimento viene sviluppato nei dettagli nel caso dell'equazione di Duffing per la quale si ricava una soluzione approssimata valida anche quando la non linearità è molto elevata, fondata sullo studio di un'equazione integrale di Volterra.

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This work, conducted within Group of Mathematical Physics of the National Research Council (CNR), is an elaboration of a paper presented at the 2nd National Congress of AIMETA (Napoli, October 1974).     

An earthquake engineering wave propagation model

Summary A finite element model for the seismic behaviour of soils requires the definition of suitable boundary conditions to simulate the surrounding soil. These conditions are here analyzed theoretically under the only assumption that the boundary soil behaves elastically. Their application requires the definition of the wave direction. The one of impinging waves is known, being an input datum; the one of the outcoming waves is in general not known a priori. The amount of errors involved is discussed. Analogous problem was previously dealt with for sources of disturbances interiors to the represented portion of the space.

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Sommario L'analisi numerica del comportamento sismico di terreni mediante elementi finiti richiede la definizione di opportune condizioni al contorno per simulare le onde che entrano nella porzione di spazio rappresentato e per assorbire quelle che da questo si propagano verso l'infinito.Tali condizioni sono ricavate teoricamente, nella sola ipotesi che il terreno sul contorno si comporti linearmente. La loro applicazione in programmi di calcolo richiede di precisare al contorno la direzione di propagazione delle onde entranti e di quelle uscenti. La direzione delle prime è un dato del problema, ma la direzione delle onde uscenti non è nota a priori. L'entità degli errori che possono risultarne è discussa sulla base della stessa formulazione teorica. Analogo problema era stato affrontato in precedenza per sorgenti di disturbo interne allo spazio rappresentato.

     

A numerical method for second order thin airfoil theory

Summary In this note a fast Cauchy integral solver and its application to the solution of symmetric incompressible flows, based on a quadratic thin airfoil theory, are presented. The computed velocity near the leading edge has been corrected with the Lighthill rule. Some results relative to airfoils and to cascade are reported.

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Sommario In questa nota si presenta un veloce algoritmo per il calcolo dell’integrale di Cauchy che è stato applicato al calcolo di flussi simmetrici incomprimibili in base ad una teoria quadratica delle piccole perturbazioni. La velocità calcolata nell’intorno del bordo di attacco è stata corretta con la regola di Lighthill. Si presentano alcuni risultati relativi a profili alari isolati ed a schiere di profili.

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The rigid inclusion with highest penetration

A cylindrical bounded rigid inclusion with cross section of bounded area and variable shape is embedded in an infinite elastic medium. Assuming that the cross section possesses an axis of symmetry and that it is pushed into the medium by a force acting in the direction of this axis, the question arises of finding the section's profile for which penetration is highest. A solution is found only for two particular classes of domains in plane elasticity.

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Sommario Un'inclusione clinidrica rigida con sezione trascersale di area limitata e forma variabile è immersa in un mezzo elastico infinito. Avendo supposto che la sezione possegga un asse di simmetria e che sia spinta nel mezzo da una forza agent secondo tale asse, si pone il problema di trovare il profilo della sezione per cui è massima la penetrazione. Una risposta si può dare solo per due classi particolari di domini in elasticità piana.

     

Synthetic interpretation of attitude dynamics of a spinning satellite under continuous and pulsed torques

Summary The problem of the dynamics of a rigid satellite in the case of no damping has been thoroughly treated in several papers[1]; less literature is available on the problem of damped satellites.Furthermore, the formulas describing the dynamics are quite complicated and so their interpretation is not straightforward.This study presents the results of one attempt to interpret the dynamics on the basis of relatively simple physical and cinematic considerations, which lend themselves to an easy interpretation of the performance and a simple determination of the most critical cases, for continuous and pulsed external torques both in the damped and undamped cases.

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Sommario Il problema della dinamica di un satellite rigido è stato trattato a fondo in vari articoli[1] in assenza di smorzamento. Esistono pochi articoli viceversa sul problema di satellite smorzato.Le formule che ne descrivono la dinamica sono assai complicate e di conseguenza la loro interpretazione non è immediata.Questo studio presenta i risultati di un tentativo di interpretazione della dinamica basato su considerazioni fisiche e cinematiche particolarmente semplici, che si prestano ad una facile interpretazione del funzionamento e a una chiara rappresentazione dei casi più critici sia in corrispondenza di eccitazione esterna a coppia costante che impulsiva.

     

On the theory of emersion and impulse waves. A rigorous solution,with finite energy,of the cauchy-poisson problem

Summary In this note a rigorous solution of Cauchy and Poisson problem is reached for the case of irrotational flow of a perfect fluid with initial elevation having a finite energy. The problem is solved both in the plane surface case, in which the solution can be given in the form of known trascendentes, and in the case of axial simmetry, in which the solution is obtained by means of rapidly converging series infolds.The Cauchy and Poisson solution in the case of wave motion, both in the plane form and with axial simmetry, is reported shortly and it is noted that such solution, which has been reached through different methods by other researchers[6] cannot be considered satisfactory from a physical point of view, as the developed scheme involves an initial disturbance of finite volume and infinite height and consequently containing an infinite potential energy.It is demonstrated how one can reach a rigorous solution of the problem regarding progressive surface waves at an infinite depth, when the original elevation, restricted to the spot near the × origin, has a finite volume, height and consequently also potential energy, so that any incongruity from a physical point of view is let out of the solution.The side problem of determining the wave resulting from application of an impulse evenly distributed on the whole undisturbed surface is not a very interesting one, as it is included in the class of problems involving an initial infinite energy.

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Sommario In questa nota si giunge ad una soluzione rigorosa del problema di Cauchy e Poisson, per il caso di moto irrotazionale di fluido perfetto, con intumescenza iniziale avente energia finita. Il problema viene risolto sia nel caso piano, in cui si può esprimere la soluzione a mezzo di trascendenti note, sia nel caso a simmetria centrale, in cui si ottiene la soluzione a mezzo di sviluppi in serie rapidamente convergenti.Si riporta brevemente la soluzione di Cauchy e Poisson nel caso di moto ondoso, sia piano che a simmetria centrale e si nota che tale soluzione, ritrovata per altra via anche da altri ricercatori[6] non è soddisfacente dal punto di vista fisico, in quanto lo schema fatto è quello di una perturbazione iniziale di volume finito e di altezza infinita e quindi dotata di energia potenziale infinita.Si dimostra come si possa giungere ad una soluzione rigorosa del problema delle onde progressive superficiali in profondità infinita, quando l'intumescenza originale, confinata in prossimità dell'origine delle × abbia volume, altezza e quindi anche energia potenziale finita, in modo che ogni incongruità dal punto di vista fisico della soluzione venga a cadere.Il problema complementare, di determinare cioè l'onda risultante dall'applicazione di un impulso distribuito uniformemente sulla superficie in quiete, non è di grande interesse, perchè rientra nella categoria dei problemi con energia iniziale infinita.