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再谈Eisenstein判别法的推广 总被引:1,自引:0,他引:1
文 [1 ]对Eisenstein判别法作出了有益的推广 ,并给出了如下定理 :设 f(x) =anxn an -1xn -1 … a1x a0 是一个整系数多项式 ,k为某一自然数 ,且 1≤k≤n ,若存在素数 p ,使得 :1 ) p an;2 ) p |ak -1,p |ak -2 ,… ,p|a0 ;3) p2 a0 ,那么 f(x)在有理数域上有一个次数不小于k的不可约因式 .该定理有效地解决了一些多项式在有理数域上的可约性判别 .但有较大的局限性 .本文将这一结论作进一步推广 .命题 1 设 f(x) =anxn an -1xn -1 … a1x a0 是一个整系数多项式 ,m <k≤… 相似文献
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四十多年前 ,K .Fan ,O .Taussky和J .Todd发现并证明了如下两个优美的初等不等式[1] :设a1,a2 ,… ,an 皆为实数 ,1° 若a0 =an 1=0 ,则2 (1-cos πn 1) nk =1a2 k≤ n 1k =1(ak-ak- 1) 2 (1)等式成立当且仅当ak=Csin kπn 1(k =1,2 ,… ,n ,C为实常数 ) .2° 若a0 =0 ,则2 (1-cos π2n 1) nk =1a2 k≤ nk =1(ak-ak - 1) 2 (2 )等式成立当且仅当ak=Csin kπ2n 1(k =1,2 ,… ,n ,C为实常数 ) .1982年 ,G .V .Milovanovic和I.… 相似文献
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对等差数列 {an} ,(n ,an)构成共线的点列 ,其直线的斜率即为公差d .我们可以利用这一性质来解题 .例 1 设等差数列 {an}中 ,ap =q ,aq=p ,则ap q=.分析 :由 ( p ,ap) ( q ,aq) ,( p q ,ap g)三点共线 ,根据直线的斜率公式得 ap q-ap( p q) - p=aq-apq - p ,即 ap q- qq =p - qq - p.解得 ap q=0 .例 2 设等差数列 {an}前n项和为Sn,且Sp=q ,Sq=p ,求Sp q的值 .这道题的解法较多 .同学们大都直接设首项a1,公差d ,列方程组 :q =pa1 12 p( p - 1)d ,p … 相似文献
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1995年 5月 ,世界权威杂志《数学年刊》(AnnalsofMathematics)刊登了英国数学家怀尔斯 (A .Wiles)的长篇论文《模椭圆曲线和费马大定理》 ,宣告了历时 350多年的著名数学难题“费马大定理”的彻底解决 .这是 2 0世纪末数学上的最高成就 .1 费马与费马大定理费马 (P .deFermat,1 6 0 1 - 1 6 6 5)是法国数学家 ,生于法国南部图卢兹附近波蒙 -德洛马涅 ,卒于卡斯特尔 .早年在家乡受教育 ,后入图卢兹大学学习法律 ,毕业后任律师 .1 6 31年起一直任图卢兹议会议员 .他博闻饱学 ,精通数种文字 ,掌握多门自然… 相似文献
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问题 F1 、F2 是椭圆 x2a2 + y2b2 =1 (a >b>0 )的左、右焦点 ,过焦点F1 作弦AB与椭圆相交于A、B两点 ,求△ABF2 面积的最大值 .错解 由椭圆的定义知|F1 B| + |F2 B| =2a ,|F1 A| + |F2 A| =2a ,∴ △ABF2 的周长 2 p =4a p =2a .据海伦———秦九韶公式知S△ABF2 =p·( p -a) ( p -b) ( p -c)≤p·( p3 ) 3=3·p29=439a2 ,∴ △ABF2 的面积的最大值为439a2 .剖析 忽视了等号成立的条件 ,p -a =p-b =p -c即△ABF2 为正三角形时 ,等号取得 .设B1 是椭圆短轴的一个端点 … 相似文献
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浅析数学归纳法的奠基步骤 总被引:1,自引:0,他引:1
1 从对命题成立的简单验证中选定奠基步骤我们知道 ,在证明与自然数有关问题的正确性时 ,先验证当n取第一个值n0 (例如n0 =1)时命题成立 .然后假设n =k (k∈N ,k≥n0 )时命题成立 ,证明n =k 1时命题成立 .这个过程可视为 ,若p(n0 )成立 ,取k =n0 ,由归纳步骤证p(n0 1)成立 .同理再由p(n0 1)成立证p(n0 2 )成立 .如此下去 ,对于所有大于n0 的自然数n ,p(n)都成立 .这里p(n0 )不仅是命题成立的一个真命题 ,而且还是起动归纳推理的初始步骤 .奠基步骤p(n0 )正是由递推关系式p(n0 ) p(n0 1) p(n0 2… 相似文献
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二项式定理的应用是高三复习中一类难度较大的问题 .经常碰到学生问及诸如 (52 7) 2n 1的整数部分的整除性或小数部分的估计等问题 .通过对(A B) n 展开式的分析 ,我们得到如下结论 .定理 1 设n ,A ,B∈N ,且B - 1<A <B 1,记I为 (A B) n 的整数部分 ,F为 (A B) n的小数部分 ,则 :1)若A >B,I =(A B) n (A - B) n-1;F =1- (A -B) n 且I为奇数 .2 )若A <B ,当n为奇数时 ,I =(A B) n (A -B) n,F =(B -A) n 且I为偶数 ;当n为偶数时 ,I =(A B) n (A -B) n- 1;F =1-(A -B) … 相似文献
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谈谈圆锥曲线的几个定值 总被引:3,自引:0,他引:3
圆锥曲线有许多丰富、有趣的性质 ,是高中各类考试考查的重点内容 ,本文对其中的几个定值问题加以总结 .1 焦点弦性质圆锥曲线过焦点的弦被焦点分成长为m ,n的两部分 ,则 1m +1n =2ep.证明 由圆锥曲线统一的极坐标方程ρ= ep1 -ecosθ.可设m =ep1 -ecosθ,n=ep1 -ecos(θ+π)所以 1m +1n =2ep.2 定点弦性质抛物线y2 =2px(p>0 )的动弦AB恒过定点M(2p,0 )的充要条件是KOA·KOB =-1 .证明 充分性 .若KOA·KOB =-1设弦OA的方程为y=kx,①则弦OB的方程为y=-1kx ,②由抛物线方程… 相似文献
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《高等数学研究》2003,(3)
一、填空题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .-3的绝对值是 .2 .sin60° =.3 .函数 y =x -1的自变量x的取值范围是.4.分母有理化 :12 +3 =.5 .若实数a ,b分别满足a2 -5a +2 =0 ,b2 -5b+2 =0 ,则 ba +ab =.6.分解因式 :x3-4x =.7.若直线 y =2x +b过点 ( 2 ,1 ) ,则b =.8.如图 ,如果m∥n ,∠ 1 =40°,那么∠ 2 =.9.如图 ,△ABC中 ,AB =AC ;△DEF中 ,DE =DF .要使得△ABC∽△DEF ,还需增加一个条件是(填上你认为正确的一个即可 ,不必考虑所有可能情况 ) .1 0 .如图 ,A ,B是⊙O上两点 ,且∠… 相似文献
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文 [1 ]给出下面三道命题 :命题 1 M(x0 ,y0 )为抛物线y2 =2px上的一个定点 ,过M任作两条互相垂直的弦MP、MQ ,则直线PQ必过定点M′(x0 +2p ,-y0 ) ;命题 2 M(x0 ,y0 )为椭圆x2a2 +y2b2 =1上的一个定点 ,过M任作两条互相垂直的弦MP ,MQ ,则直线PQ过定点M′ a2 -b2a2 +b2 x0 ,- a2 -b2a2 +b2 y0 ;命题 3 M(x0 ,y0 )为双曲线x2a2 - y2b2 =1上的一个定点 ,过M任作两条互相垂直的弦MP、MQ ,若a≠b ,则直线PQ过定点M′ a2 +b2a2 -b2 x0 ,- a2 +b2a2 -b2 y0 ;若a =b ,… 相似文献
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《数学通报》2001,(9)
20 0 1年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 2 6 设m >0 ,n >0 ,α∈ (0 ,π2 ) ,求证 :msecα ncscα≥ (m23 n23) 32 .(江苏省灌云县中学 朱兆和 2 2 2 2 0 0 )证明 设点P的坐标为 (m ,n) ,直线l过点P ,倾角为π-α ,l与x、y轴的正半轴分别交于点A、B(如图 ) .则 |PA| =nsinα,|PB| =mcosα则 |AB| =|PA| |PB|=msecα ncscα .又设A(a ,0 ) ,B(0 ,b) ,则直线l的方程为 xa yb =1 ,l过P(m ,n) ,所以 ma nb =1 .|AB|2 =a2 b2 =(a2 b2… 相似文献
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算术与几何平均不等式也与许多极值问题相关联 ,它对于解决某些函数的极值问题同样是十分有用的 .例 6 设a1,a2 ,… ,an 是n个正数 ,则1)当积a1a2 …an 等于定值 p时 ,和式s =a1 a2 … an 的最小值为nnp.2 )当和a1 a2 … an 等于定值s时 ,积 p =a1a2 …an 的最大值为 (sn) n.例 6不难直接由算术与几何平均不等式得到解决 .例 7 设x≥ 0 ,y≥ 0 ,试求w =x3 y3- 3xy的最小值 .解 由于w =13 x3 y3- 3xy - 1,故由算术与几何平均不等式 ,有w≥ 3xy - 3xy - 1=- 1.又当x =y =1时 ,w =-… 相似文献
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一种有趣且有很长历史的数叫费马素数.这些数是由法国数学家费马提出的.最初的五个费马素数是
F0=2^2^0+1=3,F1=2^2^1+1=5,F2=2^2^2+1=17,F3=2^2^3+1=257,F4=2^2^4+1=65537.由这些数可以看出, 相似文献
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选择题1 下列命题正确的是 ( )(A)若limn→∞ an=α ,则limn→∞a2 n=α2 .(B)若limn→∞ a2 n=α2 ,则limn→∞an=±α.(C)若limn→∞ an=α ,limn→∞ bn=β,则limn→∞(anbn) =αβ .(D)若limn→∞ an=∞ ,limn→∞ bn=0 ,则limn→∞ an·bn=0 .2 若 |a 2 | 2b - 1=0 ,a ,b∈R ,则无穷等比数列ab ,b ,ba ,…的各项和为 ( )(A) - 2 . (B) - 23. (C) 34 . (D) 2 .3 若limn→∞[12 - (r1 r) n]=12 ,则r的取值范围是( )(… 相似文献
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20 0 1年全国高中数学联赛题 5为 :若 (1+x +x2 ) 10 0 0 的展开式为a0 +a1x +a2 x2 +… +a2 0 0 0·x2 0 0 0 ,则a0 +a3+a6 +a9+… +a1998的值为 ( )(A) 3333. (B) 36 6 6 .(C) 3999. (D) 32 0 0 1.该题构思巧妙 ,解法灵活 ,可谓独具匠心 .笔者经研究发现 ,此处a1+a4 +a7+… +a1999=a2 +a5+a8+… +a2 0 0 0 =3999,因此 ,此题结论可以推广 .推广 1 设 (1+x +x2 ) n(n∈N)的展开式中 ,指数能被 3整除的项的系数和为An,除以 3余 1的项的系数和为Bn,除以 3余 2的项的系数和为Cn,则An=Bn=… 相似文献
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一个不等式的改进与其"孪生"不等式 总被引:1,自引:1,他引:0
文 [1 ]给出了不等式 .已知a>13 ,b>13 ,ab=29,求证 :a+b <1 (1 )的一个简证 ;文 [2 ]把它推广为 :ai>1n(i =1 ,2 ,… ,n-1 ;n ≥ 3 ) ,∏n - 1i =1ai=2nn- 1,求证 :∑n - 1i =1ai <1 . (2 )本文首先用文 [2 ]的方法得到了不等式 (2 )的改进 :命题 1 已知ai>p>0 (i =1 ,2 ,… ,n ;n≥2 ) ,∏ni =1ai≤pn- 1q,(q >p) ,则∑ni =1ai<(n-1 )p +q. (3 )(证明从略 )其次 ,从另一角度得到了“改进”的一个“孪生”不等式 :命题 2 已知 0 <ai<p(i=1 ,2 ,… ,n ;n≥2 ) ,∏ni=1ai≤pn- 1… 相似文献
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在数列 {an}中 ,若已知a1,且满足 an +1=pa2 n+ qan+r (1)其中 p ,q ,r为常数 ,p≠ 0 ,则数列 {an}叫做常系数一阶二次递归数列 ,(1)式叫做该数列的递归方程 .1 当 q =r =0时 ,递归方程为 an +1=pa2 n (2 )结论 1 满足 (2 )式的列 {an}的通项公式为an=1p(pa1) 2n - 1.此结论用数学归纳法易得 ,证明从略 .2 当 q =0 ,r≠ 0时 ,递归方程为 an +1=pa2 n+r (3)若 p =1,r =- 2 ,递归方程为 an +1=a2 n- 2 (4)结论 2 数列 {an}若满足递归方程 (4) ,则令a1=m + 1m,可得… 相似文献
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1 .部分试题选解1.1 (理 11)过抛物线 y =ax2 (a >0 )的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点 ,若线段PF与FQ的长分别为 p ,q,则 1p 1q等于 ( )(A) 4a. (B) 12a. (C) 2a . (D) 4a.解 [方法 1](特例法 )由 y =ax2 得x2 =1ay,于是抛物线的焦点为F( 0 ,14a) ,取过点F且平行于x轴的直线y =14a,与抛物线交于P、Q两点 ,根据抛物线的对称性得 |PF|=|QF|,即 p =q,且 2 p为抛物线的通径 1a,故 1p 1q=2p=42 p=41a=4a.[方法 2 ](利用直线的斜截式方程 )抛物线的焦点为F( 0 ,14a) ,由题… 相似文献