借“1／x＋a＋1／x＋b=1／x”发挥

题中方程的实数解 ,众所周知 ,仅当 ab>0时 ,x=± ab.如果 a,b∈ N ,a≠ b,且只需解这方程的正整数解 ,那么必须满足 ab=k2 ( k∈N) .本文仅借方程的构形 ,发挥它正整数解的功能 ,来揭示“一个单位分数表示为两个不同单位分数的和”的实质 . (注 1)由上得 :1k=1k a 1k b ( 1)令 k2 ( =ab) =pe11 · pe22 … peii … pett.( pi 为素数 ) .不难推出 ( 1)的不同表示法的种数 =d( k2 ) -12 .(其中 d( k2 ) =( e1 1) ( e2 1)… ( ei 1)… ( et 1) ) .令 ( 1)中 a=k2 ,b=1.经移项整理得1k( k 1) =1k-1k 1( 2 )由 ( 2 )可求出 ( n-1)个形如它左…     

活用点（x1＋x2，x1x2）的轨迹方程解题

在学习直线与圆锥曲线的位置关系时,不少学生使用韦达定理具有一定的盲目性.特别是遇到较复杂的问题时,更是如此.对此,在教学中我们给学生装上“轨迹思想”的方向盘,使问题有了很好的解决.我们引入弦的端点坐标(x1,y1),(x2,y2),构造点(x2+x2,x1x2),或点(y1+y2,y1y2),先求出点的轨迹方程,再结合韦达定理求出该点的坐标,代入所求轨迹方程,或利用点的存在域x1x2≤14(x1+x2)2,然后求解.这样处理,思路清晰,许多问题迎刃而解.例1已知A,B为抛物线y2=2px(p>0)上两点,且OA⊥OB,原点O在AB上的射影为D(2,1),求此抛物线方程.解设A,B的坐标分别为(x1…     

方程a2x（t—τ）＋a1x（t—τ）＋a0x（t—τ）＋b2x（t）＋b1x（t）＋b0x（t）=δ的部分解讨论

讨论了方程a2x(t-τ）＋a1x(t-τ) a0x(t-τ) b2x(t) b1x(t) b0x(t)=δ的部分解。     

On the Diophantine Equation x2 - kxy ＋ y2 ＋ 1x = 0

Let l be a given nonzero integer.The authors give an explicit characterization of the positive integer k that makes the Diophantine equation x2-kxy+y2+lx=0 have infinitely many positive integer solutions(x,y).     

不定方程6y^2=x（x＋1）（2x＋1）的解的简洁初等证明

不定方程６ｙ￣２＝ｘ（ｘ＋１）（２ｘ＋１）的解的简洁初等证明汉江机床厂何宗友１８７５年卡斯（Ｌｕｃａｓ）问不定方程或是否仅有非平凡解ｘ＝２４，ｙ＝７０．１９１９年沃森（Ｗａｔｓｏｎ）、１９５２年琼格伦（Ｌｊｕｎｇｇｒｅｎ）分别利用椭圆函数与二次域理论...     

函数f（x＋a）与f^-1（x＋a）一定不是互为反函数吗

《中学生数学》2007年11月上（总第333期）一文“涉及函数f（x-1）与f^-1（x-1）的高考题随想”中“结论1函数f（x＋a）与f^-1（x＋a）不是互为反函数”这一说法欠妥,理由如下：     

浅谈求函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的判别式法

函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的求法,很多资料上给出方法是判别式(即△)法,而一旦自变量的范围给以限定,当△法失效时,还有其他方法吗?一般资料上就避而不谈了.要全面系统解决函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的问题,本文以为需解决以下三个事情:①判别式法的过程和依据,②自变量有限制时还能用判别式法吗?③自变量有范围限制,问题可以归结为三类常见函数:反比例函数;y=t+c/t(c＞0);y=t+c/t(c＜0)的值域求法.     

构造ARBIBD（x^2,x（x＋1）,x＋1,X,1）的实用方法

本文提出了构造群GF(p)及GF(p~e)上的一类ARBIBD的简单而有效的算法。它们易于计算机和手工生成,且可用来推广复数旋转码及加速编码速度。     

方程x1＋x2＋……＋xm=n的正整数解的个数及其应用

在近几年的高考试题中，出现了可化为求方程x1＋x2＋…＋xm=n（m，n∈N^＋，m≤n）的正整数解的个数的问题，下面就这个问题谈几点看法，供大家参考。     

关于不定方程组x-1=3py^2，x^2＋x＋1=3z^2

设P为素数，利用同余及高次丢番图方程的一些结果证明了不定方程组x-1=3py^2，x^2＋x＋1=3z^2仅有正整数解（p，x，y，z）=（7，22，1，13）。     

无理函数y=(√a1x+b1)+(√a2x+b2)的最值求法

无理函数y=(√a1x+b1)+(√a2x+b2)(a1,a2,b1,b2均不为0)(1)的最值问题,是代数中较为典型的一类最值问题之一.当a1a2≥0时,函数(1)为单调函数,求出定义域后利用单词性很容易确定最大值和最小值.但当a1a2＜0时,函数(1)最值的求解具有一定的难度.     

关于丢番图方程x（x＋1）（2x＋1）=2py^2——兼推出Lucas猜想的简洁初等证明

1875年E．Lucas猜想：丢番图方程x(x 1)(2x 1)=2py^2仅有正整数解(x,y)=(1,1),(24,70)．1919年Watson和1952年Liunggren分别给出了肯定回答;1969年Mordell指出：watson和unggren的证明既复杂又非初等,希望有人能给出初等证明。     

探究x0x＋y0y=r^2与x0x＋y0y=x0^2＋y0^2耐的几何意义

问题背景苏教版教材必修二P105这样一道习题：已知圆C的方程是x^2＋y^2=r^2,求经过圆C上一点M（x0,y0）的切线的方程．     

f^-1（x＋1）是f（x＋1）的反函数吗？

在求反函数的问题中,经常有同学把f^-1（x＋1）是f（x＋1）的反函数,其实,只要把好：f（x＋1）→f（x）→f^-1（x）→f^-1（x＋1）这一脉络,就可以捋顺二者关系．下面从三个方面加以剖析,以加深对二者关系的认识．     

方程(a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与(a±x)~(1/2)=x等价吗?

《中学数学》1984年第三期刊登了题为“解方程、(2+(2+(2+x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=2所想到的”*一文,介绍了方程(a±(a±…±(a±x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=x与方程x=(x±a)~(1/2)等价性的证明及其应用。读完此文后,颇受启发,但笔者总认为有点不同的看法,下面提出与同志们讨论,并兼与该文作者商榷。作者在“探求方程(2+(2+(2+x)~(1/2))~(1/2))~(1/2)=2的特殊解法时,联想到方程     

巧用Sn＋1=a1＋qSn解题

《中学生数学》2010年4月（上）期刊登的文章《将Sn化为an解一类数列题》,对文中提出的问题2,此处给出另一种解法,并将命题加以拓展．