The Missing Problems of Gersonides—A Critical Edition, II

Gersonides' Maaseh Hoshev (The Art of Calculation) is a major work known for its early use of rigorous combinatorial proofs and mathematical induction. There is a large section of problems at the end of the book, with the theme of proportions, which until now remained unpublished. I present a critical edition of this material. I also uncover a previously unknown second edition of Maaseh Hoshev. The material is appropriate for creative pedagogy and provides economic details of the author's culture and environs. A previous article presented the first, 15 problems and this article presents the rest. Copyright 2000 Academic Press.Le Maase Hoshev (L'Art du Calcul) de Gersonide est un ouvrage majeur connu pour son usage précoce de preuves combinatoires rigoreuses et de l'induction mathématique. La fin de l'ouvrage comporte une section importante consacrée a une série de trente problèmes sur le thème des proportions qui était restée inédite jusqu'à ce jour et dont je présente pour la première fois une édition critique. Je révèle également l'éxistence d'une séconde édition de Maase Hoshev. Le matériau peut servir de base à des projets de pédagogie créative et offre des détails sur la culture et l'environnement de l'auteur. Cet article fait suite a une première étude qui présentait les quinze premiers problèmes de Maase Hoshev et en présente les quinze autres.     

Symbolical Algebra as a Foundation for Calculus: D. F. Gregory's Contribution

Duncan Farquharson Gregory (1813–1844) was a mathematician and founder of the Cambridge Mathematical Journal. His 1841 Examples of the Processes of the Differential and Integral Calculus was an extensive revision of Peacock's 1820 textbook of a similar title. Among the new material in Gregory's version is an exposition of symbolical algebra, prominently featuring the method of “separation of symbols.” We examine Gregory's career; the mathematicians he influenced; and Servois and Murphy, who influenced him. We consider Gregory's use of separation of symbols in the Examples and consider whether he believed these techniques to be capable of providing an adequate foundation for calculus. © 2002 Elsevier Science (USA).Le mathématicien Duncan Farquharson Gregory (1813–1844) fut également fondateur du Cambridge Mathematical Journal. Son ouvrage publié en 1841, Examples of the Processes of the Differential and Integral Calculus, constitue une révision substantielle du livre de Peacock au titre similaire. L'un des apports du livre de Gregory est un exposé de l'algèbre symbolique, et en particulier de la méthode de séparation des symboles. Dans cet article nous passons en revue la carrière de Gregory et nous parlons des mathématiciens qu'il a influencés, ainsi que de l'influence que Servois et Murphy ont eu sur ses travaux. Nous considérons son usage de la séparation des symboles dans ses Examples, et nous examinons si Gregory croyait que ses techniques pouvaient constituer un fondement pour le calcul différentiel. © 2002 Elsevier Science (USA).MSC 1991 subject classifications: 01A55, 01A70, 01A50, 26-03, 26A03, 34-03, 34A30.     

On Extremal Permutations AvoidingωN = NN − 1 . . . 1

Dedicated to the memory of Marcel–Paul Schützenberger Cet article présente une étude des permutations qui évitent le motif de la permutation maximaleω_N = NN − 1 . . . 1. Après avoir donné les définitions classiques, nous montrons que l’ensemble de ces permutations est un idéal pour l’ordre de Bruhat faible et faisons l’étude de ses éléments maximaux. Nous exhibons alors un algorithme pour calculer ces éléments et nous montrons que ceux-ci peuvent être obtenus à partir d’un automate. Nous terminons en donnant des estimations asymptotiques de leur nombre. This paper presents a study of permutations avoiding the patternω_N = NN − 1 . . . 1. After recalling the basic definitions, we prove that this set of permutations is an ideal for the weak Bruhat order and begin the study of its maximal elements. We then present an algorithm that generates these elements and find out that they can be obtained from an automaton. Finally, we give some asymptotics about their number.     

Orientations Acycliques et le Polynôme Chromatique

On attache à tout graphe G son polynôme chromatiqueχ_G (λ), qui dénombre ses colorations régulières avecλ couleurs. D’après Stanley, on sait que |χ_G ( − 1)| est égal au nombre d’orientations acycliques du graphe, un résultat qui fut raffiné par Greene et Zaslavsky. Nous nous proposons de l’affiner davantage en interprétant, avec l’aide de certaines orientations acycliques, les coefficients deχ_G (λ) développé en puissances de λ et surtout en puissances de (λ −  1). L’utilisation systématique des fonctions génératrices des fonctions d’ensembles permet d’avoir des démonstrations très courtes et explicatives. Elles se veulent une réponse à la suggestion faite par Gebhard et Sagan, qui ont déjà trouvé des démonstrations combinatoires de deux résultats de Greene et Zaslavsky. Les fonctions d’ensembles permettent aussi d’établir une série d’interprétations nouvelles de l’invariant β_Gde Crapo. Cet article donne également un nouvel éclat aux résultats classiques de Cartier, Foata, Viennot, Brenti, Gessel et Stanley. The chromatic polynomialχ_G (λ), which is associated with each graph G, enumerates its regular colorations with λ colors. Stanley showed that |χ_G ( − 1)| is equal to the number of acyclic orientations of the graph, a result that was refined by Greene and Zaslavsky. The purpose of the paper is to show that a further refinement can be obtained by interpreting each coefficient of χ_G(λ), when the polynomial is developed with respect to powers of λ and (λ −  1). A systematic use of the generating functions for set functions enables us to have very short and instructive proofs. Gebhard and Sagan, who had already found combinatorial proofs of two results by Greene and Zaslavsky, suggested that further proofs were to be found. Finally, the set functions algebra allows us to establish a series of new interpretations for Crapo’sβ_G invariant. This paper also brings a new light to the classical results due to Cartier, Foata, Viennot, Brenti, Gessel and Stanley.     

Problèmes linéaires dans le Compendy de la praticque des nombres de Barthélemy de Romans et Mathieu Préhoude (1471): Une approche nouvelle basée sur des sources proches du Liber abbaci de Léonard de Pise

The Compendy de la praticque des nombres (1471) is one of a number of commercial arithmetics produced in southern France during the medieval period. Its interest and originality rest in its treatment of problem-solving. The author of the text limited his treatment to an in-depth analysis of only a few types of problems, not treating particular cases but rather emphasizing general methods. The sources from which he drew were very close to the Liber abbaci of Leonardo Fibonacci and many of them were new to the southern French arithmetic tradition. Thus, the Compendy sheds new light on the transmission of arithmetic thought into Europe. Copyright 2000 Academic Press.Le Compendy de la praticque des nombres (1471) est un traité qui appartient au groupe des arithmétiques commerciales du Sud de la France. L'intérêt et l'originalité du texte résident dans la partie consacrée à la résolution de problèmes. L'auteur sélectionne quelques types de problèmes seulement, auxquels il consacre une longue étude, délaissant les cas particuliers pour privilégier les méthodes. Ce faisant, il utilise de nouvelles sources, proches du “Liber abbaci” de Léonard de Pise, étrangères aux autres arithmétiques françaises de la même famille. Le Compendy nous apporte ainsi un éclairage nouveau sur la transmission de l'algorisme. Copyright 2000 Academic Press.MSC subject classifications: 01A35; 01A40.     

Le rapport di isou (Euclide V, définition 17): Définition, utilisation, transmission

Dans le livre V des Eléments d'Euclide, la définition 17, du di isou logos, se compose de deux énoncés juxtaposés, qui ne sont pas équivalents. Le premier étant une simple réfection du théorème V,22, il convient de regarder le second seul comme authentique, comme le suggérent aussi bien l'emploi de l'expression di isou en géométrie grecque, que l'analyse précise de la tradition indirecte. En conséquence, la définition 17 doit être débarrassée de sa première partie; la définition 18.1, celle de la proportion réglée, doit être restituée comme authentique; la définition 18.2, de la proportion déréglée, doit être réduite à son libellé original, analogue à celui de 18.1.In Euclid's Elements V, Definition 17 (di isou logos) consists of two statements, which are not equivalent. The first one being a remake of theorem V,22, the second is the only one to be taken as genuine. This can be proved by the use of the expression di isou in Greek geometry, and also by a close scrutiny of the various witnesses of this part of the text. Consequently, Definition 17 should be cleared of its first part; Definition 18.1, of the ordered proportion, should be restored as genuine; Definition 18.2, of the perturbed proportion, should be reduced to its original core, and made similar to 18.1.     

Front Propagation Problems with Nonlocal Terms, II

We study the propagation of hyper surfaces Σ_t of ^N satisfying the equation V = h(x, Ω_t), where V is the normal velocity of Σ_t at x, Ω_t is the interior of Σ_t, and h is a given evolution law. We prove the existence of generalized solutions and an inclusion principle for these generalized solutions. Copyright 2001 Academic Press.Dans cet article nous étudions certains problèmes de propagation d'hypersurfaces Σ_t de ^N suivant des lois de la forme: V = h(x, Ω_t), où V est la vitesse normale à Σ_t en x, Ω_t est l'intérieur de Σ_t et h est une loi d'évolution. On définit une notion de solutions généralisées, et on montre l'existence de telles solutions. De plus on démontre un principe d'inclusion pour ces solutions.     

Les débuts de l'histoire des mathématiques sur les scènes internationales et le cas de l'entreprise encyclopédique de Felix Klein et Jules Molk

At the beginning of the 20th century, the history of mathematics first appeared on different international scenes as a result of different initiatives of mathematicians, historians, and philosophers. By studying the way in which historians of mathematics took advantage of these opportunities, we have sought the contours, the lines of force, and the equilibria of this process of the internationalization of the history of mathematics on an institutional as well as intellectual plane.This search was focused through the study of the German- and French-language editions of the Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, which is one of the most remarkable examples dating from this period of an international collaboration for mathematics and its history. Copyright 1999 Academic Press.Au début du vingtième siècle l'histoire des mathématiques fait ses débuts sur différentes scènes internationales à l'occasion de différentes initiatives de mathématiciens, d'historiens, de philosophes. En étudiant la façon dont les historiens des mathématiques se saisirent de ces opportunités, nous avons cherché à comprendre les contours, les lignes de force, les équilibres de ce processus d'internationalisation de l'histoire des mathématiques, tant sur le plan institutionnel qu'intellectuel.Cette enquête a été précisée par l'étude des éditions en langues allemande et française de l'Encyklopä-die der mathematischen Wissenschaften qui est un des exemples les plus marquant de cette période d'une collaboration internationale, tant pour les mathématiques que leur histoire. Copyright 1999 Academic Press.MSC subject classifications: 01A60, 01A74.     

On the low regularity of the fifth order Kadomtsev-Petviashvili I equation

We consider the fifth order Kadomtsev-Petviashvili I (KP-I) equation as , while α∈R. We introduce an interpolated energy space Es to consider the well-posedness of the initial value problem (IVP) of the fifth order KP-I equation. We obtain the local well-posedness of IVP of the fifth order KP-I equation in Es for 0<s?1. To obtain the local well-posedness, we present a bilinear estimate in the Bourgain space in the framework of the interpolated energy space. It crucially depends on the dyadic decomposed Strichartz estimate, the fifth order dispersive smoothing effect and maximal estimate.     

Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context

We consider several aspects of the role and evaluation of the four-sexagesimal-place approximation to on the well-known Old Babylonian tablet YBC 7289. By referring to what is known about OB school texts, we show that this text is most probably a school exercise by a trainee scribe who got the approximation from a coefficient list. These coefficient lists are briefly described, with their use in geometrical problems. We consider other texts involving square roots and derive an algorithm for evaluating them, which complies with all known OB examples, from a simple geometrical construction of the type that seems to underlie many other OB procedures.Copyright 1998 Academic Press.Nous considérons plusieurs aspects du rôle et de l'évaluation de l'approximation à quatre places sexagésimales de sur cette tablette paléo-babylonienne. En nous référant à l'état des connaissances quant aux textes scolaires paléo-babyloniens, nous montrons comment ce texte est très probablement un exercice scolaire exécuté par un apprenti scribe qui a obtenu l'approximation à partir d'une liste de coéfficients. Nous décrivons en bref ces listes de coéfficients, ainsi que leur utilisation dans les problèmes de géométrie. Nous considérons d'autres textes traitant de racines carrées , et pour les évaluer nous dérivons un algorithme qui est en accord avec tous les exemples paléo-babyloniens connus; ceci à partir d'une construction géométrique simple du type qui semble être charactéristique de beaucoup d'autres procédures paléo-babyloniennes.Copyright 1998 Academic Press.MSC 1991 subject classifications: 01A17; 11-03     

A Contextualized Historical Analysis of the Kuhn–Tucker Theorem in Nonlinear Programming: The Impact of World War II

When Kuhn and Tucker proved the Kuhn–Tucker theorem in 1950 they launched the theory of nonlinear programming. However, in a sense this theorem had been proven already: In 1939 by W. Karush in a master's thesis, which was unpublished; in 1948 by F. John in a paper that was at first rejected by the Duke Mathematical Journal; and possibly earlier by Ostrogradsky and Farkas. The questions of whether the Kuhn-Tucker theorem can be seen as a multiple discovery and why the different occurences of the theorem were so differently received by the mathematical communities are discussed on the basis of a contextualized historical analysis of these works. The significance of the contexts both mathematically and socially for these questions is discussed, including the role played by the military in the shape of Office of Naval Research (ONR) and operations research (OR). Copyright 2000 Academic Press.En démontrant, en 1950, le théorème qui porte aujourd'hui leur nom, Kuhn et Tucker ont donné naissance à la théorie de la programmation non-linéaire. Cependant, en un sens, ce théorème avait été démontré auparavant, d'abord par W. Karush en 1939 dans un mémoire de maîtrise inédit, par la suite par F. John en 1948 dans un article qui avait d'abord été rejeté par le Duke Mathematical Journal, et peut-être même plus tôt par Ostrogradsky et aussi par Farkas. Le présent article cherche à élucider deux questions: Peut-on considérer le théorème Kuhn–Tucker comme un exemple de découverte multiple? Et pourquoi le théorème a-t-il été reçu si différemment dans les diverses communautés mathématiques? Notre discussion se base sur une analyse historique contextuelle des différents ouvrages. Nous examinons ici l'importance du contexte, tant du point de vue des mathématiques que du point de vue social, y compris le rôle joué par le secteur militaire dans le cadre de l'Office of Naval Research et de la recherche opérationnelle. Copyright 2000 Academic Press.MSC 1991 subject classification: 01A60; 49-03; 52-03; 90-03; 90C30.     

Hydrodynamic limit for asymmetric mean zero exclusion processes with speed change

We consider the hydrodynamic behavior of asymmetric mean zero exclusion processes with speed change. The model discussed in this paper is of non-gradient type and so is its associated symmetric process. We derive a nonlinear diffusion equation for the macroscopic density field obtained in the diffusive scaling limit by estimating the relative entropy with respect to the local equilibrium state of second order approximation. The estimation of the asymmetric part is carried out by using the strong sector condition. The diffusion coefficient is bigger than that of the associated symmetric process in the sense of matrix.

Résumé

Nous considérons le comportement hydrodynamique des processus d'exclusion asymétrique de moyenne nulle. Le modèle discuté dans cet article est nongradient, de même que le processus symétrique associé. Nous obtenons une équation de diffusion non linéaire pour le champ de densité macroscopique dans la limite de diffusion. La méthode repose sur l'estimation de l'entropie relative par rapport à l'état d'équilibre local de l'approximation du deuxième ordre. L'estimation de la partie asymétrique est obtenue à l'aide de la condition sectorielle forte. Le coefficient de diffusion est plus grand au sens matriciel que celui du processus symétrique associé.     

Asymptotic behavior of solutions of the Cauchy problem for Burgers type equations

We show that the solutions of the initial value problems for a large class of Burgers type equations approach with time to the sum of appropriately shifted wave-trains and of diffusion waves.

Résumé

Nous montrons que les solutions du problème de Cauchy pour une grande classe d'équations de type de Burgers sont approchées en temps grand vers des sommes d'ondes de diffusion et d'ondes progressives adéquatement translatées.     

On stationary distributions for the KPP equation with branching noise

This paper applies the method of Harris's convergence theorem for additive particle systems to a stochastic PDE that arises as the limit of long range contact processes. This is used to study the uniqueness of a translation invariant stationary distribution and its domain of attraction.

Résumé

On applique la méthode conduisant au théorème de convergence de Harris pour les systèmes de particules additifs à une EDP stochastique qui apparaît comme limite d'un processus de contact à longue portée. On étudie ainsi l'unicité de la mesure stationnaire invariante par translation et son domaine d'attraction.     

Critical path analysis for continuum percolation

We prove the validity of the Critical path analysis for a continuum percolation model close to Golden–Kozlov one. This is obtained in the limit of strong disorder.

Résumé

On montre la validité de “Critical path analysis” pour un modèle de percolation continue proche de celui de Golden–Kozlov. Le résultat est obtenu à la limite de grand désordre.     

The Riemann problem for a class of resonant hyperbolic systems of balance laws

We solve the Riemann problem for a class of resonant hyperbolic systems of balance laws. The systems are not strictly hyperbolic and the solutions take their values in a neighborhood of a state where two characteristic speeds coincide. Our construction generalizes the ones given earlier by Isaacson and Temple for scalar equations and for conservative systems. The class of systems under consideration here includes, in particular, a model from continuum physics that describes the evolution of a fluid flow in a nozzle with discontinuous cross-section.

Résumé

Nous résolvons le problème de Riemann pour une classe de systèmes hyperboliques non-conservatifs et résonants. Ces systèmes ne sont pas strictement hyperboliques et les solutions considérées prennent leurs valeurs au voisinage d'un état constant où deux des vitesses caractéristiques coincident. Notre construction généralise celle donnée précédemment par Isaacson et Temple pour les équations scalaires et les systèmes conservatifs. La classe générale de systèmes étudiée ici comprend, en particulier, un modèle important de la dynamique des milieux continus qui décrit l'évolution d'un fluide dans une tuyère dont la section est discontinue.     

Noyaux potentiels associés à une filtration

We study from the point of view of potential theory some operators V which are “integrals of martingales” and noteworthy the formula (I + V)⁻¹ = I − N where N is a submarkovian kernel. We give an explicit expression of N when the filtration is finite and get the general case with an usual approximation procedure. Some links are made with the matrix theory (ultrametric and Stieltjes matrices) and the graph theory (flows and capacities) when the space is finite.

Résumé

On étudie, du point de vue de la théorie du potentiel, des opérateurs V du type “intégrales de martingale”, et notamment la formule (I + V)⁻¹ = I − N où N est un noyau sous-markovien. On donne une expression explicite de N dans le cas d'une filtration finie, et on traite le cas général par un procédé d'approximation usuel. On fait le lien avec la théorie des matrices (matrices ultramétriques et de Stieltjes) et la théorie des graphes (flots et capacités) quand l'espace est fini.     

On the pullback equation

We discuss the existence of a diffeomorphism such that

φ^*(g)=f