从一道错题再谈函数图象的交点问题

文[1]中例2的题目与原作者提供的答案如下: 　　题目已知0相似文献   

函数y=|sinx|的周期问题

对于函数 y =| sinx|的周期 (最小正周期 )问题 ,我们常用图像法来分析 .这里介绍用解析法分析它的周期问题 .由于y =| sinx| =sin2 x =1 - cos2 x2 ,函数值的重复取得 ,等价于 cos2 x值的重复取得 ,故函数的周期为π.例 1　求函数 f( x) =| sinx cosx| ,　 ( x∈ R)的周期 .解　由 f( x) =| sinx cosx|　 =| 2 sin( x π4 ) | =2 sin2 ( x π4 )　 = 1 - cos( 2 x π2 ) ,函数 f ( x)值的重复等价于 cos( 2 x π2 )的值的重复 ,而 cos( 2 x π2 )的周期为π,所以函数 f ( x)的周期为π.例 2　求函数f( x) =1 - cos2 x 1 …     

函数图象的概念和反函数的图象

长期以来,关于函数、反函数的图象概念有一种相当流行的看法:认为x=f~(-1)(y)的图象和原来的函数y=f(x)的图象重合或相同,并认为互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称的原因,只不过是在函数x=f~(-1)(y)'中将字母x与y互换的结果。这类看法同关于函数及其图象的基本理论是相抵触的,它混淆了函数的图象和方程的曲线之间的实质区别,因而对函数概念的教学产生有害的影响。虽然《数学通报》早在1983年第4期就发表过文章,对以上错误观点提出了异议,但似乎并未能切中要害,因而没有引起足够的注意。现在这类错误观点反而得     

函数图象的变換

在中学数学中,从开始学习一次函数和二次函数时,就遇到函数图象的变換,以后对于指数函数与对数函数的图象,特别是三角函数的图象就需要研究更为复杂的一些图象变換了。但是尽管如此,这还只限在对某些特殊函数图象的研究上,因此笔者愿就一般的一元函数y=f(x)討論它的图象的对称、平移、放縮等变換,供教师們教学时参考。有不当之处,希同志們指正。一、对称 1.軸对称 (1) 关于x軸对称的图象:函数y=-f(x) 与y=f(x),当x取相同的值吋,y有相反的值(即当点的横坐标有相同的值时,两图象中对应点的纵坐标有相反的值。以后各論証仿此),所以它們的图象对称于x軸。 (2) 关于y軸对称的图象:函数y=f(-x) 与y=f(x),当x取相反的值时,y有相同的值,所以它們的图象对称于y軸。因为对于偶函数有f(-x)=f(x),因此,偶函数     

52 形如|f(x)|的函数的周期性

三角函数的周期。队讲完后，在做习题的过程中，有学生问：函数y=|sinx|到的周期是什么？老师未直接作答，只是说：你们可以画出它的图象观察一下么．——这一句提示，已告诉了学生，算、验函数的周期的一个思考方向．学生光画y0=sinx的图象；后把它的x轴下方的部分对称地翻上即得y=|sinx|的图象（如图1），说：从图象上可明显地看出，y=|sinx|的周期为老师又给学生启示另一个思考方向：那么从一。定义上看呢？学生答：因为所以，y一…n到的周期为。（又可用反证法来说明，当0＜T＜。时冲n（＋T）一卜n一不可能成立．事实上，取X一手，就…     

"函数f(x)无零点方程f(x)=0无实根"吗?

在人教A版数学必修1教材中,关于"方程的根与函数的零点"给出了如下结论:方程f(x)=0有实数根(＜＝＞)函数y=f(x)的图象与x轴有交点(＜＝＞)函数y=f(x)有零点.上述结论明确了函数f(x)的零点、方程f(x)=0的实根、函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标之间的等价关系,这也是处理函数零点问题的重要方法和手段,即:将函数零点问题转化为相应方程的实根问题或相应函数图象的交点问题.……     

也谈巧借导数求方程根的个数

<正>《中学生数学》2014年3月上有姚键新老师的一篇文章《巧借导数求方程根的个数》,该文思路正确,方法妥当.但例3解完之后的评语这样写到:"……(2)所涉及方程|lnx|=x/e^(2x)+c,如果将其转化成函数y=|lnx|与y=x/e(2x)+c,如果将其转化成函数y=|lnx|与y=x/e^(2x)+c的图像的交点问题,则很难再继续进行下去……".笔者认为这种描述有值得商榷的地方,下面想就这种方法谈一谈.例题(2013年山东21)设函数f(x)     

巧用“图象法”

高中数学统编教材第一册在第一章“指数方程和对数方程”一节中提到了“图象法”,教材中利用它来解一元方程。将方程化为等式两边都是初等函数(或简单的复合函数)f(x)=g(x)的形式,在同一坐标系中作出y=f(x)和y=g(x)的图象,其交点的横坐标即为方程的解。这种利用作图来解题的方法就是图象法。应用图象法来解一些不要求精确解的方程,既简单又明了。     

三角函数的图象和性质

1.本单元重、难点分析本单元的重点:1)正弦函数、余弦函数、正切函数的图象及其性质(包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)的推导、理解及应用.2)函数y=Asin(ωx φ)图象的基本作法“五点法”和“图象变换法”.3)已知三角函数值求角.本单元的难点:1)利用正弦线画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,利用正切线画出函数y=tanx,x∈[-2π,2π]的图象,利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线,要注意到由数到形、由形到数的转换,并理解周期函数与最小正周期的意义;2)弄清函数y=sinx与函数y=Asin(ωx φ)的图象的关系,注意三个参数A,ω,φ对图象…     

“图进标退”的原理及其在中学数学中的应用

在高中数学的教与学中,处理图象变换与方程(或函数)变形之间的关系是一个重要而基本的问题,笔者在教学中归纳了“图进标退”几个字以领导部分形数之间的关系,在对多届学生的教学尝试中,他们接受良好,感到原理简明,准确好用,适用面广,本人认为它在图象变换中理顺了庞杂的关系,有化难为易的作用;此提法是否妥当,希望和同志们共同研讨。一、“图进标退”的原理引理1 对于函数y=f(x),若将其图象沿x轴正方向平移h个单位,所得图象与函数y=f(x-h)对应;若将其图象沿y轴正方向平移k个单位,所得图象与函数y=f(x) k对     

复合函数 f[φ(x)]图象的几何作法

函数是中学数学的重要概念之一,指导学生作好函数图象可以对函数的概念及其性质加强直观理解。中学课本上主要是用描点法来作图的,虽然二次函数和三角函数的图象也介绍了“平移法”。对于复合函数的图象如用描点法作图,常常先要讨论函数的性质,如定义域、单调性、奇偶生、周期性、极值等等,这就此较麻烦了。下面将介绍复合函数的几何作法。所谓复合函数就是:设Y=f(u),定义域为U,u= (x),其定义域为X,值域为U＇,若是UU＇,则称y为x的复合函数,记作y=f〔 (x)〕,其中u称为中间变量。中学课本上常见的函数,诸如y=lg(3x-1),y=sin(ωx+ ),y=1-x~2~(1/2)等等,就是复合函数。如果已知函数y=f(x)及y=(x)的图象,则用下列方法能作出y=f〔 (x)〕的图象。     

用点到直线距离公式解决与函数相关的问题

点P(x,y)到直线Ax By C=0距离为d=|Ax By C|/A~2 B~2,当P(x,y)在函数y=f(x)上时,该公式变为d=|Ax Bf(x) C|/A~2 B~2,本文通过引进函数y=f(x),借助该公式解决一些与函数相关的问题.1.求函数单调性例1求f(x)=|x 2-1-x2|的单调区间及单调性.分析把函数f(x)作为点线间距离,借助图象,看x变大时,该距离如何变?图1例1图解函数的定义域是-1≤x≤1,令y=1-x2,即x2 y2=1,y≥0.如图1,所以f(x)=|x 2-y|=|x 2-y|2×2,几何意义:半圆上动点M(x,y)到定直线l:x-y 2=0的距离的2倍.由图1知使OB⊥l时,B到l的距离最小,显然OB:y=-x,由x2 y2=1,(y≥0),y=-x,…     

幂指函数图象的交点问题

在教学函数时,有这样一个问题:函数y=2~x与y=x~2图象的交点个数为()A.1B.2C.3D.以上都不对这是一个指数函数与幂函数图象的交点问题.大多数学生通过画草图得出第一象限和第二象限各有一个交点,选B.其实上面两个函数图象在第一象限内有两个交点(2,4)、(4,16),正确答案应为C.这说明仅凭草图找交点是很容易出错的.那么,一般的指数函数y=ax(a>0且a≠1)与幂函数y=xn(n∈Q)图象的交点情况又如何呢?大家知道,这两个函数图象的交点问题实际就是方程ax=xn根的问题.显然当n=0时,方程ax=x0没有实根,函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x0图象无交点.下面我…     

函数f(x)=ax2+b|x-m｜+c的图象与性质探究

函数是高中数学的重要内容,《高中数学课程标准》明确提出:(1)函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;(2)了解简单的分段函数,并能简单应用;(3)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;(4)通过已学过的函数(特别是二次函数),理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义等.如何适应高中课改的要求,达到课程标准中提出的目标要求呢?本文通过对函数y=ax2+b |x-m|+c的图象与性质的探究过程,体现课改的理念.1 问题的提出在一次数学兴趣学习小组的课外活动中,我给学生出了这样一组数学题:1.作出下列函数的图象,说明它们之间的相互关系.(1)y=1/2x2-4x+1(2)y=1/2x2-4|x|+1(3)y=1/2(x-1)2-4|x-1 |+1通过作出函数的图象,我们观察得到:函数(2)的图象是将函数(1)的图象保留y轴右边部分,并将y轴右边部分对称到y轴的左边而得到的(如图);函数(3)的图象是将函数(2)的图象向右平移1个单位而得到的.     

争鸣

问　题　　问题 34　 在许多资料上 ,常看到关于方程ax=|logax| ( 0   

对互为反函数图象对称关系的证明过程的注记

关于函数与其反函数的图象间的对称关系有:定理　函数y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.从教材[1]上对其证明过程来看,证明了两个结论:1.函数y=f(x)图象上任一点M关于直线y=x的对称点M′都在y=f-1(x)的图象上;同时,2.函数y=f-1(x)图象上任一点关于直线y=x的对称点也都在y=f(x)的图象上.若仅仅证明结论1,可否说明y=f(x)与y=f-1(x)图象关于直线y=x对称?回答是否定的,事实上,只要对本节(P62)中例1稍作改造,就构造出一个反例:y=3x-2(x∈R ),y=x 23(x∈R)易见对y=3x-2(x∈R )图象上任一点,关于直线y=x的对称点都在y=x 23…     

超越方程a~x=x(a>0且a≠1)根的分布

笔者曾在教学中遇到这样一个问题：当a＞1时,函数y＝ax的图象与函数y＝x的图象有无交点．对于中学生来讲,问题的难点在于：当a＞1时,如何取a使函数y＝αx的图象与函数y=x的图象有交点．问题的本质是超越方程ax=x的根的分布．本文将对这一问题利用分析的方法作深人地探讨．1根的分布定理1方程a"一x的根的分布：l）当。Me｝时,方程。x＝x无解;2）当a-e。时,方程a"一x有唯一解x-e;3）当1＜。＜e5时,方程。x一x有且只有两根今1,夸2,且占IE（工,庄）,主ZE（庄,十一）;4）当OMaMI时,方程a"一x有唯一解z,iE（0,1）．证明引进…     

谈函数图象的变换

如果己知函数y=f(x)的图象,我们可以通过有关的变换而得到一系列函数的图象。下面用具体例子加以说明。一、简单变化 1.y=-f(x) 因为-f(x)与f(x)互为相反数,所以函数y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称。故只要把y=f(x)的图象关于x轴反射,就可以得到y=-f(x)的图象。     

函数图象教学中值得注意的几个问题

函数及其图象是初等数学中一个十分重要的内容．函数图象可以给出函数性质的鲜明几何形象．利用函数图象可很直观地讲清楚函数的单调性、奇偶性、周期性,以及值域、定义域等概念．在初等数学中大量使用的数形结合方法,其重要内容也是借助函数图象来解题．因而函数及其图象的教学在初等数学中的重要性是无可怀疑的．但也确实有一些问题必须注意,以免对学生产生误导．1注意认清讲作函数图象时所隐含的本质所谓函数的图象,实际上是在引入笛卡儿直角坐标系后,由此函数决定的点集C＝｛（x,y）｜y＝f（x）,xεI｝,由此可见：（i）函数图…     

方程a~x=loga~x的解

一个方程的解可以看作两个函数的图象的交点的横坐标。反过来,方程的解又可以反映两个函数之间的某种关系,即它们的图象相交的情况。因此,可以利用函数的性质对方程的解,特别是直接求解很困难的某些超越方程的解的情况作出定性的讨论。也可以利用方程的解对函数的图象间的交点个数作出定量的研究,本文主要通过对函数y=x~(1/x)和y=x~x的性质的分析,就方程a~x=x和a~x=loga~x等的解的情况进行讨论。